Galileos paradoks

Galileos paradoks  er et eksempel, der illustrerer egenskaberne ved uendelige mængder . I en nøddeskal: der er lige så mange naturlige tal, som der er kvadrater af naturlige tal , det vil sige i mængden 1, 2, 3, 4 ... der er lige så mange elementer som i mængden 1, 4, 9, 16 ...

I sit sidste værk, De to videnskaber, gav Galileo to modstridende domme om de naturlige tal . For det første er nogle tal nøjagtige kvadrater (det vil sige kvadraterne af andre heltal); andre numre har ikke denne egenskab. Der skal altså være flere perfekte kvadrater og almindelige tal sammen end blot perfekte kvadrater. Anden dom: for hvert naturligt tal er der dets nøjagtige kvadrat, og omvendt - for hvert nøjagtige kvadrat er der en heltal kvadratrod , derfor bør der være det samme antal nøjagtige kvadrater og naturlige tal. Dette er et af de første, men ikke det tidligste, eksempler på brugen af ​​begrebet en-til-en kortlægning i sammenhæng med uendelige mængder.

Galileo konkluderede, at det kun er muligt at bedømme det samme antal elementer for endelige mængder . I det 19. århundrede viste Georg Cantor ved hjælp af sin mængdelære, at det var muligt at indføre et "antal elementer" for uendelige mængder - den såkaldte kardinalitet af en mængde . Samtidig faldt kardinaliteterne af sættet af naturlige tal og sættet af nøjagtige kvadrater sammen (den anden begrundelse for Galileo viste sig at være korrekt). Galileos paradoks kom i konflikt med Euklids aksiom , som siger, at helheden er større end nogen af ​​sine egne dele (med sin egen del menes en del, der ikke er sammenfaldende med helheden) [1] . Det er bemærkelsesværdigt, i hvor høj grad Galileo forventede efterfølgende arbejde inden for det uendelige tal. Han viste, at antallet af punkter på et kort stykke af en ret linje er lig med antallet af punkter på et større stykke, men han kendte selvfølgelig ikke Cantors bevis på, at dets kardinalitet er større end kardinaliteten af ​​mængden af heltal. Galileo havde mere presserende opgaver. Han behandlede modsigelser i Zenons paradokser for at bane vejen for hans matematiske teori om bevægelse [2] .

Noter

1. ↑ Galileo paradoks. — Logisk ordbogsreference. — M.: Nauka, 1975. S. 110.
2. ↑ Alfred Renyi, Dialogs on Mathematics , Holden-Day, San Francisco, 1967.