Aritmetiske studier (Gauss)

Aritmetiske studier
Disquisitiones Arithmeticae
Første udgaves titelblad
Genre	afhandling , talteori og geometri
Forfatter	Carl Friedrich Gauss
Originalsprog	latin
Dato for første udgivelse	1801
Teksten til værket i Wikisource
Mediefiler på Wikimedia Commons

"Aritmetiske undersøgelser" ( lat. Disquisitiones Arithmeticae ) er det første større værk af den 24-årige tyske matematiker Carl Friedrich Gauss , udgivet i Leipzig i september 1801 . Denne monografi (over 600 sider) var en vigtig milepæl i udviklingen af talteori ; den indeholdt både en detaljeret fremstilling af resultaterne af forgængere ( Fermat , Euler , Lagrange , Legendre og andre), såvel som Gauss' egne dybe resultater. Blandt de sidstnævnte, af særlig betydning var [1] :

Kvadratisk lov om gensidighed , grundlaget for teorien om kvadratiske rester . Gauss gav sit bevis for første gang.
Teorien om sammensætning af klasser og slægter af kvadratiske former , som blev det vigtigste bidrag til skabelsen af teorien om algebraiske tal .
Teorien om deling af cirklen . Dette er ikke kun et eksempel på anvendelsen af generelle metoder, men, som det viste sig senere, en prototype på et bestemt eksempel på den generelle Galois-teori opdaget i 1830'erne .

Gauss' arbejde med "højere aritmetik" (som han kaldte talteori) forudbestemte udviklingen af denne gren af matematikken i mere end et århundrede. B. N. Delaunay betragter dette arbejde som en " mental bedrift " af en ung videnskabsmand, som har få ligestillede i verdensvidenskaben [2] .

Talteoriens tilstand i slutningen af det 18. århundrede

Gamle græske matematikere udviklede flere emner relateret til talteori. De kom ned til os i VII-IX bøgerne i Euklids " Begyndelse " (III århundrede f.Kr.) og inkluderede de vigtigste begreber i delelighedsteorien : heltalsdeling, division med rest , divisor, multiplum, primtal , Euklids Algoritme til at finde den største fælles divisor to tal.

Yderligere genoptog udviklingen af talteori først efter to årtusinder. Forfatteren af nye ideer var Pierre Fermat (XVII århundrede). Han opdagede blandt andet den for oldtiden ukendte delelighedsegenskab ( Fermats lille sætning ), som har en grundlæggende karakter. Fermats forskning blev videreført og uddybet af Euler , som grundlagde teorien om kvadratiske og andre kraftrester, opdagede " Euler-identiteten ". Flere store opdagelser blev gjort af Lagrange , og Legendre udgav monografien " Erfaring i talteorien " (1798), den første detaljerede præsentation af dette afsnit af matematik i historien. I slutningen af det 18. århundrede blev der gjort fremskridt i studiet af fortsatte brøker , løsningen af forskellige typer ligninger i heltal ( Wallis , Euler, Lagrange), og studiet af fordelingen af primtal begyndte (Legendre).

Gauss begyndte at arbejde på sin bog i en alder af 20 (1797). På grund af det lokale trykkeri uhastede arbejde strakte arbejdet med bogen sig i 4 år; desuden stræbte Gauss efter den regel, som han hele sit liv var tro mod, kun at udgive afsluttede studier, der var egnede til direkte praktisk anvendelse. I modsætning til Legendre tilbød Gauss ikke blot en liste over sætninger, men en systematisk udlægning af teorien baseret på forenede ideer og principper. Alle de overvejede problemer bringes til algoritmens niveau , bogen indeholder mange numeriske eksempler, tabeller og forklaringer [3] [4] .

Bogens indhold

Bogen består af en dedikation og syv afsnit, opdelt i afsnit, der har kontinuerlig nummerering. I dedikationen udtrykker Gauss taknemmelighed over for sin protektor Karl Wilhelm Ferdinand , hertug af Brunswick (dedikationen er udeladt fra den russiske oversættelse fra 1959).

De første tre afsnit indeholder i det væsentlige ikke nye resultater, selvom de også er af betydelig værdi set ud fra et ideologisk og metodisk synspunkt.

Afsnit 1. Om sammenligneligheden af tal generelt,

Her introducerer Gauss, som opsummerer Eulers forskning, nøglekonceptet med at sammenligne heltal modulo og den bekvemme symbolik af dette forhold, som umiddelbart var forankret i matematik:

a\equiv b{\pmod {m))

Egenskaberne for sammenligningsrelationen er givet, både bringer den tættere på lighedsforholdet og specifik for sammenligningsrelationen. Yderligere er hele teorien om tal bygget "på sammenligningernes sprog." Især for første gang i historien konstrueres en kvotientring af restklasser [5] .

Afsnit 2. Om sammenligninger af første grad.

I begyndelsen af afsnittet overvejes forskellige delelighedsegenskaber . Blandt dem (i afsnit 16) er aritmetikkens grundsætning for første gang fuldstændig formuleret og bevist - i modsætning til sine forgængere angiver Gauss klart, at nedbrydningen i primtal er unik : " hvert sammensat tal kan dekomponeres til primfaktorer på kun én og eneste måde ".

Følgende er en førstegrads sammenligningsløsning:

ax+t\equiv 0{\pmod {p}}

og systemer til sådanne sammenligninger.

Afsnit 3. Om effektrester,

I dette afsnit og i det følgende går forfatteren videre til sammenligninger af grad over én for et primemodul . Ved at undersøge rester beviser Gauss eksistensen af primitive rødder til et primemodul (Euler har ikke et strengt bevis for dette). Lagranges sætning er bevist: sammenligning af en grad modulo a primtal har ikke flere uforlignelige løsninger. $s$ $n$ $n$

Afsnit 4. Om sammenligninger af anden grad.

Her beviser Gauss den berømte kvadratiske reciprocitetslov , som han fortjent kaldte den "gyldne sætning" ( lat. theorema aureum ). Den blev først formuleret af Euler i 1772 (publiceret i Opuscula Analytica , 1783), Legendre kom til denne sætning uafhængigt (1788), men hverken den ene eller den anden var i stand til at bevise loven. Gauss ledte efter måder at bevise hele året på. Gensidighedsloven tillader især, at et givet heltal kan finde de moduler, som er en rest (eller omvendt en ikke-rest). $-en$ $-en$

Afsnit 5. Om former og ubestemte ligninger af anden grad.

Dette er den mest omfattende del af bogen. I begyndelsen af afsnittet giver Gauss endnu et bevis for den kvadratiske reciprocitetslov (han foreslog senere seks mere og offentliggjorde i 1832 (uden bevis) den biquadratiske reciprocitetslov for 4. grads rester). Yderligere beskrives teorien om kvadratiske former i detaljer , som bestemmer hvilke værdier udtryk for formen med heltalskoefficienter kan tage [6] . $ax^2 + 2bxy + cy^2$

Afsnittet består af 4 dele:

Klassifikation, teori om repræsentation af heltal ved binære kvadratiske former af formen , løsning i heltal af en generel ubestemt ligning af anden grad med to ukendte. Disse resultater er allerede opnået tidligere, hovedsageligt af Lagrange. $ax^2 + 2bxy + cy^2$
Teorien om sammensætning af klasser af binære kvadratiske former og teorien om deres slægter.
Teorien om ternære kvadratiske former, som markerede begyndelsen på den aritmetiske teori om kvadratiske former i mange variabler.
Praktiske anvendelser af formteorien: bevis for slægtssætningen, teorien om at udvide tal til en sum af tre kvadrater eller tre trekantede tal , løsning af en ubestemt ligning , løsning af en generel ubestemt ligning af anden grad med to ukendte i rationelle tal , og overvejelser om det gennemsnitlige antal klasser i en slægt. $ax^{2}+af^{2}+cz^{2}=0$

En væsentlig del af afsnittet er af generel algebraisk karakter, og efterfølgende blev dette materiale overført til den generelle teori om grupper og ringe.

Afsnit 6. Forskellige anvendelser af tidligere forskning.

Gauss løser flere praktisk vigtige problemer.

Overvej en brøk, hvor nævneren kan repræsenteres som et produkt af coprimtal : Derefter kan brøken udvides: ${\frac {m}{n)),$ $n$ $n=abc\dots$

{\frac {m}{n}}={\frac {u}{a}}+{\frac {v}{b}}+{\frac {w}{c}}+\dots

Teorien om repræsentation af almindelige brøker med periodiske decimalbrøker - afhængigheden af periodens længde af brøkens nævner, loven om dannelse af periodecifre og forbindelsen med primitive rødder studeres grundigt.
En sammenligningsløsningsmetode , der ikke kræver brug af indekstabeller . $x^{2}\equiv a{\pmod {m))$
Metode til at løse en ligning i heltal. $mx^{2}+ny^{2}=a$
To metoder til at kontrollere, om et givet heltal er primtal.

Afsnit 7. Om de ligninger, som cirklens inddeling afhænger af.

At opdele en cirkel i lige store dele, eller tilsvarende konstruere en regulær indskrevet- gon, kan algebraisk beskrives som løsning af ligningen for at dividere en cirkel i det komplekse plan . Rødderne til denne ligning kaldes " enhedens rødder ". Hvis vi i overensstemmelse med ældgamle principper kun begrænser os til mængder, der kan konstrueres ved hjælp af et kompas og en rette , så opstår spørgsmålet: for hvilke værdier er en sådan konstruktion mulig, og hvordan man implementerer den i praksis [7] . $n$ $n$ $x^{n}-1=0$ $n$

Gauss var den første til at løse dette gamle problem på en udtømmende måde. De gamle grækere vidste, hvordan man opdeler cirklen i dele for følgende værdier $n$ $n:$

{\displaystyle 2^{k};\quad 3\cdot 2^{k};\quad 5\cdot 2^{k};\quad 15\cdot 2^{k))

Gauss formulerede et kriterium, som senere blev kendt som " Gauss-Wanzel-sætningen ": Konstruktionen er mulig, hvis og kun hvis den kan repræsenteres i formen [7] : $n$

n=p_{1}p_{2}\dots p_{t}\cdot 2^{k},

hvor er forskellige primtal i formen ${\displaystyle p_{1},p_{2}\dots p_{t))$ $2^{m}+1.$

Rødderne af cirkeldelingsligningen kan altid udtrykkes "i radikaler", men generelt set indeholder dette udtryk radikaler af højere grad end den anden, og brugen af et kompas og lineal giver dig mulighed for kun at udtrække kvadratrødder. Derfor vælger Gauss-kriteriet dem og kun de værdier, for hvilke graden af radikaler ikke er højere end den anden. Gauss viste især, hvordan man konstruerer en regulær 17-gon ved at udlede formlen: $n,$

\cos {\frac {360^{\circ }}{17}}={\frac {1}{16}}\left(-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {2\left( 17-{\sqrt {17}}\right)}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {2\left(17-{\sqrt {17}}\right )))-2{\sqrt {2\left(17+{\sqrt {17}}\right))))}}\right)

Da denne formel kun indeholder kvadratrødder, kan alle de mængder, der indgår i den, konstrueres med et kompas og en lineal. Gauss var stolt af denne opdagelse og testamenterede til at gravere en regulær 17-gon indgraveret i en cirkel på hans gravsten [8] . Han erklærede selvsikkert, at alle forsøg på at bygge en regulær syvkant, 11-gon osv. med kompas og lineal ville være mislykkede.

De "Aritmetiske Undersøgelser" indeholder kun beviset for tilstrækkeligheden af Gauss-kriteriet, og beviset for nødvendigheden er ifølge forfatteren udeladt, da " grænserne for nærværende værk ikke tillader dette bevis at blive præsenteret her . " Det udeladte bevis fandtes dog hverken i værkerne eller i videnskabsmandens arkiv; den blev første gang udgivet af den franske matematiker Pierre Laurent Wantzel i 1836 [7] [9] .

Historisk indflydelse

Historikere kalder fortjent Fermat og Euler for skaberne af talteori, men Gauss bør kaldes skaberen af moderne talteori, hvis ideer sætter retningen for teoriens videre fremskridt [10] . En af de vigtigste resultater af aritmetiske undersøgelser var det matematiske samfunds gradvise erkendelse af det faktum, at mange problemer i talteori (og, som det snart viste sig, ikke kun i denne teori) er forbundet med usædvanlige algebraiske strukturer, egenskaberne ved som skulle studeres. Strukturerne af grupper , ringe og felter , herunder endelige, blev allerede implicit brugt i Gauss bog , og løsningen af problemerne præsenteret i bogen bestod ofte i at tage hensyn til deres egenskaber og funktioner. Allerede i denne bog er Gauss afhængig af ikke-standard (modulær) aritmetik; i senere arbejde bruger han uvant aritmetik for komplekse heltal ( gaussiske ) tal. Efterhånden som materiale akkumulerede, blev behovet for en generel teori om nye strukturer mere og mere klart.

Stilen i de aritmetiske undersøgelser er blevet kritiseret for at være (stedvis) for kort; ikke desto mindre opnåede monografien Lagranges entusiastiske vurdering , i sit brev til Gauss (1804) siger han: " Dine undersøgelser hævede dig straks til niveauet af de første matematikere, og jeg mener, at den sidste del indeholder den smukkeste analytiske opdagelse blandt de lavet gennem lang tid [11] .

Yderligere blev undersøgelserne af Gauss primært udviklet af Gauss selv, som udgav flere flere værker om talteori, hvoraf de forårsagede en særlig resonans:

1811: "Summering af nogle serier af særlig art".
1828-1832: "Teorien om biquadratiske rester". Gaussiske tal dukkede først op i den.

Gauss' pionerarbejde blev videreført af Niels Abel , som beviste umuligheden af at løse den generelle femtegradsligning i radikaler. I algebraisk talteori blev Gauss' arbejde videreført af Jacobi , Eisenstein og Hermite . Jacobi fandt gensidighedsloven for kubiske rester (1839) og undersøgte kvartære former. Cauchy studerede den generelle ubestemte ternære kubiske ligning (1816). Dirichlet , Gauss efterfølger i Göttingen-afdelingen, havde Aritmetiske Undersøgelser som opslagsbog, som han næsten aldrig skilte sig med, og i mange af sine værker udviklede han Gauss ideer. Et vigtigt bidrag fra Kummer var udviklingen af teorien om idealer , som løste mange algebraiske problemer [12] .

Det afgørende skridt i skabelsen af en ny algebra var Evariste Galois og Arthur Cayleys arbejde , hvorfra dannelsen af moderne algebra begynder .

Publikationer

Online tekst

Tekst i Wikisource .
I PDF-format .

Russisk oversættelse

Carl Friedrich Gauss. Proceedings on talteori / Generel udgave af akademiker I. M. Vinogradov , kommentarer fra tilsvarende medlem. USSR's Videnskabsakademi B.N. Delaunay . - M. : Publishing House of the Academy of Sciences of the USSR, 1959. - 297 s. - (videnskabens klassikere).

Noter

↑ Arbejder med talteori, 1959 , s. 875-876.
↑ Arbejder med talteori, 1959 , s. 878, 882.
↑ Arbejder med talteori, 1959 , s. 878, 881-882.
↑ Klein F., 1937 , s. 54.
↑ Matematik i det 19. århundrede. Bind I, 1978 , s. 62, 82-83.
↑ Arbejder med talteori, 1959 , s. 906.
↑ 1 2 3 B. N. Delaunay, 1959 , s. 957-966.
↑ Obelisken på Gauss grav indeholder ikke denne figur, men den ses i form af en piedestal, som monumentet står på, se stedet "Gauss grav" .
↑ Matematik i det 19. århundrede. Bind I, 1978 , s. 40.
↑ Klein F., 1937 , s. 55.
↑ E. T. Bell, Makers of Mathematics . - M . : Uddannelse, 1979. - 256 s.
↑ Vileitner G., 1960 , s. 375-376.

Litteratur

Vileitner G. Matematikkens historie fra Descartes til midten af det 19. århundrede. - M. : GIFML, 1960. - 468 s.
Delaunay B. N. Gauss' værker om talteori // Carl Friedrich Gauss . Arbejder med teorien om tal. - M . : Publishing House of the Academy of Sciences of the USSR, 1959. - S. 879-976. — 297 s. - (videnskabens klassikere).
Klein F. Forelæsninger om matematikkens udvikling i det 19. århundrede . - M. - L. : GONTI, 1937. - T. I. - 432 s.
Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (red.). Matematik i det 19. århundrede. Bind I: Matematisk logik, algebra, talteori, sandsynlighedsteori. — M .: Nauka, 1978.
Lisana, Antonio Rufian . Hvis tallene kunne tale. Gauss. Talteori. Serie: Videnskab. De største teorier. Udgave nr. 8. M.: DeAgostini, 2015. ISSN 2409-0069. 168 s.

Tematiske steder	OCLC OCLC
Ordbøger og encyklopædier	Britannica (online) Universalis