Burali-Forti paradokset

Burali-Forti-paradokset viser, at antagelsen om eksistensen af et sæt af alle ordenstal fører til modsigelser, og derfor er mængdeteorien selvmodsigende , hvor konstruktionen af et sådant sæt er mulig.

Ordlyd

I den matematiske litteratur er der forskellige formuleringer baseret på forskellig terminologi og et antaget sæt af velkendte teoremer. Her er en mulig formulering.

Det kan bevises, at hvis er et vilkårligt sæt af ordenstal, så er sumsættet et ordenstal større end eller lig med hvert af elementerne i . Antag nu, at det er mængden af alle ordenstal. Så er et ordenstal større end eller lig med et hvilket som helst af tallene i . Men så er og et ordenstal, desuden er det allerede strengt taget større, og derfor ikke lig med nogen af tallene i . Men dette modsiger den betingelse, der er mængden af alle ordenstal. $x$ $\textstyle\bigcup x$ $x$ $\Omega$ $\textstyle\bigcup \Omega$ $\Omega$ $\textstyle\bigcup \Omega \cup \{\bigcup \Omega\} = \bigcup \Omega + 1$ $\Omega$ $\Omega$

Historie

Paradokset blev opdaget af Cesare Burali-Fortii 1897 og viste sig at være et af de første paradokser, der viste, at naiv mængdeteori er inkonsekvent og derfor uegnet til matematikkens behov. Ikke-eksistensen af et sæt af alle ordenstal er i modstrid med begrebet naiv mængdeteori, som tillader konstruktion af mængder med en vilkårlig egenskab af elementer, det vil sige udtryk i formen "sættet af alle sådan at " ( ). $x$ $P$ $\{x \mid P\}$

Moderne aksiomatisk mængdeteori pålægger strenge begrænsninger for typen af tilstand , som kan bruges til at danne sæt. I aksiomatiske systemer som Gödel - Bernays er dannelsen af et udtryk for vilkårlig , men med det forbehold, at det kan vise sig ikke at være et sæt, men en klasse , tilladt . $P$ $\{x \mid P\}$ $P$

Se også

Litteratur

Er, Justin M. En historisk beretning om sætteoretiske antinomier forårsaget af abstraktionens aksiom .