Kantors paradoks

Cantors paradoks er et paradoks inden for mængdeteori , som viser, at antagelsen om eksistensen af et sæt af alle mængder fører til modsætninger, og derfor er en teori , hvor konstruktionen af en sådan mængde er mulig, inkonsekvent.

Ordlyd

Antag, at sættet af alle sæt eksisterer. I dette tilfælde er det rigtigt , at hvert sæt er en delmængde af . Men det følger af dette, at kardinaliteten af ethvert sæt ikke overstiger kardinaliteten af . $V=\{x\midt x=x\}$ $\forall x\forall T(x\i T\højrepil x\i V)$ $T$ $V$ $\forall T\;|T|\leqslant |V|$ $V$

Men i kraft af aksiomet for mængden af alle delmængder, for , såvel som ethvert sæt, er der et sæt af alle delmængder , og ved Cantors sætning , som er i modstrid med det foregående udsagn. Derfor kan den ikke eksistere, hvilket er i konflikt med den "naive" hypotese , at enhver syntaktisk korrekt logisk betingelse definerer en mængde, dvs. den for enhver formel , der ikke indeholder fri. $V$ ${\mathcal {P}}(V)$ $|{\mathcal {P}}(V)|=2^{|V|}>|V|$ $V$ $\eksisterer y\forall z(z\i y\venstrehøjrepil A)$ $EN$ $y$

Anden formulering

Der er ikke noget maksimalt kardinaltal . Faktisk: lad det eksistere og være lig med . Derefter ved Cantors sætning . $\mu$ $2^{\mu }>\mu$

Konklusioner

Dette paradoks, opdaget af Cantor omkring 1899 , afslørede behovet for at revidere "naiv mængdeteori" ( Russels paradoks blev opdaget noget senere, omkring 1901 ) og stimulerede udviklingen af en streng aksiomatisk for mængdeteori . Aksiomerskemaet blev afvist som selvmodsigende; i stedet blev der udviklet et system af begrænsninger på typen af tilstand givet af formlen . $\eksisterer y\forall z(z\i y\venstrehøjrepil A)$ $EN$

Kantors paradoks

Ordlyd

Anden formulering

Konklusioner

Se også