Volumetrisk aksiom

Volumenaksiomet kaldes følgende udsagn om mængdeteori :

\forall a_{1}\forall a_{2}\ (\forall b\ (b\in a_{1}\leftrightarrow b\in a_{2})\to a_{1}=a_{2} )

Hvis vi omskriver volumenaksiomet i formen

\forall a_{1}\forall a_{2}\ (\forall b\ (b\in a_{1}\to b\in a_{2})\ \land \ \forall b\ (b\ i a_{2}\to b\in a_{1})\to a_{1}=a_{2})

så kan aksiomet formuleres som følger:

"Uanset de to sæt, hvis hvert element i 1. sæt hører til 2. sæt, og hvert element i 2. sæt hører til 1. sæt, så er det første sæt identisk med det andet sæt."

En anden formulering [1] :

"To sæt er lige, hvis og kun hvis de består af de samme elementer."

Andre formuleringer af 3D-aksiomet

$\forall a_{1}\forall a_{2}\ (a_{1}\subseteq a_{2}\ \land \ a_{2}\subseteq a_{1}\to a_{1}=a_{ 2})$

$\forall a_{1}\forall a_{2}\ (a_{1}\neq a_{2}\to \exists b\ (b\in a_{1}\ \veebar \ b\in a_{ 2})\ )$

Noter

Axiomet for volumen udtrykker den nødvendige betingelse for lighed mellem to sæt. En tilstrækkelig betingelse for lighed af mængder er afledt af prædikataksiomer , nemlig: $=$

\forall a\ (a=a)

\forall a_{1}\forall a_{2}\ (a_{1}=a_{2}\to (\varphi [a_{1}]\to \varphi [a_{2}]))

, hvor er enhver matematisk korrekt dom om , og er den samme dom, men om .

\varphi [a_{1}]

a_{1}

\varphi [a_{2}]

a_{2}

Ved at kombinere den angivne tilstrækkelige betingelse for mængdens lighed med volumenaksiomet opnår vi følgende kriterium for mængdens lighed :

\forall a_{1}\forall a_{2}\ (a_{1}=a_{2}\leftrightarrow \forall b\ (b\in a_{1}\leftrightarrow b\in a_{2}) \ )

Dette kriterium om lighed af sæt er hverken værre eller bedre end andre lignende kriterier, herunder:

1) kriterium for lighed af komplekse tal

\forall x\forall y\forall u\forall v\ (x,y,u,v\in \mathbb {R} \to (x+iy=u+iv\leftrightarrow x=u\ \land \ y=v))

2) kriterium for lighed af ordnede par

\forall x\forall y\forall u\forall v\ (\ (x,y)=(u,v)\leftrightarrow x=u\ \land \ y=v)\ )

3) kriterium for lighed af uordnede par

\forall x\forall y\forall u\forall v\ (\{x,y\}=\{u,v\}\leftrightarrow x=u\ \land \ y=v\quad \lor \quad x=v\ \land \ y=u)\ )

4) kriterium for lighed af to sekvenser

\{x_{n}\}=\{y_{n}\}\leftrightarrow \forall i\ (i\in \mathbb {N} \to x_{i}=y_{i})

Det fremgår klart af det foregående, at volumenaksiomet er en organisk del af mængdelærens aksiomatik.

Axiomet for volumen bruges til at bevise unikheden af en mængde, hvis eksistens allerede er erklæret [af aksiomet] eller etableret [ved beviset for sætningen].

Eksempler

1. Bevis på det tomme sæts unikke karakter

Eksistensen af [mindst én] tom mængde erklæres af aksiomet

\exists a\forall b\ (b\notin a)

Det er påkrævet at bevise eksistensen af højst ét sæt , for hvilket udsagnet er sandt $-en$

\forall b\ (b\notin a)

Vi skal med andre ord bevise

\exists \{0,1\}a\ (\forall b\ (b\notin a))

Eller, hvad der er det samme, skal det bevises

\forall a_{1}\forall a_{2}\ (\forall b(b\notin a_{1})\ \land \ \forall b(b\notin a_{2})\to a_{1 }=a_{2})

Bevis

{\begin{aligned}\forall b(b\notin a_{1})\ \land \ \forall b(b\notin a_{2})\Leftrightarrow \forall b(b\notin a_{1}\ \land \ b\notin a_{2})\Rightarrow \forall b(b\notin a_{1}\leftrightarrow b\notin a_{2})\\\ \Leftrightarrow \forall b(b\in a_{1}\leftrightarrow b\in a_{2})\Rightarrow a_{1}=a_{2}\end{aligned}}

Siden er beviset for det tomme sæts unikke karakter fuldstændigt. $\exists a\forall b\ (b\notin a)\ \land \ \exists \{0,1\}a\forall b\ (b\notin a)\Leftrightarrow \exists \{1\}a \forall b\ (b\notin a)$

2. Bevis for det unikke af sættet af delmængder

Eksistensen af [mindst et] sæt af delmængder erklæres af aksiomet

\forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)

Det er påkrævet at bevise eksistensen af højst ét sæt , for hvilket udsagnet er sandt $d$

\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)

Vi skal med andre ord bevise

\exists \{0,1\}d\ (\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a))

Eller, hvad der er det samme, skal det bevises

\forall d_{1}\forall d_{2}\ (\forall b\ (b\in d_{1}\leftrightarrow b\subseteq a)\ \land \ \forall b\ (b\in d_{ 2}\leftrightarrow b\subseteq a)\to d_{1}=d_{2})

Bevis

{\begin{aligned}\forall b(b\in d_{1}\leftrightarrow b\subseteq a)\ \land \ \forall b(b\in d_{2}\leftrightarrow b\subseteq a)\Leftrightarrow \forall b((b\in d_{1}\leftrightarrow b\subseteq a)\ \land \ (b\in d_{2}\leftrightarrow b\subseteq a))\\\ \Rightarrow \forall b(b\in d_ {1}\leftrightarrow b\in d_{2})\Rightarrow d_{1}=d_{2}\end{aligned}}

Siden er beviset for det unikke af sættet af undersæt fuldstændigt. $\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)\ \land \ \exists \{0,1\}d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)\Leftrightarrow \exists \{1\}d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)$

Se også

Axiomatik af mængdelære

Noter

↑ Stoll R. Sætter. Logikker. aksiomatiske teorier. - M., Oplysning, 1968. - Oplag 70.000 eksemplarer. - s. 13

Volumetrisk aksiom

Andre formuleringer af 3D-aksiomet

Noter

Se også

Noter

Litteratur