Differentialregning

Calculus er en gren af matematisk analyse , der studerer begreberne afledt og differential , og hvordan de kan anvendes til studiet af funktioner . Dannelsen af differentialregning er forbundet med navnene på Isaac Newton og Gottfried Leibniz . Det var dem, der klart udgjorde hovedbestemmelserne og pegede på den gensidige karakter af differentiering og integration. Skabelsen af differentialregning (sammen med integral) åbnede en ny æra i udviklingen af matematik. Relateret til dette er sådanne discipliner som serieteorien, teorien om differentialligninger og mange andre. Metoder til matematisk analyse har fundet anvendelse i alle grene af matematikken. Anvendelsesområdet for matematik i naturvidenskab og teknologi er blevet meget udbredt.

Differentialregningen er baseret på så vigtige matematikbegreber, hvis definition og undersøgelse er genstand for introduktion til matematisk analyse: reelle tal (tallinje), funktion, grænse, kontinuitet. Alle disse begreber fik en moderne fortolkning i løbet af udviklingen og begrundelsen af differential- og integralregning.

Den grundlæggende idé med differentialregning er at studere en funktion i det små. Mere præcist giver differentialregning et apparat til at studere funktioner, hvis adfærd i et tilstrækkeligt lille kvarter af hvert punkt er tæt på adfærden for en lineær funktion eller et polynomium. Sådanne apparater er de centrale begreber i differentialregning: afledt og differential .

Differentialregning af funktioner af én variabel

Afledt

Lad en funktion defineres i et kvarter , og for enhver > 0 eksisterer der sådan , at $g(h)$ $h=0$ $\epsilon$ $\delta$

|g(h)/h^{n}|<\epsilon

, bare

|h|<\delta ,

så siger vi, at det er en uendelig rækkefølge . $g(h)$ $o(h^{n})$

Lade være en funktion med reel værdi defineret på segmentet . Denne funktion kaldes uendeligt differentierbar på intervallet if $f(x)$ $(a,b)$ $(a,b)$

f(x+h)=f(x)+f'(x)h+{\frac {1}{2!}}f''(x)h^{2}+\dots {\frac {1}{ n!}}f^{{(n)}}(x)h^{n}+o(h^{n})

for enhver og enhver . Således lokalt, i nærheden af ethvert punkt i segmentet, er funktionen vilkårligt godt tilnærmet af et polynomium . Funktioner, der er glatte på et segment, danner en ring af glatte funktioner . $x\in(a,b)$ $n$ $(a,b)$ $C^{\infty }(a,b)$

Odds $f^{{(n)}}(x)$

f^{{(m)}}(x+h)=f^{{(m)}}(x)+f^{{(m+1)))(x)h+\dots {\frac {1 }{n!}}f^{{(m+n)}}(x)h^{n}+o(h^{n})

Disse funktioner kaldes derivater af funktionen . Den første afledte kan beregnes som en grænse $f(x)$

f'(x)=\lim \limits _{{h\to 0}}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}

Operatøren , der tilknytter en funktion til dens afledte , betegnes som $f(x)$ $f'(x)$

D={\frac {d}{dx))

Desuden, for to glatte funktioner f og g,

D(f+g)=Df+Dg

D(fg)=fDg+gDf

En operator med disse egenskaber kaldes en afledning af en ring af glatte funktioner.

Enhver analytisk funktion , der er holomorf på intervallet, er en jævn funktion, men det modsatte er ikke sandt. Den største forskel mellem analytiske og glatte funktioner er, at førstnævnte er fuldstændig bestemt af deres adfærd i nærheden af et punkt, mens sidstnævnte ikke er det. For eksempel kan en glat funktion være konstant i et område med ét punkt, men ikke være konstant overalt. Elementære funktioner i deres (åbne) definitionsdomæne er analytiske og følgelig glatte funktioner. Men i modsætning til analytiske funktioner kan glatte funktioner defineres på forskellige intervaller af forskellige elementære udtryk. $(a,b)$

Tangent linje

Lige

y=f(c)+f'(c)(xc)

krydser kurven

y=f(x)

på et punkt på en sådan måde, at udtrykkets tegn $(c,f(c))$

f(x)-f(c)-f'(c)(xc)={\frac {1}{2}}f''(c)(xc)^{2}+o((xc)^{ 2})

tilstand forbliver den samme hele tiden, så kurven $f''(c)\ikke =0$

y=f(x)

ligger på den ene side af stregen

y=f(c)+f'(c)(xc)

En ret linje med den angivne egenskab kaldes en tangent til kurven i et punkt (ifølge B. Cavalieri ). Det punkt , hvor kurven $x=c$ $x=c$

y=f(x)

ligger ikke på samme side af en linje

y=f(c)+f'(c)(xc)

kaldes bøjningspunkt , mens linjen stadig kaldes tangent. For ensartethed er begrebet en tangent i sig selv ofte introduceret forskelligt, så begge tilfælde falder ind under det.

Ekstreme punkter

Et punkt kaldes et lokalt maksimum ( minimum ) punkt if $x=c$

f(c)-f(c+h)>0\quad (f(c)-f(c+h)<0)

for alle tilstrækkeligt små modulo . Fra forholdet $h$

f'(c)h+{\frac {1}{2}}f''(c)h^{2}+o(h^{2})<0

det er umiddelbart klart, at det er en nødvendig betingelse for et maksimum, og er en tilstrækkelig betingelse for et maksimum. Betingelsen fremhæver maksimum, minimum og bøjningspunkter. $f'(c)=0$ $f''(c)<0$ $f''(c)=0$

Kontinuerlige funktioner

Lad defineret og i enderne af intervallet ; det siges at være kontinuerlig på hvis for nogen der eksisterer sådan at $f$ $[a,b]$ $[a,b]$ $\epsilon$ $\delta$

|f(x)-f(x+h)|<\epsilon

, bare

|h|<\delta ,

og punkterne går ikke ud over intervallets grænser . Weierstrass-sætningen siger, at en funktion, der er glat på et interval, når sine minimums- og maksimumværdier på et interval. Begrebet kontinuitet af en funktion er normalt knyttet til begrebet grænsen for en funktion . Kontinuerlige funktioner i et interval danner en ring af kontinuerlige funktioner . $x,\,x+h$ $[a,b]$ $[a,b]$ $C[a,b]$

Historie

I det 12. århundrede var matematikeren Sharafuddin at-Tusi fra den tyrkisk-mongolske delstat Hulagu den første til at finde den afledte af en kubisk funktion, et vigtigt resultat i differentialregning. En "Treatise on Equations" blev skrevet, hvor begreber relateret til differentialregning blev udviklet, såsom den afledede af en funktion og maksima og minima for kurver, til løsning af kubiske ligninger , der ikke kan have en positiv løsning.

Fundamentale sætninger for differentialregning

Ringen af funktioner kontinuerligt tændt og glat på har en række vigtige egenskaber: $[a,b]$ $(a,b)$

Rolles sætning : hvis , så er der et maksimum eller minimum punkt , hvor det forsvinder. $f(a)=f(b)$ $c\in(a,b)$ $f'$
Lagranges sætning : der er sådan en pointe , at $c\in(a,b)$

{\frac {f(b)-f(a)}{ba}}=f'(c)

Cauchys sætning : hvis på , så eksisterer der et punkt sådan, at $g'\not=0$ $(a,b)$ $c\in(a,b)$

{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)))

Fra Lagrange-sætningen udleder man Taylor-formlen med et restled i Lagrange-formen: på ethvert segment er der punkter sådan, at $(a',b')\delmængde (a,b)$ $c_n$

f(b')=f(a')+f'(a')(b'-a')+{\frac {1}{2!}}f''(a')(b'-a' )^{2}+\dots {\frac {1}{n!}}f^{{(n)}}(a')(b'-a')^{n}+R_{n}

hvor

R_{n}={\frac {1}{(n+1)!}}f^{{(n+1)}}(c_{n})(b'-a')^{{n+1 }}

Ved hjælp af denne formel kan du tilnærmelsesvis beregne værdierne af en funktion i et punkt ud fra de kendte værdier af funktionen og dens afledte værdier i et punkt . $b'$ $en'$

Fra Cauchys sætning er L'Hopitals regel afledt : hvis eller , og til , så $f(b)=g(b)=0$ $f(b)=g(b)=\infty$ $g'\not=0$ $(a,b)$

\lim \limits _{{x\rightarrow b-0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim \limits _{{x\rightarrow b-0}}{\frac {f'(x)}{g'(x)}},

og eksistensen af den anden grænse indebærer eksistensen af den første.

Se også

Variationsberegning
Analyse af funktioner af mange variable
Integralregning
For en historisk oversigt og bibliografi, se artiklen Calculus .
Differentialregning over kommutative algebraer

Litteratur

Grav D.A. ,. Differentialregning // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 bind (82 bind og 4 yderligere). - Sankt Petersborg. , 1890-1907.
Vinogradov I.M. (red.) Encyclopedia of Mathematics . Bind 2. Moscow : Soviet Encyclopedia , 1977
Bronshtein IN , Semendyaev KA , Håndbog i matematik for ingeniører og studerende på tekniske gymnasier . Moskva: Nauka, 1981.