Elementær topos

En elementær topos er en kategori , i en vis forstand svarende til kategorien af mængder , hovedemnet for undersøgelse af topos-teorien . Ved hjælp af elementær topoi kan aksiomatikken i både selve mængdelæren og alternative teorier og logikker, for eksempel intuitionistisk logik , beskrives .

Definition

En elementær topos er en kartesisk endeligt komplet kategori , hvori der er et fornemt objekt , kaldet subobjektklassifikatoren , og en monomorfi ind i det fra et terminalobjekt , kaldet sandhed (også betegnet ), sådan at der for enhver monomorfisme er en unik morfisme , for hvilket diagrammet $\Omega$ $T\colon 1\to \Omega$ $rigtigt$ $m\colon A\to B$ $\chi _{m}\colon B\to \Omega$

er en kartesisk firkant .

Med andre ord er en elementær topos en kategori, der har et terminalobjekt og fiberprodukter , såvel som eksponentiel for to objekter og en subobjektklassifikator . $a^{b}$ $-en$ $b$ $\Omega$

Egenskaber

Enhver elementær topos er endelig komplet (per definition) og endelig cokomplet .

Eksempler

Hovedeksemplet på en topos, hvis egenskaber har dannet grundlag for en fælles definition, er topos af mængder . I den er den eksponentielle af sæt og sættet af tilknytninger fra til . Underobjektklassifikatoren er mængden , hvor er den naturlige indlejring i , og er den karakteristiske funktion af undermængden af mængden lig med 1 på elementerne og 0 på elementerne i . Underobjekter er dets undermængder. $EN$ $B$ $A^{B}$ $B$ $EN$ $\Omega =\{0;1\}$ $m$ $EN$ $B$ $\chi _{m}$ $EN$ $B$ $EN$ $A\backslash B$ $EN$
Kategorien af endelige mængder er også en topos. Dette er et typisk eksempel på en elementær topos, der ikke er en Grothendieck topos.
For enhver kategori er kategorien af funktorer en Grothendieck topos. Grænser og kogrænser for funktorer beregnes punktvis. For functors er morfisme-funktøren givet af formlen $C$ $\left[C,\mathbf {Set} \right]$ $F,G$ $[F,G]$

[F,G](c)=\mathrm {Hom} (F(c),G(c))

Det følger af Yonedas lemma, at subobjektklassifikatoren på et objekt er lig med sættet af subfunctors af den repræsentative funktor .

\Omega

c\in C

\mathrm {Hom} (c,\cdot )

Kategorien af skiver af sæt på ethvert topologisk rum er en Grothendieck topos. Hvis vi tildeler et rum dens kategori af åbne delmængder ordnet ved indlejring, så beskrives strukturen af toposerne på kategorien af skiver på nøjagtig samme måde som i toposerne . Den eneste forskel er, at der er et sæt af alle underskive af en repræsentabel bunke . $x$ $Ouv(X)$ $[Ouv(X),\mathbf {Set} ]$ $\Omega (c)$ $\mathrm {Hom} _{Ouv(X)}(c,\cdot )$
Mere generelt, for enhver kategori med en given Grothendieck-topologi , er kategorien af -skive af sæt en Grothendieck-topos. Desuden har enhver Grothendieck topos denne form. $C$ $\tau$ $\tau$
Generelt set er ikke alle Grothendieck toposer en kategori af skiver på et topologisk rum. For eksempel har en topos af skiver på et topologisk rum altid punkter, der svarer til punkter i dette rum, mens en generel topos måske ikke har nogen punkter. Analogien mellem topos og rum kan gøres præcis, hvis vi betragter lokaliteter som rum , og kategorien af topos svarer til kategorien af lokaliteter. Uformelt er en lokalitet det, der er tilbage af konceptet om et topologisk rum, hvis vi glemmer punkter og kun overvejer gitteret af dets åbne delmængder. For topologiske rum er der ingen forskel på at se på dem som rum og som lokaliteter. Lokaliteten behøver dog ikke at svare til et topologisk rum. Det er især ikke påkrævet at have prikker.

Litteratur

Goldblatt R. Topoi. Kategorisk analyse af logik = Topoi. Den kategoriale analyse af logik / Pr. fra engelsk. V. N. Grishin og V. V. Shokurov, red. D. A. Bochvara. — M .: Mir , 1983. — 488 s.
P.T. Johnston. Topoi Theory / Ed. Yu.I. Manin. — M .: Nauka , 1986. — 440 s.
F. Borceux. Håndbog i Kategorisk Algebra 3. Kategorier af skiver. - Cambridge: Cambridge University Press, 1994. - 522 s. — ISBN 0 521 44180 3 .
PT Johnstone. Skitser af en elefant: Et Topos Theory Compendium. - Oxford: Clarendon Press, 2002. - Vol. 1. - ISBN 0 19 852496 X .