Von Neumann-Bernays-Gödel system af aksiomer

Von Neumann-Bernays-Gödel aksiomsystemet ( NBG , Gödel-Bernays aksiomatik ) i metamatematik er en af de vigtigste aksiomatiske mængdeteorier . Dette system er en udvidelse af den kanoniske Zermelo-Fraenkel-teori med valgaksiomet ( ZFC ). Sætninger formuleret på ZFC-teoriens sprog kan bevises i ZFC, hvis og kun hvis de kan bevises i NBG.

NBG-teorien inkluderer desuden begrebet sin egen klasse - et objekt, der har elementer, men som ikke selv kan være medlem af nogen objekter. NBG omfatter kun begrebsdefinitioner, der ikke refererer til det begreb, der defineres; værdier af bundne variabler i formler kan kun være sæt. Udelukkelsen af dette princip (fraværet af referencer til begrebet, der er defineret i definitioner) gør NBG -systemet til et Morse-Kelly-system (MK). NBG kan i modsætning til ZFC og MK aksiomatiseres endeligt (ved et endeligt antal aksiomer).

Konceptsystem

Grundlæggende for NBG er skelnen mellem egenklasser og mængder . Lad og vær objekter. Derefter defineres en simpel proposition, hvis er et sæt og er en klasse; med andre ord, det er defineret, hvis det ikke er en klasse for sig. Klasser kan være meget store, NBG har endda en klasse med alle sæt, en generisk klasse kaldet . I NBG er det imidlertid umuligt at have en klasse af alle klasser (da en ordentlig klasse ikke kan være medlem af en klasse) eller et sæt af alle sæt (dets eksistens er i modstrid med aksiomsystemet ). $-en$ $s$ $a\i s$ $-en$ $s$ $a\i s$ $-en$ $V$

I systemet af NBG-aksiomer danner alle objekter, der opfylder alle givne formler for NBG -førsteordenslogik , en klasse. Hvis en klasse ikke kan opfylde ZFC-aksiomsystemet, er det dens egen klasse . Udviklingen af klasser afspejler udviklingen af naiv mængdeteori. Abstraktionsprincippet er givet, hvilket betyder, at klasser kan dannes ud fra alle objekter, der opfylder alle sætninger af førsteordens logik; desuden kan simple sætninger indeholde en medlemsrelation eller prædikater, der bruger denne relation. Lighed, operationen med at danne et par af elementer, underklasser og andre lignende begreber er defineret og kræver ikke aksiomatisering - deres definitioner betyder en konkret abstraktion af formlen. Sæt er beskrevet ved en metode tæt på ZF. Define (sættet repræsenterer klassen ) er en binær relation defineret som $\operatørnavn {Rp} (A,a)$ $-en$ $EN$

$\operatørnavn {Rp} (A,a):=\forall x(x\i A\venstrehøjrepil x\i a).$

Det betyder, at repræsenterer , om alle elementer hører til og omvendt. Klasser, der ikke har et sæt, der repræsenterer dem, kaldes rigtige klasser [1] . Et eksempel på en ordentlig klasse er klassen af alle sæt, der ikke indeholder sig selv (en klasse, der appellerer til Russells paradoks ). $-en$ $EN$ $-en$ $EN$

Historie

Den første version af NBG inkluderede funktioner, ikke sæt, som grundlæggende begreber (von Neumann, 1920'erne). I en række artikler udgivet i 1937-1954 modificerede Paul Bernays von Neumanns teori for at lave sæt og medlemsforhold til grundlæggende begreber; han fandt også ud af, at denne teori kunne aksiomatiseres af et begrænset antal aksiomer. Gödel (1940), mens han undersøgte kontinuumhypotesens uafhængighed , forenklede og brugte teorien. Montagu viste, at ZFC ikke kan aksiomatiseres endeligt.

Aksiomatisering af NBG

I det følgende angiver variabler med små bogstaver sæt, og variabler med store bogstaver angiver klasser. Det betyder således, at sættet tilhører sættet (er et element i sættet ); a betyder, at sættet er medlem af klassen . Udtrykkene , , betyder det (her vil vi for enkelthedens skyld ikke være helt strenge). Når vi beskriver et formelt system, kunne vi bruge symboler af én type, og sættene ville være klasser, der er medlemmer af mindst én anden klasse. $x\in y$ $x$ $y$ $y$ $x\in Y$ $x$ $Y$ $x=y$ $x=Y$ $X=Y$ $\forall a(a\i X\venstrehøjrepil a\i Y)$

Først konstruerer vi NBG-aksiomsystemet ved hjælp af klassegenereringsaksiomskemaet (skemaet svarer til et uendeligt sæt af aksiomer). Dette skema svarer til 9 aksiomer [2] . Disse 9 aksiomer kan således erstatte klassegenereringsskemaet. Således er NBG endeligt aksiomatiserbar.

Systemet af aksiomer, inklusive klassegenereringsskemaet

De følgende 5 aksiomer er de samme som de tilsvarende ZFC-aksiomer

Aksiom for ekstensionalitet . . Sæt, der indeholder de samme elementer, er ens. $\forall x(x\in a\leftrightarrow x\in b)\rightarrow a=b$
Pareksistensaksiom . . For hvert sæt og for hvert sæt er der et sæt, hvis elementer kun er og ). Af aksiomet om eksistensen af et par (forudsat ) følger det, at der for hvert sæt er en mængde, der kun består af ét element: . Yderligere kan man definere et bestilt par sæt som f.eks . Ved at bruge underklasse-klassegenereringsskemaet (se nedenfor), får vi, at enhver relation også er en klasse. Nogle af disse relationer er funktioner af en eller flere variable, injektioner, bijektioner fra en klasse til en anden. Pareksistensaksiomet er et aksiom i Zermelo mængdelære og et sætning i ZFC. ${\displaystyle \forall x\forall y\exists z\forall w{\big (}w\in z\leftrightarrow (w=x\eller w=y){\big )))$ $x$ $y$ $\{x,y\}$ $x$ $y$ $x=y$ $x$ $\{x\}$ $(a,b)$ ${\big \{}\{a\},\{a,b\}{\big \))$
Enhedsaksiom . For hvert sæt er der et sæt bestående af præcis alle elementerne i elementerne . $x$ $x$
Aksiomet for sættet af delmængder . For hvert sæt er der et sæt, der består af nøjagtig alle delmængder af . $x$ $x$
Uendelighedens aksiom . Der er et sæt , der opfylder to betingelser: det tomme sæt tilhører ; for hver , der hører til , hører sættet også til . Dette aksiom kan formuleres på en sådan måde, at eksistensen af et tomt sæt vil blive underforstået [3] . $x$ $x$ $y$ $x$ ${\big \{}y,\{y\}{\big \))$ $x$

De følgende aksiomer beskriver primært klassernes egenskaber (og inkluderer derfor store bogstaver). De to første af dem adskiller sig kun fra dem i ZFC ved, at de erstatter små bogstaver med store bogstaver.

Aksiom for ekstensionalitet (for klasser) . . Klasser med de samme elementer er lige store. $\forall x(x\i A\venstrehøjrepil x\i B)\højrepil A=B$
Axiom for Regularitet . Hver ikke-tom klasse indeholder et element, hvis skæringspunkt med er tomt. $EN$ $EN$

De sidste to aksiomer er kendetegnende for NBG.

Aksiom for effektbegrænsning . For hver klasse eksisterer der et sæt , der opfylder betingelsen , hvis og kun hvis der ikke er nogen bijektion mellem og klassen af alle sæt. Fra dette aksiom kan man på grund af von Neumann udlede delsætningsaksiomskemaet, transformationsaksiomskemaet og det globale valgaksiom. Især kan aksiomet for globalt valg udledes, fordi klassen af ordtaler ikke er en mængde; så der er en bijektion mellem klassen af alle ordinaler og . Hvis kardinalitetsbegrænsningens aksiom er lempet til følgende: hvis domænet for en klassefunktion er en mængde, så er domænet også en mængde - så er det valgte aksiom ikke en NBG-sætning i nogen form. I dette tilfælde kan det valgte aksiom i enhver af formerne tilføjes som et aksiom, hvis det er nødvendigt. Aksiomet for valg i denne form kan findes i Mendelson (1997) NGB. Der finder vi det sædvanlige valgaksiom for mængder og den følgende form for transformationsaksiomskemaet: hvis en klasse er en funktion, hvis domæne er en mængde, så er dens domæne også et sæt [4] $C$ $c$ $c=C$ $C$ $V$ $V$ $F$
Aksiomskema for underklassegenerering . For hver formel , der ikke indeholder kvantifikatorer for klassevariable (formlen kan indeholde klassevariabler som parametre), er der en klasse sådan, at . Dette aksiom hævder princippet om ubegrænset tildeling (delmængder) af naiv mængdeteori. Klasser er dog at foretrække frem for mængder, fordi paradokser er elimineret fra mængdeteorien. $\varphi$ $EN$ ${\displaystyle \forall x{\big (}x\in A\leftrightarrow \varphi (x){\big )))$

Underklassegenereringsaksiomskemaet er det eneste skema i NBG. Nedenfor viser vi, hvordan denne ordning kan erstattes af en række særlige tilfælde, hvorved NBG bliver endeligt aksiomatiserbar. Hvis de bundne variable i en formel kan spænde over klasser (og ikke kun mængder), så får vi Morse-Kelly mængdeteori, en korrekt forlængelse af ZFC, som ikke kan aksiomatiseres endeligt. $\varphi(x)$

Udskiftning af underklassegenereringsskemaet med et antal specielle tilfælde

Et attraktivt og lidt kryptisk træk ved NBG er, at underklassificeringsskemaet kan erstattes af flere aksiomer, der beskriver særlige tilfælde. Følgende aksiomer kan fuldstændig erstatte underklassegenereringsskemaet. Den nedenfor angivne aksiomatiseringsmetode er ikke nødvendigvis sammenfaldende med den, der kan findes i trykte kilder [5] .

Vi vil beskrive vores aksiomatisering ved at beskrive strukturen af formler. Først skal vi have et indledende lager af klasser.

Sæt . For hvert sæt er der en klasse sådan, at . Dette aksiom, sammen med mængdeaksiomer i det foregående afsnit, giver et indledende sæt af klasser og giver os mulighed for at skrive formler med klasser som parametre. $x$ $x$ $X=x$

Dernæst beskriver vi den metode, hvormed vi vil danne udtryk for propositionel logik. Lad og . Så ,. _ Da det ved hjælp af operationer og det er muligt at nedskrive ethvert udtryk for propositionel logik, er det nok for os at definere tilføjelsen og skæringen af klasser. $A=\{x\mid \varphi \}$ $B=\{x\mid \psi \}$ $\{x\mid \lnot \varphi \}=VA$ $\{x\mid \varphi \vee \psi \}=A\kop B$ $\likke$ $\jord$

Tilføjelse . For hver klasse er komplementet en klasse. $EN$ $VA=\{x\mid x\notin A\}$
kryds . For alle klasser og krydset er en klasse. $EN$ $B$ $A\cap B=\{x\mid x\in A\land x\in B\}$

Nu vil vi begynde at bevæge os i retning af at inkludere kvantificerere i formler. For at bruge flere variable skal du kunne beskrive sammenhænge. Lad os definere et bestilt par og som sædvanligt: . Dernæst beskriver vi aksiomer ved hjælp af ordnede par: $-en$ $b$ ${\big \{}\{a\},\{a,b\}{\big \))$

Produkt . For alle klasser , og produktet er en klasse (i praksis behøver vi kun ). $EN$ $B$ $A\times B=\{(a,b)\mid a\in A\land b\in B\}$ $V\ gange A$
Permutationer . Der er klasser for hver klasse. $R$ $\operatorname {Conv1} (R)=\{(b,a)\mid (a,b)\in R\},$ $\operatorname {Conv2} (R)={\big \{}{\big (}b,(a,c){\big )}\,{\big |}\,{\big (}a ,(b,c){\big )}\in R{\big \)).$
Associativitet . Der er klasser for hver klasse. $R$ $\operatorname {Assoc1} (R)={\big \{}{\big (}(a,b),c)\,{\big |}\,{\big (}a,(b, c){\big )}\i R{\big \)),$ $\operatorname {Assoc2} (R)={\Big \{}{\Big (}d,{\big (}a,(b,c){\big )}{\Big )}\,{ \Big |}\,{\Big (}d,{\big (}(a,b),c){\big )}{\Big )}\i R\}.$

Disse aksiomer giver dig mulighed for at tilføje dummy-argumenter, samt ændre rækkefølgen af argumenter i forhold af enhver art . En særlig form for associativitet er designet specifikt til at kunne flytte ethvert udtryk fra listen til begyndelsen af listen (selvfølgelig også ved hjælp af permutationer). Vi repræsenterer listen over argumenter som (det vil sige som et par af hoved (første argument) og hale (andre argumenter)). Ideen er at anvende indtil det argument, vi er interesseret i, bliver det andet, derefter anvende eller , og derefter anvende indtil brugen af . $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ ${\displaystyle {\big (}x_{1},(x_{2},\ldots ,x_{n}){\big )))$ $\operatørnavn {Assoc1}$ $\operatørnavn {Assoc1}$ $\operatørnavn {Assoc2}$ $\operatørnavn {Assoc2}$ $\operatørnavn {Assoc1}$

Dernæst ønsker vi at aksiomatisere følgende sæt af udsagn: hvis er en klasse, der er en relation, så er dens rækkevidde en klasse. $\{(x,y)\midt \varphi (x,y)\}$ $\{y\mid \eksisterer x\,\varphi (x,y)\}$

Områder . For hver klasse er der en klasse . $R$ ${\displaystyle \operatørnavn {Rng} (R)=\{y\midt \eksisterer x\,(x,y)\i R\))$

Således har vi fået den eksistentielle kvantifier; den universelle kvantifier kan opnås gennem den eksistentielle kvantifier og negation. Ovenstående aksiomer giver os mulighed for at flytte et argument til forsiden af argumentlisten for at anvende en kvantifier på det.

Endelig indebærer hver enkel formel eksistensen af følgende relationer på klasser:

Tilknytning . Der er en klasse . $[{\in }]=\{(x,y)\mid x\in y\}$
Diagonal klasse . Der er en klasse . ${\displaystyle [{=}]=\{(x,y)\midt x=y\))$

Den diagonale klasse, sammen med evnen til at omarrangere argumenter og tilføje dummy-argumenter, giver dig mulighed for at erstatte de samme argumenter i relationer.

Variant af Mendelssohn

Mendelssohn omtaler sine aksiomer B1 - B7 som aksiomer for eksistensen af klasser. Fire af dem falder sammen med ovenstående: B1 - tilhørsforhold; B2 - kryds; B3 - tilføjelse; B5 - multiplikation. B4 - området er givet i form af eksistensen af domænet (eksistenskvantifieren er y , ikke y ). De sidste to aksiomer er: $y$ $x$

B6 $\forall X\,\eksisterer Y\,\forall uvw\,[(u,v,w)\i Y\venstrehøjrepil (v,w,u)\i X],$
B7 $\forall X\,\eksisterer Y\,\forall uvw\,[(u,v,w)\i Y\venstrehøjrepil (u,w,v)\i X].$

B6 og B7 giver os mulighed for at gøre, hvad der i vores tilfælde blev gjort ved hjælp af permutations- og associativitetsaksiomerne. For hver klasse, der indeholder tripler, er der en anden klasse, der indeholder de samme tripler, hvor elementerne permuteres på samme måde.

Diskussioner

For en diskussion af de filosofiske og ontologiske spørgsmål rejst af NBG, især i forhold til forskellene med ZFC og MK, se Appendiks C af Potter (2004).

Selvom NBG er en forlængelse af ZFC, kan nogle teoremer bevises mere enkelt og elegant i NBG end i ZFC (eller omvendt). For en gennemgang af kendte resultater på dette område, se Pudlak (1998).

Modelteori

ZFC, MK, NBG har en model defineret ved hjælp af (standardmodel i ZFC og univers i NBG). Lad nu inkludere et uopnåeligt kardinalnummer . Lad os udpege de definerede delmængder . Derefter $V$ $V$ $k$ $\operatørnavn {Def} (x)$ $\Delta _{0}$ $x$

$V_{k}$ er en ZFC model.
$\operatørnavn {Def} (X)$ er NBG-modellen,
$V_{{k+1}}$ er MK-modellen.

Kategori teori

NBG-begrebssystemet giver os mulighed for at tale om store genstande uden risiko for at støde på et paradoks. Især i mange fortolkninger af kategoriteori betyder en stor kategori en kategori, hvor et sæt af objekter er en klasse for sig selv, ligesom et sæt af morfismer. Små kategorier er på den anden side kategorier, hvor sæt af objekter og morfismer er sæt. Derfor kan vi uden risiko for paradokser tale om kategorien for alle sæt eller kategorien for alle små kategorier. Disse kategorier er naturligvis store. Men man kan ikke tale om en kategori af alle kategorier, da den skulle omfatte kategorien af alle små kategorier. Der er dog andre udvidelser af begrebssystemer, der giver mulighed for at tale om sættet af alle kategorier som en kategori (se kvasi-kategorien af alle kategorier i Adámek et al. (1990)).

Et system af begreber inklusive klasser og mængder er tilstrækkeligt til at retfærdiggøre kategoriteori (Muller, 2001).

Noter

↑ Engelsk udtryk . ordentlig klasse er oversat som en ordentlig klasse ifølge den oversatte bog af S. McLane "Categories for the Working Mathematician".
↑ Mendelson (1997), s. 232, påstand 4.4 beviser, at klassegenereringsskemaet er ækvivalent med aksiomerne B1-B7 beskrevet på s. 230.
↑ Mendelson (1997), s. 239, Ex. 4,22(b).
↑ Mendelson (1997), s. 239, aksiom R.
↑ Denne artikel er en oversættelse fra den engelske Wikipedia.

Litteratur

Adámek, Jiří; Herrlich, Horst & Strecker, George E. (1990), Abstract and Concrete Categories (The Joy of Cats) (1. udgave), New York: Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-60922-3 , < http: //katmat.math.uni-bremen.de/acc/ >
Bernays, Paul (1937), A System of Axiomatic Set Theory — Del I , The Journal of Symbolic Logic bind 2 (1): 65–77 , DOI 10.2307/2268862
Bernays, Paul (1941), A System of Axiomatic Set Theory — Del II , The Journal of Symbolic Logic bind 6 (1): 1–17 , DOI 10.2307/2267281
Bernays, Paul (1991), Axiomatic Set Theory (2. reviderede udgave), Dover Publications, ISBN 978-0-486-66637-2
Bourbaki, Nicolas (2004), Elements of Mathematics: Theory of Sets , Springer, ISBN 978-3-540-22525-6 , < https://archive.org/details/springer_10.1007-978-3-642-59309 -3 >
Chuaqui, Rolando (1981), Axiomatic Set Theory: Impredicative Theories of Classes , North-Holland, ISBN 0-444-86178-5
Cohen, Paul (1963), The Independence of the Continuum Hypothesis , Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America bind 50 (6): 1143–1148, PMID 16578557 , DOI 10.1073/pnas.1436.
Cohen, Paul (1966), Set Theory and the Continuum Hypothesis , W. A. Benjamin
Dawson, John W. (1997), Logiske dilemmaer: Kurt Gödels liv og arbejde , Wellesley, MA: A. K. Peters
Easton, William B. (1964), Powers of Regular Cardinals , Princeton University
Felgner, Ulrich (1971), Comparison of the axioms of local and universal choice , Fundamenta Mathematicae T. 71: 43–62, doi : 10.4064/fm-71-1-43-62 , < http://matwbn.icm. edu.pl/ksiazki/fm/fm71/fm7113.pdf >
Ferreirós, José (2007), Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Mathematical Thought (2. reviderede udgave), Basel, Schweiz: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-8349-7
Gödel, Kurt (1940), The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory (revideret udgave), Princeton University Press, ISBN 978-0-691-07927-1
Gödel, Kurt (1986), Samlede værker, bind 1: Publikationer 1929-1936 , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-514720-9
Gödel, Kurt (1990), Samlede værker, bind 2: Publikationer 1938-1974 , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-514721-6
Gödel, Kurt (2003), Samlede værker, bind 4: Correspondence A–G , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850073-5
Gray, Robert (1991), Computerprogrammer og matematiske beviser , The Mathematical Intelligencer bind 13 (4): 45–48 , DOI 10.1007/BF03028342
Hallett, Michael (1984), Cantorian Set Theory and Limitation of Size (Hardcover ed.), Oxford: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-853179-1
Kanamori, Akihiro (2009b), The Higher Infinite: Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings , Springer, ISBN 978-3-540-88867-3
Kanamori, Akihiro (2009), Bernays and Set Theory , Bulletin of Symbolic Logic bind 15 (1): 43–69, doi : 10.2178/bsl/1231081769 , < http://math.bu.edu/people/aki/ 17a.pdf >
Kanamori, Akihiro (2012), In Praise of Replacement , Bulletin of Symbolic Logic bind 18 (1): 46–90, doi : 10.2178/bsl/1327328439 , < http://math.bu.edu/people/aki/ 20.pdf >
Kunen, Kenneth (1980), Set Theory: An Introduction to Independence Proofs (Hardcover ed.), North-Holland, ISBN 978-0-444-86839-8
Mendelson, Elliott (1997), An Introduction to Mathematical Logic (4. udgave), London: Chapman and Hall/CRC, ISBN 978-0-412-80830-2 - S. 225-86 indeholder den klassiske lærebogsbehandling af NBG, der viser, hvordan den gør, hvad vi forventer af mængdeteori, ved at jorde relationer , ordensteori , ordenstal , transfinite tal osv.
Mirimanoff, Dmitry (1917), Les antinomies de Russell et de Burali-Forti et le problème fondamental de la théorie des ensembles, L'Enseignement Mathématique T. 19: 37–52
Montague, Richard (1961), Semantic Closure and Non-Finite Axiomatizability I, i Buss, Samuel R. , Infinitistic Methods: Proceedings of the Symposium on Foundations of Mathematics , Pergamon Press, s. 45-69
Mostowski, Andrzej (1950), Nogle impredikative definitioner i den aksiomatiske mængdeteori , Fundamenta Mathematicae bind 37: 111-124, doi : 10.4064/fm-37-1-111-124 , < http ://matwbn.icm. .pl/ksiazki/fm/fm37/fm37110.pdf >
Muller, FA (1. september 2001), Sæt, klasser og kategorier , British Journal for the Philosophy of Science bind 52 (3): 539–73, doi : 10.1093/bjps/52.3.539 , < http://philsci -archive.pitt.edu/1372/1/SetClassCat.PDF >
Müller, Gurt, red. (1976), Sets and Classes: On the Work of Paul Bernays , Studies in Logic and the Foundations of Mathematics bind 84, Amsterdam: Nordholland, ISBN 978-0-7204-2284-9
Potter, Michael (2004), Set Theory and Its Philosophy: A Critical Introduction (Hardcover ed.), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-926973-0
Pudlák, Pavel (1998), The Lengths of Proofs , i Buss, Samuel R. , Handbook of Proof Theory , Elsevier, s. 547-637, ISBN 978-0-444-89840-1
Smullyan, Raymond M. & Fitting, Melvin (2010), Set Theory and the Continuum Problem , Dover, ISBN 978-0-486-47484-7
Solovay, Robert M. (1990), Introductory note to 1938 , 1939 , 1939a and 1940 , Kurt Gödel Collected Works, bind 2: Publikationer 1938-1974 , Oxford University Press, s. 1-25, ISBN 978-0-19-514721-6
von Neumann, John (1923), Zur Einführung der transfiniten Zahlen , Acta Litt. Acad. Sc. Szeged X. T. 1: 199–208 , < http://bbi-math.narod.ru/newmann/newmann.html >
von Neumann, John (1925), Eine Axiomatisierung der Mengenlehre , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik T. 154: 219–240 , < http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/? PPN=PPN243919689_0154&DMDID=DMDLOG_0025 >

Links

von Neumann, John (1928), Die Axiomatisierung der Mengenlehre , Mathematische Zeitschrift T. 27: 669–752, doi : 10.1007/ bf01171122 , > LOG_04MD=D2 .
von Neumann, John (1929), Über eine Widerspruchsfreiheitsfrage in der axiomatischen Mengenlehre , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik T. 160: 227–241 , < http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/ img/?PPN=PPN243919689_0160&DMDID=DMDLOG_0019 > .

Ordbøger og encyklopædier	Britannica (online)