Universal sæt

En universel mængde er en mængde i matematik , der indeholder alle objekter og alle mængder. I den aksiomatik, hvori det universelle sæt eksisterer, er det unikt.

Den universelle mængde betegnes normalt (fra det engelske univers, universal set ), sjældnere . $\mathbb {U}$ ${\mathbb {E}}$

I Zermelo-Fraenkels aksiomatik viser Russells paradoks med udvælgelsesskemaet og Cantors paradoks , at antagelsen om eksistensen af et sådant sæt fører til en modsigelse .

I aksiomatikken af von Neumann - Bernays - Gödel er der en universel klasse - klassen af alle sæt, men det er ikke et sæt. Klassen af alle sæt er en objektklasse af kategorien Sæt .

I nogle aksiomatik er der et universelt sæt, men udvælgelsesordningen er ikke opfyldt. Et eksempel er W. V. O. Quines New Foundations - teori

Et universelt sæt er også et sæt af objekter, der betragtes i enhver sektion af matematik. For elementær aritmetik er den universelle mængde mængden af heltal, for den analytiske geometri af planet er den universelle mængde mængden af alle ordnede par af reelle tal [1] .

I Venn-diagrammer er det universelle sæt (i begge betydninger) repræsenteret af sættet af punkter i et eller andet rektangel; delmængder af dets punkter viser delmængder af det universelle sæt [1] .

I det følgende diskuteres den første betydning af udtrykket. Formlerne nedenfor (med undtagelse af ) er også sande for den anden værdi, hvis et element og en delmængde af mængden er angivet med henholdsvis og . $\mathbb {U} \in \mathbb {U}$ $-en$ $EN$ $\mathbb {U}$

Egenskaber for det universelle sæt

Ethvert objekt, uanset dets natur, er et element i det universelle sæt. $\forall a\colon a\in \mathbb {U}$
Især det universelle sæt indeholder sig selv som et af mange elementer. $\mathbb {U} \in \mathbb {U}$
Ethvert sæt er en delmængde af det universelle sæt. $\forall A\colon A\subseteq \mathbb {U}$
Især det universelle sæt er i sig selv sin egen undergruppe. $\mathbb {U} \subseteq \mathbb {U}$
Foreningen af et universelt sæt med ethvert sæt er lig med det universelle sæt. $\forall A\colon \mathbb {U} \cup A=\mathbb {U}$
Især er foreningen af et universelt sæt med sig selv lig med det universelle sæt. $\mathbb {U} \cup \mathbb {U} =\mathbb {U}$
Foreningen af ethvert sæt med dets komplement er lig med det universelle sæt. $A\cup A^{\complement }=\mathbb {U}$
Skæringspunktet mellem det universelle sæt og ethvert sæt er lig med det sidste sæt. $\forall A\colon \mathbb {U} \cap A=A$
Især er skæringspunktet mellem et universelt sæt og sig selv lig med det universelle sæt. $\mathbb {U} \cap \mathbb {U} =\mathbb {U}$
Udelukkelsen af det universelle sæt fra ethvert sæt er lig med det tomme sæt . $\forall A\colon A\setminus \mathbb {U} =\varnothing$
Især udelukkelsen af et universelt sæt fra sig selv er lig med det tomme sæt. $\mathbb {U} \setminus \mathbb {U} =\varnothing$
Udelukkelsen af ethvert sæt fra det universelle sæt er lig med tilføjelsen af dette sæt. $\forall A\colon \mathbb {U} \setminus A=A^{\complement }$
Komplementet af det universelle sæt er det tomme sæt. $\mathbb {U} ^{\complement }=\varnothing$
Den symmetriske forskel på et universalsæt med ethvert sæt er lig med komplementet til det sidste sæt. $\forall A\colon \mathbb {U} \triangle A=A^{\complement }$
Især den symmetriske forskel mellem et universelt sæt og sig selv er lig med det tomme sæt. $\mathbb {U} \triangle \mathbb {U} =\varnothing$

Arter

Et disjunktivt-universelt sæt (DUM) G [2] af orden n og rang p er et sæt funktioner i logikkens algebra (FAL), således at der for enhver er et sæt funktioner, således at: $g\in P_{2}(n)$ $g_{1},\ldots ,g_{p}\i G$

$g=g_{1}\lor \ldots \lor g_{p}$

Se også

Noter

↑ 1 2 Stoll, 1968 , s. 25.
↑ S. A. Lozhkin. Forelæsninger om Fundamentals of Cybernetics, 2008 ( PDF )

Litteratur

Stoll R. Sæt, logik, aksiomatiske teorier. — M .: Mir, 1968. — 231 s.
Nefedov V.N. , Osipova V.A. Diskret matematikkursus. - M. : MAI, 1992. - 264 s. — ISBN 5-7035-0157-X .