Intuitionisme

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 1. november 2021; checks kræver 3 redigeringer .

Intuitionisme  er et sæt filosofiske og matematiske synspunkter, der betragter matematiske vurderinger ud fra synspunktet "intuitiv overtalelsesevne". Der er to fortolkninger af intuitionisme: intuitiv overtalelsesevne, som ikke er relateret til spørgsmålet om eksistensen af ​​objekter, og visuel mental overtalelsesevne.

I intuitionistisk matematik afvises tilgangen til klassisk mængdeteori (især accepteres valgaksiomet og regularitetsaksiomet ikke ) og en række ræsonnementer fra klassisk logik. Abstraktionen af ​​potentiel gennemførlighed , som bruges i intuitionistisk matematik, svarer bedre til virkeligheden end abstraktionen af ​​den faktiske uendelighed .

Historisk disposition

Kritik af mængdeteori førte til fremkomsten af ​​to strømninger: Leutzen Egbert Jan Brouwers intuitionisme, David Hilberts formalisme og Gottlob Freges , Bertrand Russells , Alfred North Whiteheads logik . I 1904 udsatte Brouwer en række begreber inden for klassisk matematik for omfattende kritik. Hans opmærksomhed blev henledt på tilværelsens status: er det muligt potentielt at konstruere sådanne undersøgelsesobjekter som et umåleligt sæt af reelle tal , en funktion, der ikke kan differentieres? Er det muligt at tro, at der i den omgivende verden er uendelige sæt af objekter [1] ?

Intuitionistisk matematik i fortolkningen af ​​Brouwer er mentale konstruktioners overbevisningsevne, ikke forbundet med spørgsmålet om eksistensen af ​​objekter. En anden fortolkning er "den visuelle mentale overtalelsesevne af de simpleste konstruktive processer af virkeligheden." Brouwer protesterede mod formaliseringen af ​​intuitionismen [1] .

Arend Heyting formulerede den intuitionistiske prædikatregning og den intuitionistiske regneregning, den topologiske fortolkning blev opdaget af Alfred Tarski , og  fortolkningen i form af en problemregning af Andrey Nikolaevich Kolmogorov . Forståelse i form af rekursiv realiserbarhed blev foreslået af Stephen Cole Kleene og støttet af Andrey Andreevich Markovs videnskabelige skole . I 70'erne af det XX århundrede blev konstruktionen af ​​teorien om frit blivende sekvenser [1] afsluttet .

Intuitionistisk logik

I intuitionistisk matematik anses et forslag kun for sandt, hvis det kan bevises ved et eller andet "tankeeksperiment". Det vil sige, at sandheden af ​​udsagnet "Der er et objekt x , for hvilket påstanden A(x) er sand " bevises ved at konstruere et sådant objekt, og sandheden af ​​udsagnet " A eller B " bevises enten ved at bevise sandheden af ​​udsagn A eller ved at bevise sandheden af ​​udsagn B. Heraf følger det især, at udsagnet " A eller ikke A " muligvis ikke er sandt, og loven om den udelukkede midterste er uacceptabel. Et sandt matematisk forslag er en række konstruktioner af en effektiv karakter lavet med brug af intuitionistisk logik. Effektivitet er ikke nødvendigvis relateret til tilstedeværelsen af ​​en algoritme og kan afhænge af fysiske og historiske faktorer, faktisk problemløsning [1] .

Hovedobjekterne for undersøgelse i intuitionistisk matematik er konstruktive objekter : naturlige og rationelle tal , endelige sæt af konstruktive objekter med en liste af elementer, frit blivende sekvenser (valgfrie sekvenser, hvoraf hvert medlem kan tilgås effektivt), intuitionistiske typer (egenskaber) som studieobjekter kan have). Frit blivende sekvenser skelnes afhængigt af graden af ​​information, som forskeren kender. Hvis loven om dannelsen af ​​sekvensen er kendt fuldstændigt, så kaldes den givet af loven, hvis kun det indledende segment er kendt - lovløst. Visninger er indbygget i et hierarki, hvor elementerne i en visning er defineret uafhængigt af selve visningen, hvorved antinomier undgås . Arter er sjældent genstand for undersøgelse, de fleste af resultaterne af intuitionistisk matematik kan opnås uden at bruge dem [1] .

Intuitionisme og andre matematiske tilgange

I behandlingen af ​​mængdelære skelnes der ikke mellem abstrakte objekter og objekter, hvis eksistens kan bekræftes ved konstruktion. I klassisk matematik blev egenskaber og love for endelige samlinger ekstrapoleret til uendelige mængder. Samtidig er der ingen måde at konstruere objekter effektivt på, hvilket afspejles i de såkaldte "teoremer om den rene eksistens". Fraværet af muligheden for konstruktion har ingen sammenhæng med mængdelærens antinomier og gælder for alle grene af matematikken [1] .

Begreberne formalisme og intuitionisme havde en betydelig indflydelse på hinanden . Metamatematikkens indholdsmæssige kriterier, som er nødvendige for at underbygge formelle teoriers konsistens, raffineres normalt inden for rammerne af intuitionismen. Samtidig opnåedes en række resultater af intuitionistisk logik ved at formalisere metoden [1] .

I en bred fortolkning kan matematikkens konstruktive retning betragtes som en del af intuitionistisk matematik [1] .

Se også

Noter

  1. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Vinogradov I. M. Intuitionisme // Mathematical Encyclopedia. - M . : Soviet Encyclopedia, 1977. - T. 2.

Litteratur

  Gå til Wikidata-elementet  Ordbøger og encyklopædier
I bibliografiske kataloger