Integralligning

En integralligning er en funktionel ligning, der indeholder en integraltransformation over en ukendt funktion. Hvis integralligningen også indeholder afledte af en ukendt funktion, så taler man om en integro-differentialligning .

Klassifikation af integralligninger

Lineære integralligninger

Disse er integralligninger, hvor den ukendte funktion kommer lineært ind:

\varphi (x)=\lambda \int \limits _{a}^{b}K(x,\;s)\varphi (s)\,ds+f(x)

hvor er den ønskede funktion, , er de kendte funktioner, og er parameteren. Funktionen kaldes kernen af integralligningen. Afhængigt af typen af kerne og frit led, kan lineære ligninger opdeles i flere flere typer. $\varphi(x)$ $f(x)$ $K(x,\;s)$ $\lambda$ $K(x,\;s)$

Fredholms ligninger Fredholm-ligninger af 2. slags

Fredholm-ligningerne af 2. slags er ligninger af formen:

\varphi(x)=\lambda\int\limits_a^b K(x,\;s)\varphi(s)\,ds+f(x).

Grænserne for integration kan enten være endelige eller uendelige. Variablerne opfylder uligheden: , og kernen og det frie udtryk skal være kontinuerlige: , eller opfylde betingelserne: $a\leqslant x,\;s\leqslant b$ $K(x,\;s)\in C(a\leqslant x,\;s\leqslant b),\;f(x)\i C([a,\;b])$

\int\limits_a^b\int\limits_a^b|K(x,\;s)|^2\,dx\,ds<+\infty,\qquad\int\limits_a^b|f(x)|^ 2\,dx<+\infty.

Kerner der opfylder den sidste betingelse kaldes Fredholm . Hvis den er tændt , kaldes ligningen homogen , ellers kaldes den inhomogen integralligning . $f(x)\ækvivalent 0$ $[a,\;b]$

Fredholm-ligninger af 1. slags

Fredholm-ligningerne af 1. slags ser det samme ud som Fredholm-ligningerne af 2. slags, blot har de ikke en del, der indeholder en ukendt funktion uden for integralet:

\int\limits_a^b K(x,\;s)\varphi(s)\,ds=f(x),

i dette tilfælde opfylder kernen og det frie udtryk de betingelser, der er formuleret for Fredholm-ligningerne af anden art.

Volterras ligninger Volterra-ligninger af 2. slags

Volterra-ligningerne adskiller sig fra Fredholm-ligningerne ved, at en af integrationsgrænserne i dem er variabel:

\varphi(x)=\lambda\int\limits_a^x K(x,\;s)\varphi(s)\,ds+f(x),\qquad a\leqslant x\leqslant b.

Volterra-ligninger af 1. slags

Også hvad angår Fredholm-ligningerne, er der i Volterra-ligningerne af 1. slags ingen ukendt funktion uden for integralet:

\int\limits_a^x K(x,\;s)\varphi(s)\,ds=f(x).

I princippet kan Volterra-ligningerne betragtes som et specialtilfælde af Fredholm-ligningerne, hvis kernen omdefineres:

\mathcal{K}(x,\;s)=\begin{cases}K(x,\;s), & a\leqslant s\leqslant x, \\ 0, & x<s\leqslant b.\end {cases}

Nogle egenskaber ved Volterra-ligningerne kan dog ikke anvendes på Fredholm-ligningerne.

Ikke-lineære ligninger

Du kan komme med en utænkelig række af ikke-lineære ligninger, så det er ikke muligt at give dem en komplet klassificering. Her er blot nogle af deres typer, som er af stor teoretisk og anvendt betydning.

Urysohns ligninger

\varphi(x)=\int\limits_a^b K(x,\;s,\;\varphi(s))\,ds,\qquad K(x,\;s,\;\varphi)\in C (a\leqslant x,\;s\leqslant b;\;-M\leqslant\varphi\leqslant M).

En konstant er et positivt tal, der ikke altid kan bestemmes på forhånd. $M$

Hammersteins ligninger

Hammerstein-ligningerne er et vigtigt specialtilfælde af Urysohn-ligningen:

\varphi(x)=\int\limits_a^b K(x,\;s)F(s,\;\varphi(s))\,ds,

hvor er Fredholm kernen. $K(x,\;s)$

Lyapunov-Lichtenstein-ligningerne

Det er sædvanligt at navngive Lyapunov-Lichtenstein-ligninger, der i det væsentlige indeholder ikke-lineære operatorer, for eksempel en ligning af formen:

\varphi(x)=f(x)+\lambda\int\limits_a^b K_{[1]}(x,\;s)\varphi(s)\,ds+\mu\int\limits_a^b\int \limits_a^b K_{[1,\;1]}(x,\;s,\;z)\varphi(x)\varphi(z)\,ds\,dz+\ldots

Ikke-lineær Volterra-ligning

\varphi(x)=\int\limits_a^x F(x,\;s,\;\varphi(s))\,ds,

hvor funktionen er kontinuert i totaliteten af dens variable. $F(x,\;s,\;\varphi)$

Løsningsmetoder

Før man overvejer nogle metoder til løsning af integralligninger, skal det bemærkes, at det for dem, såvel som for differentialligninger , ikke altid er muligt at opnå en nøjagtig analytisk løsning. Valget af løsningsmetode afhænger af ligningstypen. Her vil vi overveje flere metoder til løsning af lineære integralligninger.

Laplace transformation

Laplace-transformationsmetoden kan anvendes på en integralligning, hvis integralet, der er inkluderet i den, har form af en foldning af to funktioner :

\int\limits_0^xf(xt)g(t)\,dt\risingdotseq F(p)G(p),

det vil sige, når kernen er en funktion af forskellen mellem to variable:

\varphi(x)=f(x)+\int\limits_0^x K(xs)\varphi(s)\,ds.

For eksempel givet følgende ligning:

\varphi(x)=\sin x+2\int\limits_0^x \cos(xs)\varphi(s)\,ds.

Lad os anvende Laplace-transformationen på begge sider af ligningen:

\varphi(x)\risingdotseq\Phi(p),

\Phi(p)=\frac{1}{1+p^2}+2\frac{p}{1+p^2}\Phi(p)\Rightarrow\Phi(p)=\frac{1} {(p-1)^2}.

Ved at anvende den omvendte Laplace-transformation får vi:

\varphi(x)=\underset{p=1}{\mathrm{res}}\,\frac{1}{(p-1)^2}e^{px}=(e^{px})' _p\Big|_{p=1}=xe^x.

Metode til successive tilnærmelser

Metoden med successive approksimationer anvendes på Fredholm-ligningerne af 2. art, hvis følgende betingelse er opfyldt:

|\lambda||ba|\max_{a\leqslant x,\;s\leqslant b}|K(x,\;s)|<1.

Denne betingelse er nødvendig for konvergensen af Liouville-Neumann-serien :

\varphi(x)=\sum_{k=0}^\infty\lambda^k(K^kf)(x),

som er løsningen på ligningen. -th grad af integraloperatoren : $(K^kf)(x)$ $k$ $(Kf)(x)$

(Kf)(x)=\int\grænser_a^b K(x,\;s)f(s)\,ds.

En sådan løsning er dog kun en god tilnærmelse for tilstrækkeligt små . $|\lambda|$

Denne metode er også anvendelig til løsning af Volterra-ligningerne af 2. slags. I dette tilfælde konvergerer Liouville-Neumann-serien for alle værdier af , og ikke kun for små. $|\lambda|$

Opløsningsmetoden

Opløsningsmetoden er ikke den hurtigste løsning på Fredholm-integralligningen af den anden slags, men nogle gange er det umuligt at angive andre måder at løse problemet på.

Hvis vi introducerer følgende notation:

\begin{align} K_0(x,\;t)=K(x,\;t),\\ K_1(t,\;s)=K(t,\;s), \end{align}

så vil kernens gentagne kerner være kernerne : $K(x,\;s)$ $K_p(x,\;s)$

K_p(x,\;s)=\int\limits_a^b K(x,\;t)K_{p-1}(t,\;s)\,dt.

En serie bestående af gentagne kerner,

\mathcal{R}(x,\;s,\;\lambda)=\sum_{k=0}^\infty\lambda^k K_{k+1}(x,\;s),

kaldes kernens resolvent og er regelmæssigt konvergent ved , og ovenstående betingelse for konvergensen af Liouville-Neumann-serien . Løsningen af integralligningen er repræsenteret ved formlen: $K(x,\;s)$ $a\leqslant x$ $s\leqslant b$

\varphi(x)=f(x)+\lambda\int\limits_a^b\mathcal{R}(x,\;s,\;\lambda)f(s)\,ds.

For eksempel for integralligningen

\varphi(x)=f(x)+\lambda\int\limits_0^1 xs\varphi(s)\,ds

følgende kerner vil blive gentaget:

K_0(x,\;s)=xs,

K_1(x,\;t)=xt,

K_2(x,\;t)=\int\limits_0^1 xs\,st\,ds=\frac{xt}{3},

K_3(x,\;t)=\int\limits_0^1 xs\frac{st}{3}\,ds=\frac{xt}{9},

\ldots

K_{n+1}=\frac{xt}{3^n},

og opløsningsmidlet er funktionen

\mathcal{R}(x,\;t,\;\lambda)=\sum_{n=0}^\infty\lambda^n K_{n+1}=\sum_{n=0}^\infty\ lambda^n\frac{xt}{3^n}=xt\frac{1}{1-\dfrac{\lambda}{3}}=\frac{3xt}{3-\lambda}.

Så er løsningen af ligningen fundet ved formlen:

\varphi(x)=f(x)+\lambda\int\limits_0^1\frac{3xt}{3-\lambda}f(t)\,dt.

Metode til reduktion til en algebraisk ligning

Hvis kernen i Fredholm-integralligningen er degenereret , det vil sige , at selve integralligningen kan reduceres til et system af algebraiske ligninger . Faktisk kan ligningen i dette tilfælde omskrives som følger: $K(x,\;s)=\sum_{i=1}^N f_i(x)g_i(s)$

\varphi(x)=\lambda\sum_{i=1}^N f_i(x)\int\limits_a^b g_i(s)\varphi(s)\,ds+f(x)=\lambda\sum_{ i=1}^N c_if_i(x)+f(x),

hvor . Ved at multiplicere den tidligere lighed med og integrere den på segmentet , kommer vi til et system af algebraiske ligninger for ukendte tal : $c_i=\int\limits_a^b\varphi(s)g_i(s)\,ds$ $g_i(x)$ $x$ $[a,\;b]$ $c_{i}$

c_i=\lambda\sum_{k=0}^N a_{ik}c_k+b_i,\qquad i=1,\;\ldots,\;N,

hvor og er numeriske koefficienter. $a_{ik}=\int\limits_a^b g_i(x)f_k(x)\,dx$ $b_i=\int\grænser_a^b g_i(x)f(x)\,dx$

Omtrent denne metode kan bruges til at løse Fredholm-integralligningen med en hvilken som helst kerne, hvis vi tager segmentet af Taylor-serien for funktionen som en degenereret kerne tæt på den rigtige . [en] $K(x,\;s)$

Erstatning af integralet med en endelig sum

Overvej Fredholm-integralligningen af 2. slags: , hvor og har kontinuerte afledte af den ønskede orden, er et givet tal. Vi bruger kvadraturformlen: , hvor er punkter på segmentet , og koefficienterne afhænger ikke af funktionstypen . Overvej den oprindelige ligning ved punkterne : . Lad os erstatte integralet på venstre side af ligningen med kvadraturformlen: . Vi får et lineært system af algebraiske ligninger med ukendte , som er omtrentlige værdier af løsningen i punkter . Som en omtrentlig løsning på den oprindelige integralligning kan du tage funktionen: [1] . $\varphi(x) - \lambda \int_{a}^{b} K(x,t) \varphi(t) dt = f(x)$ $K(x,t)$ $f(x)$ $\lambda$ $\int_{a}^{b}\Phi(x)dx\approx\sum_{k=1}^{n}A_{k}\Phi(x_{k})$ $x_{1}, x_{2}, ... x_{n}$ $[a,b]$ $A_{1}, A_{2}, ... , A_{n}$ $\Phi (x)$ $x_{k}$ $\varphi(x_{k}) - \lambda \int_{a}^{b} K(x_{k},t) \varphi(t) dt = f(x_{k})$ $\varphi(x_{k}) - \lambda \sum_{m=1}^{n} K(x_{k}, x_{m}) \varphi(x_{m}) = f(x_{k})$ $n$ $n$ $\varphi(x_{1}), \varphi(x_{2}), ... \varphi(x_{n})$ $\varphi(x)$ $x_{1}, x_{2}, ... x_{n}$ $\overline{\varphi(x)} = \lambda \sum_{m=1}^{n} A_{m}K(x, x_{m}) \varphi(x_{m})$

Ansøgninger

Udtrykket "integralligning" blev introduceret i 1888 af P. Dubois-Reymond , men de første problemer med integralligninger blev løst tidligere. For eksempel løste Fourier i 1811 det integrerede inversionsproblem , som nu bærer hans navn.

Fourier-inversionsformel

Opgaven er at finde en ukendt funktion fra en kendt funktion : $f(y)$ $g(x)$

g(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{ixy}f(y)\,dy.

Fourier fik udtrykket for funktionen : $f(y)$

f(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-ixy}g(x)\,dx.

Reduktion af Cauchy-problemet til en integralligning

Cauchy-problemet for almindelige differentialligninger fører til ikke-lineære Volterra-integralligninger :

\frac{dx}{dt}=F(t,\;x(t)),\qquad x(a)=x_0.

Faktisk kan denne ligning integreres fra til : $t$ $-en$ $t$

x(t)=x_0+\int\limits_a^t F(s,\;x(s))\,ds.

Løsningen af det indledende problem for lineære differentialligninger fører til lineære Volterra-integralligninger af 2. slags. Liouville udnyttede dette tilbage i 1837 . Lad for eksempel opgaven stilles:

x''(t)+[\lambda^2-\nu(t)]x(t)=0\qquad (\lambda=\mathrm{const}),\;x(a)=1,\;x '(a)=0.

For en ligning med konstante koefficienter med de samme begyndelsesbetingelser:

x''(t)+\lambda^2x(t)=g(t)

løsningen kan findes ved metoden til variation af konstanter og er repræsenteret som:

x(t)=\cos\lambda(ta)+\frac{1}{\lambda}\int\limits_a^tg(\tau)\sin\lambda(t-\tau)\,d\tau.

Så for den oprindelige ligning viser det sig:

x(t)=\cos\lambda(ta)+\frac{1}{\lambda}\int\limits_a^t \nu(\tau)\sin\lambda(t-\tau)x(\tau)\ ,d\tau

er Volterra-integralligningen af 2. slags.

Lineær differentialligning -te orden $n$

\frac{d^nx}{dt^n}+a_1(t)\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}}+\ldots+a_n(t)x(t) =F(t),\qquad t>a,

x(a)=C_0,\;x'(a)=C_1,\;\ldots,\;x^{(n-1)}(a)=C_{n-1}

kan også reduceres til Volterra integralligningen af 2. slags.

Abels problem

Historisk set menes det, at det første problem, der førte til behovet for at overveje integralligninger, er Abel-problemet . I 1823 kom Abel , mens han generaliserede problemet med tautochrone, til ligningen:

f(x)=\int\limits_0^x\frac{\varphi(\eta)}{\sqrt{x-\eta}}\,d\eta,

hvor er den givne funktion og er den påkrævede. Denne ligning er et specialtilfælde af Volterra lineære integralligning af 1. slags. Abel-ligningen er interessant, idet formuleringen af et eller andet specifikt problem inden for mekanik eller fysik direkte fører til det (omgå differentialligninger ). For eksempel fører problemet med at bestemme den potentielle energi fra oscillationsperioden til en ligning af denne type [2] $f(x)$ $\varphi(x)$

Abels formulering af problemet så nogenlunde således ud:

Et materialepunkt under påvirkning af tyngdekraften bevæger sig i et lodret plan langs en bestemt kurve. Det er påkrævet at definere denne kurve, således at materialepunktet, der har startet sin bevægelse uden begyndelseshastighed på punktet af kurven med ordinat , når aksen i tid , hvor er en given funktion. $(\xi ,\;\eta )$ $x$ $O\xi$ $t=f_1(x)$ $f_1(x)$

Hvis vi angiver vinklen mellem tangenten til banen og aksen som og anvender Newtons love , kan vi komme til følgende ligning: $O\xi$ $\beta$

\int\limits_0^x\frac{\varphi(\eta)}{\sqrt{x-\eta}}\,d\eta=-\sqrt{2g}f_1(x),\qquad\varphi(\beta )=\frac{1}{\sin\beta}.

Noter

↑ 1 2 Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I. Integralligninger. - M .: Nauka, 1976. - S. 214.
↑ Landau L. D. , Livshits E. M. Teoretisk fysik: lærebog. godtgørelse: For universiteter. I 10 bind T. I. Mekanik .. - 5. udg. Stereot.. - M. : FIZMATLIT, 2004. - S. 42-43. — 224 s. - ISBN 5-9221-0055-6 .

Litteratur

Krasnov M. L. Integralligninger: Introduktion til teori. — M.: Nauka, 1975.
Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. Matematisk fysiks ligninger. — M.: Fizmatlit, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5 .
Petrovsky I. G. Forelæsninger om partielle differentialligninger, 3. udg. - 1961.
Vasilyeva A. B., Tikhonov N. A. Integralligninger. - 2. udg., stereotyp. - M. : FIZMATLIT, 2002. - 160 s. — ISBN 5-9221-0275-3 .
Zabreiko P. P. , Koshelev A. I., Krasnoselsky M. A. Integralligninger. — M.: Nauka, 1968.

Integralregning

Hoved

Generaliseringer
af Riemann-integralet

Integrale
transformationer

Numerisk
integration

måle teori

relaterede emner

Lister over integraler

Matematisk fysik

Typer af ligninger

Grænsebetingelser

Matematisk fysiks ligninger

Diffusion og konvektion	Varme ligning Diffusionsligning Mason-Weaver ligning
Hydrodynamik	Overførselsligning Navier-Stokes ligninger Euler ligning Gromeka-lam ligning Vortex ligning Burgers ligning Lavt vand ligninger Korteweg-de Vries ligning
Elektromagnetisme	Maxwells ligninger Helmholtz ligning Landau-Lifshitz ligning Screenet Poisson-ligning
Kvantemekanik	Schrödinger ligning Heisenberg ligning Rarita-Schwinger ligning Hartrees ligning Dirac ligning Klein-Gordon ligning
Generelle modeller	Kontinuitetsligning bølgeligning Fokker-Planck ligning Poisson ligning

Løsningsmetoder

Metoder til løsning af differentialligninger

Gittermetoder

Finite element metoder	Finite element metode Galerkin metode Diskontinuerlig Galerkin-metode Flerskala Finite Element-metode Multigrid metode
Andre metoder	Endelig forskelsmetode Endeligt volumen metode Godunovs metode Grænseelementmetode

Ikke-grid metoder

Studie af ligninger

relaterede emner