Universal Algebra

Universal algebra  er en gren af ​​matematikken , der studerer algebraiske systemers generelle egenskaber ved at bruge lighederne mellem forskellige algebraiske strukturer - grupper, ringe, moduler, gitter, introducere begreber, der er iboende i dem alle, og etablere udsagn, der er fælles for dem alle. Det indtager en mellemposition mellem matematisk logik og generel algebra , som et realiseringsapparat for matematisk logik som anvendt på generelle algebraiske strukturer.

Det centrale koncept er et algebraisk system , et objekt med maksimal generalitet, der omfatter en betydelig del af varianterne af algebraiske strukturer ; over dette objekt kan begreberne homomorfi og faktorsystemer konstrueres, idet man generaliserer de tilsvarende konstruktioner fra teorierne om grupper, ringe, gitter og så videre. En udviklet retning i afsnittet er studiet af klasser af aksiomatiserbare algebraiske systemer, primært som dem, der er defineret af sortens identiteter (herunder frie algebraer ), og defineret af kvasi-variantens kvasi- identiteter . I den matematiske emneklassifikation er en sektion på øverste niveau tildelt universel algebra 08.

Historie

Den første omtale af en gren af ​​matematikken med dette navn refererer til Alfred Whitehead (hans "Afhandling om universel algebra, med anvendelser" [1] blev offentliggjort i 1898 ) [2] , dog fremkomsten af ​​en separat disciplin, der studerer algebraiske strukturer da arbitrære sæt med vilkårlige sæt af operationer og relationer er forbundet med Garrett Birkhoffs arbejde i 1935 [3] [4] , henledte han inden for rammerne af sit arbejde med gitterteori opmærksomheden på en række parallelle konstruktioner, der blev brugt i teorien af grupper og ringe : homomorfier , faktorgrupper og faktorringe , normale undergrupper og tosidede idealer . Birkhoffs arbejde fremkaldte ikke offentliggjorte reaktioner og udvikling i nogen tid, dog markerede 1940'erne fremkomsten af ​​en vis "folklore" forbundet med en sådan universel tilgang til algebra, især tilgangen blev skitseret i forelæsninger i slutningen af ​​1940'erne af Philip Hall .  Hall ) ved University of Cambridge [2] .

Næste skridt mod skabelsen af ​​universel algebra som en gren af ​​matematikken er Alfred Tarskis arbejde med modelteori og Kenjiro Shoda om algebraer med binære operationer , samt arbejdet af Leon Genkin [5] , Anatoly Maltsev [6] , Abraham Robinson [7] , Bjarni Jonsson ( Isl. Bjarni  Jónsson ) [8] , som henledte opmærksomheden på effektiviteten af ​​at anvende matematisk logiks apparat, der blev brugt inden for rammerne af teorien om modeller , der blev bygget i disse år , på undersøgelsen af algebraiske systemer som strukturer, der generaliserer modeller og algebraer. Samtidig blev Maltsevs arbejde fra 1941 [9] bemærket som forudgående en logisk tilgang til universel algebra, men modtog ikke svar og rettidig udvikling på grund af krigen , og Tarskis foredrag ved International Congress of Mathematicians i 1950 blev noteret som udgangspunktet for afdelingens anden udviklingsperiode [10] .

Siden slutningen af ​​1950'erne har retningen, der udforsker frie algebraer , udviklet sig , primært på grund af Edvard Marchevskys arbejde og den efterfølgende serie af mere end halvtreds artikler af polske matematikere i denne retning [11] . I midten af ​​1950'erne introducerede og studerede Philip Higgins multioperatorgrupper [12] [13] som strukturer, hvori forestillingen om en kommutator kan generaliseres , og enhver kongruens kan repræsenteres som en nedbrydning til cosets i idealer (i analogi med de tilsvarende egenskaber af en normal undergruppe og en tosidede idealringe), senere særlige klasser af multioperatorgrupper (multioperatorringe og algebraer) blev også undersøgt.

Siden begyndelsen af ​​1960'erne har teorien om kvasivarieteter og spørgsmål om deres forbindelse med aksiomatiserbare klasser af algebraiske systemer været under udvikling (Maltsev, Gorbunov ), den hurtigst udviklende retning i begyndelsen af ​​midten af ​​1970'erne var studiet af varianter af kongruenser. (Bjarni Jónsson, Gretzer).

I 1968 omfattede bibliografien om universel algebra mere end 1.000 artikler, i 1980 mere end 5.000; i perioden fra 1976 til 1988 blev der udgivet 2 tusinde værker [14] .

I anden halvdel af 1970'erne opstod anvendelser af universel algebra i datalogi - teorien om abstrakte datatyper , teorien om databasestyringssystemer [15] , applikationer er hovedsageligt bygget op omkring begrebet mangesorterede algebraer . Blandt de hovedområder, der blev mest aktivt udviklet i 1980'erne-1990'erne [16]  er teorien om kvasivarieteter, teorien om kommutatorer for manifolder af kongruenser og teorien om naturlig dualitet .  I 2000'erne modtog en separat retning intensiv udvikling - universel algebraisk geometri , der generaliserede klassisk algebraisk geometri , arbejde med algebraiske felter , til bredere klasser af algebraiske systemer [17] .

Algebraiske systemer, algebraer og modeller

Det grundlæggende studieobjekt for afsnittet er et algebraisk system  - et vilkårligt ikke-tomt sæt med et givet (muligvis uendeligt) sæt af finite-array-operationer på sig og finite-array-relationer: , , . Sættet i dette tilfælde kaldes systemets bærer (eller hovedsæt ), sættet af funktionelle symboler og prædikatsymboler med deres egenskaber  er dets signatur . Et system med et tomt sæt af relationer kaldes en universel algebra (i fagets kontekst - oftere blot en algebra ), og med et tomt sæt af operationer - en model [18] eller et system af relationer , et relationssystem [19] .

Alle grundlæggende generelle algebraiske strukturer passer ind i denne abstraktion, for eksempel er et delvist ordnet sæt  et relationssystem udstyret med en binær partiel ordensrelation, og en gruppe  er en algebra udstyret med en nuloperation [20] , der vælger et neutralt element , en unær operation for at opnå et inverst element og en binær associativ operation.

På grund af det faktum, at enhver -ær operation kan repræsenteres som en dimensionel relation , kan alle algebraiske systemer studeres som modeller ved hjælp af modelteoretiske værktøjer [21] .

Grundlæggende designs

For algebraiske systemer introduceres konstruktioner, der er karakteristiske for alle grundlæggende algebraiske strukturer: et delsystem ( subalgebra , submodel ), som en delmængde af systemets bærer, lukket med hensyn til alle operationer og relationer, homomorfi af systemer, som afbildninger mellem systemer af samme type, bevarelse af de grundlæggende operationer og relationer, isomorfisme , som en invertibel homomorfi, automorfi som en isomorfisme på sig selv. Indførelsen af ​​begrebet kongruens som en stabil ækvivalensrelation på et system gør det muligt at konstruere en sådan konstruktion som et faktorsystem ( faktoralgebra , faktormodel ) - et system over ækvivalensklasser. Samtidig bevises homomorfismesætningen , som er fælles for alle algebraiske systemer, og fastslår, at for enhver homomorfi er den naturlige kortlægning af faktorsystemet med hensyn til nuklear kongurens til en homomorfi , og i tilfælde af algebraer , det er en isomorfisme .

Alle undersystemer i et algebraisk system danner et komplet gitter , derudover er ethvert algebraisk gitter (det vil sige et gitter, hvor hvert element kan repræsenteres som den mindste øvre grænse af dets kompakte elementer) isomorf til gitteret af subalgebraer af nogle universel algebra [22] . Grupper af automorfier af algebraiske systemer [23] , kongruensgitre blev undersøgt . Især er det vist, at der for enhver gruppe og gitter eksisterer en universel algebra sådan, at , , .

Over en familie af algebraiske systemer af samme type er et direkte produkt defineret som et system, hvis operationer og relationer er koordinatmæssigt defineret på det kartesiske produkt af bærere: det vil sige for  - , og for  - . Direkte produktprojektioner er naturlige surjektive homomorfier , der genopretter operationer og relationer i produktets komponenter. Den kartesiske grad af et algebraisk system er et direkte produkt med sig selv: ; gitteret af kongruenser af en algebra i denne forstand kan betragtes som at gå ind i gitteret af subalgebraer af dens kartesiske kvadrat , desuden er det blevet fastslået, at det er et komplet subgitter i det [24] .

Sorter

En række algebraiske systemer (eller en ligningsklasse ) er en klasse af algebraiske systemer med en fast signatur, aksiomatiseret af et sæt identiteter udtrykt i signaturtermer, dette koncept generaliserer sådanne specielle aksiomatisk givne klasser af algebraer som klassen af ​​alle semigrupper, alle gruppers klasse, alle ringes klasse. Grundlaget for at studere en sådan generaliseret konstruktion som en sort er Birkhoff-sætningen , som siger, at for at en ikke-tom klasse af algebraiske systemer skal kunne aksiomatiseres af identiteter, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at det indeholder:

Den tredje betingelse svarer til at være lukket med hensyn til faktorsystemer.

I undersøgelser af universel algebra studeres manifoldernes strukturelle egenskaber og spørgsmålene om nedsænkning af systemer af en manifold i systemer af en anden i detaljer. Undervarieteter for en given ligningsklasse danner et gitter ved inklusion, og egenskaberne af sådanne gitter af varieteter er forskellige, især er gitteret af alle varianter af gitter distributivt og har kontinuumets kardinalitet , og gitteret af alle varianter af grupper er modulære , men er ikke distributive.

Ud over varieteter aksiomatiseres sådanne mere generelle klasser af systemer som prævarieteter (replikakomplette klasser), som er klasser lukket med hensyn til subalgebraer og kartesiske produkter, indeholdende et et-elementsystem og kvasivarieteter  af et sæt kvasiidentiteter ( defineret af Horn-klausuler ), og også endeligt lukkede varianter af sorter og kvasi-varianter er pseudo -varieteter og pseudo-kvasi- varieteter .

Gratis algebraer

Særlige algebraer

Kategorier af algebraiske systemer

Ansøgninger

Noter

  1. Whitehead, Alfred North. En afhandling om universel algebra med anvendelser . - Cambridge : Cambridge University Press , 1898. - 547 s.
  2. 1 2 Kohn, 1969 , s. elleve.
  3. Maltsev, 1970 , s. 7.
  4. Gretzer, 2008 , Selvom Whitehead anerkendte behovet for universel algebra, havde han ingen resultater. De første resultater blev offentliggjort af G. Birkhoff i trediverne, s. vii.
  5. Henkin L. Nogle forbindelser mellem moderne algebra og matematisk logik  //  Transactions of the American Mathematical Society . - 1953. - Bd. 74 . - S. 410-427 . — ISSN 0002-9947 . Arkiveret fra originalen den 21. september 2015.
  6. A. I. Maltsev. Om den generelle teori om algebraiske systemer  // Matematisk samling . - 1954. - T. 35 , nr. 77 . - S. 3-20 .
  7. Abraham Robinson. Notat om en indlejringssætning for algebraiske systemer  //  Journal of the London Mathamtical Society . - 1955. - Bd. 30 . - S. 249-252 .
  8. Bjarni Jonsson. Universelle relationelle systemer  (engelsk)  // Mathematica Scandinavica. - 1957. - Nej. 5 . - S. 224-229 . — ISSN 0025-5521 .
  9. Maltsev A.I. Om en generel metode til at opnå lokale teoremer for gruppeteori // Videnskabelige noter fra Ivanovo State Pedagogical Institute. Serie af fysiske og matematiske videnskaber. - 1941. - T. 1 , nr. 1 . - S. 3-20 .
  10. Gretzer, 2008 , Mal'cevs papir fra 1941 var det første, men det gik ubemærket hen på grund af krigen. Efter krigen begyndte A. Tarski, LA Henkin og A. Robinson at arbejde inden for dette felt, og de begyndte at offentliggøre deres resultater omkring 1950. A. Tarskis foredrag ved International Congress of Mathematicians (Cambridge, Massachusetts, 1950) kan betragtes som som begyndelsen af ​​den nye periode., s. viii.
  11. Gretzer, 2008 , Marczewski understregede vigtigheden af ​​baser af frie algebraer; han kaldte dem uafhængige sæt. Som et resultat var Marczewski, J. Mycielski, W. Narkiewicz, W. Nitka, J. Plonka, S. Swierczkowski, K. Urbanik og andre ansvarlige for mere end 50 artikler om den algebraiske teori om frie algebraer, s. viii.
  12. Higgins PJ- grupper med flere operatører  //  Proceedings of the London Mathematical Society. - 1956. - Bd. 6 , nr. 3 . - S. 366-416 . - doi : 10.1112/plms/s3-6.3.366 .
  13. Kurosh A. G. Forelæsninger om generel algebra / red. O. N. Golovin - 2. udg. — M .: Nauka , 1973. — 400 s. — ISBN 978-5-8114-0617-3
  14. General Algebra, 1991 , s. 45.
  15. Plotkin B. I. Universal algebra, algebraisk logik og databaser. — M .: Nauka, 1991. — 448 s. - 3960 eksemplarer.  — ISBN 5-02-014635-8 .
  16. Gretzer, 2008 , s. 584.
  17. Præsidiet for Det Russiske Videnskabsakademi besluttede (oktober-november 2007)  // Bulletin of the Russian Academy of Sciences. - 2008. - T. 78 , no. 3 . - S. 286 . Arkiveret fra originalen den 9. december 2014.
  18. Maltsev, 1970 .
  19. Gretzer, 2008 , s. otte.
  20. Det antages, at
  21. General Algebra, 1991 , s. 313.
  22. Gretzer, 2008 , Sætning 2, s. 48.
  23. Plotkin B. I. Automorfigrupper af algebraiske systemer. — M .: Nauka , 1966. — 603 s. - 6000 eksemplarer.
  24. General Algebra, 1991 , s. 302.
  25. Maltsev, 1970 , s. 337-339.

Litteratur