Integralregning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 28. december 2021; checks kræver 2 redigeringer .

Integralregning er et afsnit af matematisk analyse , der studerer integralet , dets egenskaber og beregningsmetoder [1] .

Længder, arealer og volumener

I arbejdet med Archimedes "Om måling af omkredsen af en cirkel" overvejes spørgsmålet om at bestemme arealet og omkredsen af en cirkel, og i afhandlingen " Om kuglen og cylinderen " - på overflader og rumfang af legemer afgrænset af buede overflader; disse spørgsmål repræsenterer de første geometriske problemer relateret til calculus. Og på nuværende tidspunkt er hovedopgaven for calculus at finde arealer af krumlinede figurer. Arealet af en buet figur (fig. 1) betyder den grænse, til hvilken arealet af en polygon, der er indskrevet i figuren, tenderer, når antallet af dens sider øges, og disse sider kan gøres mindre end nogen forudbestemt vilkårligt lille nummer. $S$

Hovedideen med at beregne arealet af vilkårlige geometriske former er som følger. For det første, hvordan man beregner arealet af et rektangel, det vil sige, hvordan man beviser, at dets areal er produktet af længde og bredde. Hvis vi taler om geometri, hvor alle konstruktioner skal udføres ved hjælp af et kompas og lineal , så er forholdet mellem længde og bredde i en sådan geometri et rationelt tal (se Pogorelovs lærebog), det vil sige, hvis længden tages som en enhed, så kan bredden udtrykkes i som en brøk , hvor og er naturlige tal . For et sådant rektangel kan du vælge sådan et "enkelt kvadrat", der fuldstændigt dækker et sådant rektangel. "Enkelt kvadrat"-siden kan vælges som d = gcd( m , n ) , hvor er et naturligt tal. For eksempel, hvis vi har et rektangel 10 cm langt og 14 cm bredt, så kan et sådant rektangel bygges ved hjælp af et kompas og en lineal (hvis længden tages som enheder, vil dens bredde være 14/10 = 7/5) . Som en side af "enkelt firkant" kan du tage d \u003d GCD (14, 10) \u003d 2 cm . Denne firkant vil passe 5 gange i længden og 7 i bredden, i alt skal du bruge 5 × 7 = 35 sådanne "enkelte firkanter". Du kan tage firkanter med en side på 1 cm. Denne firkant passer 10 gange i længden og 14 gange i bredden, i alt skal du bruge 10 × 14 = 140 sådanne "enkeltfirkanter". Det ses af denne konstruktion, at dimensionen (se) ikke spiller nogen væsentlig rolle i en sådan konstruktion. $m/n$ $m$ $n$ $d$

Arealet af en retvinklet trekant kan beregnes, hvis du bemærker, at hvis du sætter nøjagtig den samme trekant ved siden af, får du et rektangel. Da vi fordoblede trekantens areal, er trekantens areal halvdelen af rektanglets areal. Arealet af et parallelogram bestemmes på en lignende, lidt mere kompleks måde, gennem områderne af et rektangel og en trekant. Arealet af polygoner bestemmes ved hjælp af arealet af trekanter.

Hvordan bestemmer man arealet af en vilkårlig kurve? For eksempel en kurve, der er en kontinuerlig funktion afgrænset af rette linjer og ? $x=a$ $x=b$

Hvis du forsøger at opdele en sådan figur i "enkelte firkanter", så vil der være ufyldte "huller" (som i tilfældet med rektangler med sider, hvis forhold ikke er lig med et rationelt tal). I dette tilfælde forsøger de at lave to belægninger: med rektangler "ovenfra" og "nedefra", det vil sige at bygge rektangler på en sådan måde, at de inkluderer grafen for funktionen eller ej. Her er det essentielt, hvordan vi præcist vil opdele i rektangler (se nedenfor). Det andet punkt er, at hvis vi tager mindre og mindre partitioner, så skal dækningsområdet "ovenfra" og dækningsområdet "nedefra" konvergere og konvergere til en eller anden endelig værdi. Det tredje punkt er, at det "øverste" dækningsområde og det "nederste" dækningsområde skal konvergere til samme tal.

Lad os vende tilbage til metoden til opdeling i rektangler. Der er mindst to almindelige måder.

Riemann formaliserede konceptet om et integral, udviklet af Newton og Leibniz , som arealet af en undergraf (figuren indesluttet mellem grafen for en funktion og x-aksen ) . For at gøre dette overvejede han figurer bestående af flere lodrette rektangler og opnået ved at opdele et segment (se figur). Hvis der, når partitionen er "raffineret", er en grænse, til hvilken arealer af sådanne figurer (integral summer) konvergerer, kaldes denne grænse Riemann-integralet af funktionen på segmentet. Se Riemann integral for detaljer .

Ideen med at konstruere Lebesgue-integralet er, at i stedet for at opdele integrandens definitionsdomæne i dele og derefter kompilere integralsummen ud fra værdierne af funktionen på disse dele, er dets værdidomæne opdelt i intervaller, og derefter summeres målene af de omvendte billeder af disse intervaller med de tilsvarende vægte.

Lad os vende tilbage til definitionen af Riemann-integralet.

Det angivne problem løses ved hjælp af integralregning, hvis figurens krumlinjede kontur er givet ved en ligning, som man gør i analytisk geometri (se Analytisk geometri og Differentialregning ). Lad ligningen for den givne kurve (fig. 2) være . $S$ $S$ $y=f(x)$

Lad os bestemme området dannet af segmentet af -s -aksen , to ordinater og en bue af kurven . Det er klart, at det at finde arealet af en hvilken som helst buet figur kan reduceres til at finde områder af denne art (det vil sige begrænset til tre lige linjer og en bue af kurven). Lad os tegne mellem de yderste ordinater og ordinater , ..., svarende til divisionspunkterne , ... af segmentet af aksen . Vi vælger disse punkter vilkårligt, med den eneste begrænsning, at når antallet stiger, er det største af segmenterne uendeligt lille (f.eks. kan punkter ... vælges i lige store afstande fra hinanden). Går ud fra, hvordan fanden er det. 2, at ordinaterne af kurven stiger hele tiden, når man bevæger sig fra til , er det let at se, at det kurvelineære område af figuren vil være mellem følgende to summer: $P_{0}M_{0}M_{n}P_{n}$ $x$ $P_{0}P_{n}$ $M_{0}P_{0}$ $M_{n}P_{n}$ $M_{0}M_{n}$ $S$ $M_{0}P_{0}$ $M_{n}P_{n}$ $n-1$ $M_{1}P_{1}$ $M_{2}P_{2}$ $P_1$ $P_2$ $P_{0}P_{n}$ $n$ $P_{1},P_{2}$ $M_{0}$ $M_{n}$ $S$

$S_{n}=f(x_{0})(x_{1}-x_{0})+f(x_{1})(x_{2}-x_{1})+...+f(x_ {{n-1}})(x_{n}-x_{{n-1}})$

og $S'_{n}=f(x_{1})(x_{1}-x_{0})+f(x_{2})(x_{2}-x_{1})+...+f (x_{n})(x_{n}-x_{{n-1}})$

hvor , , , …, , $x_{0}=OP_{0}$ $x_{1}=OP_{1}$ $x_{2}=OP_{2}$ $x_{n}=OP_{n}$

en , , , …, . $f(x_{0})=M_{0}P_{0}$ $f(x_{1})=M_{1}P_{1}$ $f(x_{2})=M_{2}P_{2}$ $f(x_{n})=M_{n}P_{n}$

Se også

integralligning
Integralskilt
Differentialregning
En historisk skitse af udviklingen af integralregning er givet i artiklen Matematisk analyse .

Noter

↑ Integralregning // Kasakhstan. National Encyclopedia . - Almaty: Kasakhiske encyklopædier , 2005. - T. II. — ISBN 9965-9746-3-2 . (Russisk) (CC BY SA 3.0)

Litteratur

Vinogradov I. M. (red.) Mathematical Encyclopedia . - Bind 2. - M .: Soviet Encyclopedia , 1977.
Grave D. A. Integralregning // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 bind (82 bind og 4 yderligere). - Sankt Petersborg. , 1890-1907.

Ordbøger og encyklopædier	Fantastisk norsk Stor russer Brockhaus og Efron italiensk Lille Brockhaus og Efron Britannica (online) Treccani Moderne Ukraine
I bibliografiske kataloger	GND : 4027232-1 J9U : 987007293763805171 LCCN : sh85018804 NKC : ph121134