Katastrofe teori

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 12. juli 2020; checks kræver 18 redigeringer .

Katastrofeteori er en gren af matematikken , der inkluderer teorien om bifurkationer af differentialligninger ( dynamiske systemer ) og teorien om singulariteter af glatte afbildninger. Katastrofeteori er en gren af moderne matematik, som er en videreudvikling af teorien om stabilitet og bifurkationer.

Udtrykkene "katastrofe" og "katastrofeteori" blev introduceret af Rene Thom og Christopher Zieman i slutningen af 1960'erne og begyndelsen af 1970'erne ("katastrofe" betyder i denne sammenhæng en skarp kvalitativ ændring i et objekt med en jævn kvantitativ ændring i de parametre, som det afhænger af) [1] [2] .

Katastrofeteori har fundet adskillige anvendelser inden for forskellige områder af anvendt matematik, fysik såvel som i økonomi og statsvidenskab .

På tekniske universiteter studeres stabilitetsteorien, som er grundlaget for teorien om katastrofer. Metoder til stabilitetsteori bruges i teorien om automatisk kontrol, modellering af dynamiske systemer, elektroteknik, biologi og kognitive videnskaber.

Historie

De første grundlæggende resultater inden for dynamiske systemer relateret til teorien om katastrofer skyldes Henri Poincare (metoden for normale former i teorien om differentialligninger) og Alexander Andronov Sr. (bifurkationer af dynamiske systemer). Grundlaget for teorien om singulariteter af glatte kortlægninger blev primært lagt i den amerikanske topolog Hassler Whitneys værker i 1940'erne og 1950'erne, som blev forudgået af Morses lemma om den normale form for en funktion i et kvarter med et ikke-degenereret kritisk punkt.

I slutningen af 1960'erne tog Rene Thom fat i udviklingen af denne retning . Imidlertid vandt Whitney og Thoms ideer popularitet takket være adskillige publikationer af Zieman i 1970'erne, som aktivt fremmede katastrofeteori, sammenlignede dens betydning med opfindelsen af kalkulus og talte om en "revolution i matematik". Den hurtige udvikling af katastrofeteori i 1970'erne - 1990'erne er forbundet med aktiviteterne af Michael Boardman , Egbert Brieskorn , James JW Bruce , John Mather , fr(MalgrangeBernard Bernard Malgrange ), Rene Thomas, Terry Wall , Christopher Ziman og især Vladimir Arnold og hans elever ( Ilya Bogaevsky , Alexander Varchenko , Viktor Vasiliev , Alexander Givental , Viktor Goryunov , Sabir Hussein-Zade , Vladimir Zakalyukin , Maxim Kazaryan , Vyacheslav Sedykh ).

Seven Elementary Disasters af Tom

Katastrofeteori analyserer de kritiske punkter (repetitioner) af en potentiel funktion, det vil sige de punkter, hvor ikke kun den første afledede af funktionen er lig med nul, men også de afledede af en højere orden er lig med nul. Dynamikken i udviklingen af sådanne punkter kan studeres ved at udvide den potentielle funktion i Taylor-serier gennem små ændringer i inputparametrene. Hvis vækstpunkter ikke blot danner et tilfældigt mønster, men danner et struktureret stabilitetsområde, eksisterer disse punkter som organiserende centre for specielle geometriske strukturer med et lavt katastrofeniveau, med et højt katastrofeniveau i de omkringliggende områder af faserummet. Hvis den potentielle funktion afhænger af tre eller færre aktive variable og fem eller færre aktive parametre, så er der i dette tilfælde kun syv generaliserede strukturer af de beskrevne bifurkationsgeometrier, som kan tildeles standardformer for udvidelser i Taylor-serier, hvor der øves kan udvides ved hjælp af diffeomorfisme (glat transformation, hvis vending også er glat). I dag er disse syv grundlæggende typer af katastrofer kendt under de navne, som René Thom har givet dem.

Potentielle funktioner med én aktiv variabel

Fold katastrofe

De stabile og ustabile dele af ekstremum forsvinder i tilfælde af en fold-type bifurkation:

V = x^3 + ax

For negative værdier af parameteren har den potentielle funktion to ekstrema - en stabil (stabil ligevægt) og en ustabil (ustabil ligevægt). Hvis parameteren ændres langsomt, kan systemet være på et stabilt minimumspunkt. Men hvis , stabile og ustabile ekstremer mødes og udsletter. Dette er bifurkationspunktet. For , der er ingen stabil løsning. $-en$ $-en$ $a=0$ $a>0$

Hvis det fysiske system passerer gennem et fold-type bifurkationspunkt, og parameteren derfor passerer gennem nul, tabes stabiliteten af opløsningen ved , og systemet kan pludselig gå over til en ny, meget anderledes tilstand end den forrige. Denne bifurkationsparameterværdi kaldes nogle gange "fikseringspunktet". $-en$ $a<0$ $-en$

Eksempelkode i Python

import tid import matplotlib.pyplot som plt import matplotlib.animation som animation import numpy som np fra matplotlib import stil stil . brug ( 'ggplot' ) fig = plt . figur () ax1 = fig . add_subplot ( 1 , 1 , 1 ) værdier = [ - 6,0 , - 5,0 , - 4,0 , - 3,0 , - 2,0 , - 1,0 , 0,0 , 1,0 ] point = [[ - 6 , - 3 ], [ - 5 , - 2,5 ], [ - 4 , - 2 ], [ - 3 , - 1,5 ], [ - 2 , - 1,0 ], [ - 1 , - 0,5 ], [ 0 , 0 ], [ 1 , 0,5 ], [ 2 ] , 1.0 ], [ 3 , 1.5 ], [ 4 , 2.0 ], [ 5 , 2.5 ], [ 6 , 3 ]] def calc_fold_data ( x , a ): x3 = np . effekt ( x , 3 ) resultat = x3 + ( a * x ) returnerer resultat def animate ( indeks ): hvis indeks == len ( værdier ): tid . sove ( 3 ) exit () værdi = værdier [ indeks ] xar = [] år = [] for punkt i point : x = calc_fold_data ( punkt [ 0 ], værdi ) y = calc_fold_data ( punkt [ 1 ], værdi ) print ( "Y: {} X: {} " . format ( x , y )) xar . tilføje ( x ) år . tilføj ( y ) akse1 . clear () plt . title ( "Værdi: {} " . format ( værdi )) plt . scatter ( 0 , 0 ) ax1 . plot ( xar , yar ) ani = animation . FuncAnimation ( fig , animere , interval = 1000 ) plt . vis ()

Forsamlingskatastrofe

$V = x^4 + ax^2 + bx$

Genmontering af katastrofediagram med spids, der viser kurver (brun, rød) for variabel x , der opfylder udtrykket for parametre ( a , b ), kurver vist for løbende at ændre parameter b ved forskellige værdier af parameter a . Uden for cusp-locuset (blåt område) er der for hvert punkt ( a , b ) i faserummet kun én ekstremværdi af x . Inde i spidserne er der to distinkte værdier af x , der giver de lokale minima for funktionen V ( x ) for hvert par ( a , b ). I dette tilfælde er disse værdier adskilt af et lokalt maksimum.

Gaffelbifurkation ved a = 0 i rum b = 0. Formen af spidserne i faserum ( a , b ) nær katastrofepunktet, der viser stedet for foldningsbifurkationer, der adskiller et område med to stabile løsninger og et område med én beslutning . Geometrien af spidspunkter er ret almindelig, når man studerer, hvad der sker med konvolutionsbifurkationer, når en ny parameter b føjes til kontrolrummet. Ved at ændre parametrene kan det konstateres, at der er en kurve (blå) af punkter i rummet ( a , b ), hvor stabiliteten er tabt, det vil sige, på denne kurve kan en stabil løsning pludselig "springe" til et alternativ værdi (også stabil).

Men i spidspunkternes geometri vender bifurkationskurven tilbage og skaber en anden gren, hvor denne anden løsning allerede mister stabilitet og derfor kan foretage et "spring" tilbage til det oprindelige sæt af løsninger. Ved gentagne gange at øge værdien af parameteren b og derefter formindske den, kan der observeres hysterese i sløjfernes adfærd, da systemet følger en løsning, "hopper" til en anden, følger den og "springer" tilbage til den oprindelige.

Dette er dog kun muligt i et område i parametrisk rum med en < 0. Hvis værdien af parameteren a stiger, bliver hysteresesløjferne mindre og mindre, indtil værdien af a når 0. På dette tidspunkt forsvinder sløjferne (den cusp-katastrofe) og kun én stabil løsning.

Du kan også overveje processen med at ændre parameteren mens du holder værdien af b uændret . I det symmetriske tilfælde, ved b = 0, kan man observere en "gaffel" type bifurkation med en faldende værdi af parameteren a, en stabil løsning splittes pludselig i to stabile løsninger og en ustabil. På dette tidspunkt passerer det fysiske system ind i området a < 0 gennem spidsen ( a = 0, b = 0) (dette er et eksempel på spontan symmetribrud). Langt fra spidsen er der ingen pludselige ændringer i det fysiske system, da det, der sker, når man passerer langs foldningsbifurkationskurven, er, at en anden alternativ løsning bliver tilgængelig.

Et af de mest interessante forslag til brug af et cusp-styrt er, at denne type styrt kan bruges til at modellere adfærden hos en hund, der kan blive bange eller vred som reaktion på en ekstern stimulus. Forslaget er, at under moderat eksponering ( a > 0) vil hunden vise en gradvis ændring i respons fra skræk til vrede afhængigt af, hvordan eksponeringen blev administreret. Men det højere eksponeringsniveau er den stress, der svarer til overgangen til området a < 0. I dette tilfælde, hvis hunden oprindeligt var bange, vil den forblive bange med en stigning i stimulationsniveauet, indtil han til sidst når det punkt, tilbage, hvor der vil være en spontan overgang til ond tilstand. Når hunden går ind i denne tilstand, forbliver den forbitret, selvom eksponeringen for den gradvist aftager.

Et andet eksempel på en anvendt anvendelse af cusp-katastrofen er at modellere en elektrons adfærd, når den bevæger sig fra et energiniveau til et andet, hvilket ofte observeres i kemiske og biologiske systemer. Dette indikerer, at bifurkationerne af den betragtede type og geometrien af knudepunkter er den vigtigste praktiske del af katastrofeteori. Det er mønstre, der dukker op igen og igen i fysik, teknik og matematisk modellering.

De resterende simple katastrofegeometrier er mere specialiserede end den lige betragtede og optræder derfor kun i nogle enkelte tilfælde.

Svalehalekatastrofe

$V = x^5 + ax^3 + bx^2 + cx$

Kontrolrummet i denne type katastrofe er tredimensionelt. Kaskaden af bifurkationer i faserummet består af tre overflader af bifurkationer af "fold"-typen, som mødes på to kurver af bifurkationer med spidser, som til sidst mødes i et punkt, hvilket er en bifurkation af "svalehale"-typen.

Når værdierne af parametrene passerer langs overfladerne af områder med bifurkationer af "fold"-typen, forsvinder et minimum og et maksimum af den potentielle funktion. I området for bifurkationer med en spids erstattes to minima og et maksimum med et minimum; bag dem forsvinder bifurkationer af typen "fold". Ved svalehalepunktet mødes to minima og to maksima i den samme værdi af x -variablen . For værdier a > 0 er der enten et par (minimum, maksimum) bag svalehalen, eller der er slet ingen bifurkationer. Det afhænger af værdierne af parametrene b og c . To bifurkationsflader af "fold"-typen og to linjer af bifurkationer med spidspunkter mødes ved en < 0 og forsvinder derfor på selve punktet af svalehalen og erstattes af en overflade af bifurkationer af "fold"-typen. Salvador Dalis seneste maleri , Svalens hale, var inspireret af denne type katastrofe.

Sommerfuglekatastrofe

$V = x^6 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx$

Afhængigt af parametrenes værdier kan den potentielle funktion have tre, to eller et lokalt minimum, og alle minima er adskilt af regioner med "foldede" bifurkationer. På punktet med det poetiske navn "sommerfugl" er der tre forskellige rum (tredimensionelle planer) af sådanne bifurkationer af "fold"-typen, to overflader af bifurkationer med spidspunkter og en bifurkationskurve af "svalehale"-typen. Alle disse bifurkationer forsvinder på et tidspunkt og omdannes til en simpel struktur med en spids, når værdien af parameteren a bliver positiv.

Potentielle funktioner med to aktive variable

Navlekatastrofer er eksempler på andenordens katastrofer. De kan for eksempel observeres i optik, når lys reflekteres fra tredimensionelle overflader. I sig selv er sådanne katastrofer tæt forbundet med geometrien af næsten sfæriske overflader. René Thom foreslog at betragte hyperbolsk navlekatastrofe som ødelæggelsen af en bølge og elliptisk navlekatastrofe som en proces til at skabe strukturer, der ligner en hårgrænse.

Hyperbolske navlestrenge

$V = x^3 + y^3 + axy + bx + cy$

Elliptisk navle

$V = x^3/3 - xy^2 + a(x^2 + y^2) + bx + cy$

Parabolsk navle

$V = yx^2 + y^4 + ax^2 + by^2 + cx + dy$

Registrering og klassificering af katastrofer ifølge Arnold

V. I. Arnold foreslog en klassificering af katastrofer " ADE-klassificering ", ved at bruge dybe forbindelser med teorien om Lie-grupper .

Et 0 er et ikke-singulart punkt: . $V=x$
Et 1 -lokalt ekstremum : stabilt minimum eller ustabilt maksimum . $V = \pm x^2 + ax$
En 2 -fold
A 3 - Montering
En 4 - svalehale
En 5 - sommerfugl
En k er en uendelig række af former fra én variabel $V=x^{k+1}+\cdots$
D 4 + - tegnebog = hyperbolsk navle
D 4 - - pyramide = elliptisk navle
D 5 - parabolsk navle
D k er en uendelig sekvens af andre navlestrenge
E 6 - symbolsk navlestreng $V=x^3+y^4+axy^2+bxy+cx+dy$
E 7
E 8

Der er objekter i singularitetsteori, der svarer til de fleste andre simple Lie-grupper.

Anvendelser af katastrofeteori

Skabelsen og udviklingen af denne del af matematisk analyse var forbundet med de brede muligheder for visuel analyse af nogle komplekse fænomener, især dem, der forekommer i beskrivelsen af en bred vifte af naturlige fænomener, som også overvejer diskontinuerlige funktioner, for hvilke matematiske apparater analyse er ikke egnet ( regnbue , kaustisk , tabsstabilitet af strukturer, svingninger og ødelæggelse i strukturel mekanik, adfærd i etologi , astrofysik, bifurkations-ustabilitet af atomgitteret, spontan orden i biokemiske reaktioner, populationsdynamik, hydrodynamisk ustabilitet og forekomsten af turbulens , kaotisk dynamik af en mærkelig attraktor).

Se også

Tidsskrift for Singulariteterne

Noter

↑ Udtrykket katastrofe blev introduceret af Tom for at betegne en kvalitativ ændring i et objekt med en jævn ændring i de parametre, som det afhænger af. Dette udtryk, der erstattede de tidligere brugte termer bifurkation , omstrukturering , metamorfose , vandt stor popularitet efter Zeeman [121] foreslog at bruge navnet katastrofeteori til at kombinere teorien om singulariteter, teorien om bifurkationer og deres anvendelser. V. I. Arnold . Katastrofeteori .
↑ På initiativ af R. Thomas taler man i stedet for bifurkationer om "katastrofer". Disse ord skal ikke tages bogstaveligt. Jeg vil give eksempler, der virkelig blev overvejet alvorligt i værker om "katastrofteorien": hvis stabiliteten af en elastisk struktur krænkes, så er dette højst sandsynligt en katastrofe, men hvis solens stråler, der brydes i vand, danner lyse linjer kl. bunden af åen, dette er næppe nogen bekymringer, undtagen måske for børn, der ser det for første gang. <...> Hvis katastrofe er synonymt med bifurkation, så kan man spørge, hvilket udtryk der er mere passende. Som det fremgår af det sagte, skal hverken det ene eller det andet tages bogstaveligt. Men "katastrofe" er et ord i almindeligt (litterært og dagligdags) sprog, der har en vis og i øvrigt en meget følelsesmæssigt farvet betydning, og meget færre kender til den oprindelige betydning af ordet "bifurkation", og selv har de næppe eventuelle følelser forbundet med det. Derfor er det neutrale ord "bifurcation" mere velegnet til videnskab og "katastrofe" til massepublikationer. [D. V. Anosov. Om udviklingen af teorien om dynamiske systemer i løbet af det sidste kvarte århundrede. En af katastrofeteoriens hovedopgaver er at opnå den såkaldte normale form af det objekt, der undersøges (differentialligning eller kortlægning) i nærheden af "katastrofepunktet" og klassificeringen af objekter bygget på dette grundlag.

Litteratur

På russisk

Arnold V. I. Katastroferteori / Rec.: A. V. Chernavsky . - 3. udg., tilføje. — M .: Nauka . Ch. udg. Fysisk.-Matematik. lit., 1990. - 128 s. - 84.000 eksemplarer. — ISBN 5-02-014271-9 .
V. I. Arnold . Teori om katastrofer.
V. I. Arnold . Singulariteter i variationsregningen.
V. I. Arnold, V. S. Afraimovich, Yu. S. Ilyashenko, L. P. Shilnikov Teori om bifurkationer.
V. I. Arnold, V. A. Vasiliev, V. V. Goryunov, O. V. Lyashko Ejendommeligheder. I. Lokal og global teori.
V. I. Arnold, V. A. Vasiliev, V. V. Goryunov, O. V. Lyashko Ejendommeligheder. II. Klassificering og anvendelser.
A.B. Givental . Enkeltstående lagrangiske manifolder og deres lagrangiske kortlægninger.
V. M. Zakalyukin . Omarrangeringer af fronter, kaustik afhængig af en parameter, alsidighed af kortlægninger.
Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singulariteter af differentiable mappings, - Enhver udgave.
Arnold V. I. Egenskaber ved kaustik og bølgefronter, - M .: Fazis, 1996.
Brecker T., Lander L. Differentierbare bakterier og katastrofer, - Enhver udgave.
Golubitsky M., Guillemin V. Staldkortlægninger og deres singulariteter, - M.: Mir, 1977.
Poston T., Stuart I. Katastrofeteori og dens anvendelser, - M .: Mir, 1980.
Tom R. Strukturel stabilitet og morfogenese, - M .: Logos, 2002.
Brus J., Jiblin P. Kurver og singulariteter: En geometrisk introduktion til teorien om singulariteter, - M .: Mir, 1988.
Pavlova N.G., Remizov A.O. En introduktion til singularitetsteori . - M. : MIPT, 2022. - 181 s. - ISBN 978-5-7417-0794-4 .

På engelsk

Arnold, Vladimir Igorevich. Catastrophe Theory, 3. udg. Berlin: Springer-Verlag, 1992.
Gilmore, Robert. Katastrofeteori for videnskabsmænd og ingeniører. New York: Dover, 1993.
Postle, Denis. Katastrofeteori - Forudsige og undgå personlige katastrofer. Fontana Paperbacks 1980. ISBN 0-00-635559-5
Poston, Tim og Stewart, Ian. Katastrofeteori og dens anvendelser. London, San Francisco, Melbourne: Pitman, 1978
Poston, T. og Stewart, Ian. Katastrofe: Teori og dens anvendelser. New York: Dover, 1998. ISBN 0-486-69271-X .
Sanns, Werner. Katastrofeteori med Mathematica: En geometrisk tilgang. Tyskland: DAV, 2000.
Saunders, Peter Timothy. En introduktion til katastrofeteori. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1980.
Thom, Rene. Strukturel stabilitet og morfogenese: en oversigt over en generel teori om modeller. Reading, MA: Addison-Wesley, 1989. ISBN 0-201-09419-3 .
Thompson, J. Michael T. Ustabiliteter og katastrofer i videnskab og teknik. New York: Wiley, 1982.
Woodcock, Alexander Edward Richard og Davis, Monte. katastrofeteori. New York: E.P. Dutton, 1978.
Zeeman, EC Catastrophe Theory-Selected Papers 1972-1977. Reading, MA: Addison-Wesley, 1977.

Links

På russisk

D. V. ANOSOV Om udviklingen af teorien om dynamiske systemer i løbet af det sidste kvarte århundrede.

På engelsk

Ordbøger og encyklopædier	Fantastisk catalansk Stor russer Britannica (online) Britannica (online) Universalis
I bibliografiske kataloger	NDL : 00576387 NKC : ph195834