Tomt sæt aksiom

Aksiomet for [eksistensen af] et tomt sæt er følgende udsagn om mængdeteori :

\exists a\forall b\ (b\notin a)

Det tomme sæt-aksiom proklamerer eksistensen af mindst én tom mængde, det vil sige en mængde, der ikke indeholder nogen elementer. Det tomme sæt er sin egen delmængde, men ikke sit eget element.

Andre formuleringer af det tomme sæt aksiom

$\neg \ (\forall a\exists b\ (b\in a))$ .

$\exists a\forall b\ (b\in a\leftrightarrow b\neq b)$ hvad er . $\exists a\ (a=\{b\colon b\neq b\})$

$\exists a\forall b\ (b\in a\leftrightarrow b\in b)$ hvad er . $\exists a\ (a=\{b\colon b\in b\})$

$\exists a\forall b\ (b\in a\leftrightarrow a\in b)$ hvad er . $\exists a\ (a=\{b\colon a\in b\})$

$\exists a\forall b\ (b\in a\leftrightarrow b\not \subset b)$ hvad er . $\exists a\ (a=\{b\colon b\ikke \subset b\})$

$\exists a\forall b\ (b\in a\leftrightarrow b\subsetneq b)$ hvad er . $\exists a\ (a=\{b\colon b\subsetneq b\})$

$\exists a\forall b\ (b\in a\leftrightarrow \Phi [b]\ \land \ \neg \Phi [b])$ hvad er . $\exists a\ (a=\{b\colon \Phi [b]\ \land \ \neg \Phi [b]\})$

$\cdots$

Noter

1. Det tomme sæt-aksiom kan udledes af følgende sæt af udsagn:

$\forall a\forall b\ (b=b\to (b\notin a\to b=b)\ )$ ,
$\forall b\ (b=b)$ ,
$\forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ b\neq b)$ .

Derudover kan det tomme sæt-aksiom udledes af uendelighedsaksiomet , præsenteret i følgende form:

$\exists a\ (\exists a_{\varnothing }\ (a_{\varnothing}\in a\ \land \ \forall b\ (b\notin a_{\varnothing}))\quad \land \quad \forall b\ (b\in a\to \exists c\ (c\in a\ \land \ \forall d\ (d\in c\leftrightarrow d\in b\ \lor \d=b))))$

2. Styret af volumenaksiomet kan man bevise det tomme sæts unikke karakter. Med andre ord kan man bevise, at den tomme mængde aksiom svarer til udsagnet

\exists !a\forall b\ (b\notin a)

, hvad er

\exists a\forall b\ (b\notin a)\quad \land \quad \forall a\forall a'\ (\forall b\ (b\notin a')\ \land \ \forall b\ (b\notin a)\to a'=a)

Det tomme sæts unikke karakter modsiger ikke den "uendelige mangfoldighed" af beskrivelser af det tomme sæt, inklusive følgende beskrivelser:

${\displaystyle \varnothing =\{b\colon b\in \mathbb {R} \land 0\cdot b=1\))$ ,
${\displaystyle \varnothing =\{b\colon b\in \mathbb {N} \land 1-2=b\))$ ,
${\displaystyle \varnothing =\{b\colon b\in \mathbb {Z} \land 2\cdot b=1\))$ ,
$\varnothing =\{b\colon b\in \mathbb {Q} \land b={\sqrt {2}}\}$ .
${\displaystyle \varnothing =\{b\colon b\in \mathbb {R} \land b^{2}=-1\))$ .

Tomt sæt aksiom

Andre formuleringer af det tomme sæt aksiom

Noter

Se også