Epsilon tal

Epsilon-tal er ordinaler indført af den tyske matematiker Gerg Kantor og er fikspunkter for en funktion , det vil sige, der opfylder ligningen hvor er den første transfinite ordinal. Epsilon-tal kan defineres som følger (som suprema af transfinite sekvenser ): $f(\alpha )=\omega ^{\alpha },$ $\varepsilon =\omega ^{\varepsilon },$ $\omega$

$\varepsilon _{0}=\sup\{0,1,\omega ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega )),\omega ^{\omega ^{ \omega ^{\omega ))},...\};$
$\varepsilon _{\alpha +1}=\sup\{\varepsilon _{\alpha }+1,\omega ^{\varepsilon _{\alpha }+1},\omega ^{\omega ^{ \varepsilon _{\alpha }+1)),\omega ^{\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{\alpha }+1))},...\};$
${\displaystyle \varepsilon _{\alpha }=\sup\{\varepsilon _{\beta }|\beta <\alpha \))$ for grænseordinalen $\alfa.$

Den mindste ordinal, der er et fast punkt i en funktion , kaldes Cantor-ordinalen og betegnes som $f(\alpha )=\varepsilon _{\alpha },$ $\zeta _{0}.$

\zeta _{0}=\sup\{0,\varepsilon _{0},\varepsilon _{\varepsilon _{0)),\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{0)) },\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{0}}}},...\}.

Efterfølgende, i 1908, udviklede Oswald Veblen en mere kraftfuld ordensnotation, funktionshierarkiet . Ifølge Veblen-notation . $\varphi _{\alpha }$ $\varepsilon _{\alpha }=\varphi _{1}(\alpha )$

Epsilon tal

Links