Keglesnit

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 21. juni 2022; verifikation kræver 1 redigering .

Et keglesnit , eller et keglesnit [1] , er skæringen af ​​et plan med overfladen af ​​en ret cirkulær kegle . Der er tre hovedtyper af keglesnit: ellipse , parabel og hyperbel , derudover er der degenererede sektioner: punkt , linje og linjepar. Cirklen kan opfattes som et særligt tilfælde af ellipsen . Derudover kan en parabel betragtes som et ekstremt tilfælde af en ellipse, hvor et af brændpunkterne er uendeligt.

Keglesnit kan opnås som skæringen af ​​et plan med en tosidet kegle

(i kartesiske koordinater )

Her

 er vinklen mellem keglens generatrix og dens akse.

Hvis flyet passerer gennem oprindelsen , opnås en degenereret sektion. I det ikke-degenererede tilfælde,

Ligningen for en cirkulær kegle er kvadratisk, derfor er alle keglesnit kvadratiske , også alle kvadrater i planet er keglesnit (selvom to parallelle linjer danner en degenereret kvadratisk, som ikke kan opnås som en sektion af en kegle, men den kan fås som en sektion af en cylinder  - en degenereret kegle , og betragtes normalt som et "degenereret keglesnit").

Historie

Keglesnit var kendt af matematikerne i det antikke Grækenland .

Det mest komplette værk afsat til disse kurver var "keglesnittene" af Apollonius af Perga (ca. 200 f.Kr.). Tilsyneladende var han den første til at beskrive ellipsens og hyperbelens brændpunkter [2] :41 .

Pappus fra Alexandria var den første, der beskrev en parabels fokus og udledte den generelle ligning for et keglesnit som stedet for punkter, for hvilke forholdet mellem afstande og fokuspunkt og retningslinje er konstant [2] :48 .

Excentricitet

Alle ikke-degenererede keglesnit, undtagen cirklen , kan beskrives på følgende måde:

Lad os vælge et punkt og en linje på flyet og sætte et reelt tal . Så er stedet for punkter , for hvilke afstanden til punktet og til linjen adskiller sig med en faktor, et keglesnit. Punktet kaldes fokus for keglesnittet, den rette linje er retningslinjen , og tallet er excentriciteten .

Afhængigt af excentriciteten vil det vise sig:

For en cirkel antages det (selvom det faktisk kun er et punkt ved GMT ).

Excentriciteten er relateret til keglens parametre og placeringen af ​​skæreplanet i forhold til keglens akse ved følgende forhold [3] :46.47 :

her - sekantplanets hældning i forhold til keglens akse, - vinklen mellem generatricen og keglens akse, lig med halvdelen af ​​keglens åbningsvinkel. Det kan ses ud fra denne formel, at ved at skære en given kegle med et plan, kan man opnå en ellipse med enhver excentricitet, en parabel, og en hyperbel kan kun opnås en, hvis excentricitet ikke overstiger . Denne maksimale værdi nås, når en given kegle skæres af et plan parallelt med dens akse.

Mælkebolde

Nogle vigtige egenskaber ved keglesnit opnås ved at overveje to kugler, der tangerer et keglesnit og en kegle - Mandelin-kuglerne . For eksempel, med deres hjælp, etableres den geometriske betydning af fokus, retning og excentricitet af et keglesnit [3] :46,47 .

Egenskaber

Polar dualitet

Vi fikserer en cirkel på flyet . Ethvert punkt i flyet kan associeres med dets polære relativt - og omvendt kan enhver lige linje associeres med dens pol. Den resulterende transformation, som forbinder linjer med punkter og punkter med linjer, kaldes en polær korrespondance og er en involution , billederne af punkter og linjer under en sådan transformation kaldes dobbeltbilleder. En polær korrespondance kan defineres ikke kun med hensyn til en cirkel, men også med hensyn til enhver kegle - i dette tilfælde vil det være en sammensætning af en projektiv transformation, der tager denne kegle til en cirkel, en polær korrespondance med hensyn til denne cirkel og en omvendt projektiv transformation.

Det dobbelte billede af en glat kurve er sættet af dobbeltbilleder af alle tangenter til denne kurve. Så er det rigtigt, at dobbeltbilledet af en kegle også er en kegle. Således er nogle udsagn, såsom Pascals og Brianchons sætninger, polære dualer af hinanden.

Transformer grupper

Koordinat repræsentation

Kartesiske koordinater

I kartesiske koordinater er keglesnit beskrevet af et generelt kvadratisk polynomium :

Med andre ord er keglesnit kurver af anden orden . Diskriminerende tegn

definerer typen af ​​keglesnit.

Polære koordinater

I polære koordinater , centreret i en af ​​brændpunkterne og nulretningen langs hovedaksen, er keglesnittet repræsenteret af ligningen

hvor e er excentriciteten og l er den fokale parameter.

Baner i tyngdefeltet og lignende kræfter

Inden for rammerne af klassisk mekanik er banen for et materielt punkt eller et stift sfærisk symmetrisk legeme i feltet af en kraft, der adlyder den omvendte kvadratlov, en af ​​de keglesnit - en parabel, hyperbel, ellipse (især en cirkel) eller en lige linje.

I det tilfælde, hvor en sådan kraft er en tiltrækkende kraft, er alle disse baner mulige (afhængigt af startbetingelserne); hvis det er en frastødende kraft, så er kun lige linjer og hyperbler mulige.

Et legemes bevægelsesbane (eller dets massecenter i tilfælde af ethvert ikke-punktlegeme) i feltet af en ensartet konstant kraft [5] inden for rammerne af klassisk mekanik er en nøjagtig parabel.

Denne konklusion gælder ikke kun for en fast (immobil) position af kraftcentret [6] , men også for samspillet mellem to punkt- eller sfæriske legemer med sammenlignelig masse [7] .

Det andet udsagn inden for rammerne af klassisk mekanik er nøjagtigt (i praksis er det lige så præcist som hvordan vekselvirkningskraften nøjagtigt opfylder den omvendte kvadratlov, og der er ingen andre kræfter).

For mere end to vekselvirkende legemer er alt dette generelt set ikke sandt (det vil sige, at banerne kun kan være nøjagtige keglesnit nøjagtigt i sjældne specielle tilfælde - under udvalgte specielle begyndelsesbetingelser), men det kan være en god tilnærmelse i tilfælde af ét massivt centralt legeme og relativt svagt interagerende meget mindre massive andre legemer, især for solsystemet som helhed, med undtagelse af små himmellegemer, som nogle gange kommer for tæt på planeterne.

Fysisk kan situationen omtales som interaktionen mellem punkt (der har en meget lille størrelse sammenlignet med afstanden til andre legemer) eller sfæriske legemer under påvirkning af gravitationskræfter, der adlyder loven om universel gravitation (denne lov er en ret god tilnærmelsesvis beskrivelse af den virkelige gravitationsinteraktion i de fleste tilfælde, som vi kolliderer med i solsystemet) og/eller elektrostatiske kræfter, der adlyder Coulombs lov [8] .

For at kroppens baner kan være keglesnit [9] , er det vigtigt, at betingelserne for antallet og/eller masserne af interagerende legemer beskrevet ovenfor er opfyldt, og at der ideelt set ikke er nogen (praktisk set ubetydelige, eller nogle gange, godt kompenseret) alle andre kræfter, såsom f.eks. aerodynamiske modstandskræfter (hertil kræves f.eks. en tilstrækkelig sartering af mediet), strålingstab (i tilfælde af bevægelse af elektrisk ladede legemer, de kan være betydelige, inden for rammerne af Newtons tyngdekraft er sådanne tab altid lig med nul, men i virkeligheden kan tab på grund af stråling fra gravitationsbølger være mærkbare under samspillet mellem nærliggende massive og hurtigt bevægende objekter). Ud over det sædvanlige aerodynamiske modstand kan kræfter som trykkraften og modstandskraften på grund af solvinden være betydelige.

Når man bevæger kosmiske legemer, er disse betingelser som regel opfyldt i det mindste til en vis grad, således at keglesnittet er en acceptabel, og ofte meget god, tilnærmelse af en reel bane (i nogen tid).

I solsystemet er planeternes baner ellipser med en ret god tilnærmelse (afvigelsen fra den nøjagtige ellipticitet er størst for Merkur), kometernes baner er ellipser, hyperbler [10] ; kometbaner er ofte "næsten parabolske" [11] (se også Himmelmekanik ).

En kanonkugles flyvevej i Jordens gravitationsfelt, uden at tage højde for luftens indflydelse, er en ellipsebue tæt på en parabel (da kanonkuglens hastighed er meget mindre end den første kosmiske).

I et lille (sammenlignet med Jordens radius) laboratorium kan gravitationsfeltet betragtes som ensartet og konstant. Hvis luft pumpes godt nok ud i et sådant laboratorium, så vil banen for en sten, der kastes ind i den, være næsten en nøjagtig parabel (eller lige linje) [12] . Under normale forhold (tilstedeværelsen af ​​luft) er banerne for kastede kroppe generelt set ret forskellige fra parabler og lige linjer (med undtagelse af et strengt lodret kast), men ved lave hastigheder og korte flyvedistancer kan de være ret tæt på en parabel.

Se også

Noter

  1. ↑ Lohwaters AJ russisk-engelsk ordbog over de matematiske videnskaber. Redigeret af R.P.Boas. 1990. side 162
  2. ↑ 1 2 Florian Cajori, A History of Mathematics, 5. udgave 1991
  3. ↑ 1 2 Pogorelov A. V. Geometri. — M .: Nauka , 1983. — 288 s.
  4. ↑ A.V. Akopyan, A.A. Zaslavskij. Geometriske egenskaber for kurver af anden orden . — M.: MTsNMO, 2007. — S.  79 .
  5. ↑ Der menes en kraft, hvis størrelse og retning er den samme overalt i det betragtede bevægelsesområde og er konstant i tid; andre kræfter, der ville krænke denne ejendom, betragtes som fraværende. Med andre ord, i dette tilfælde er kroppen altid påvirket af den samme, i retning og størrelse, konstant kraft. I praksis kan dette være resultatet af flere kræfter, der opfylder den beskrevne betingelse, og de mulige afvigelser, hvis ikke præcis nul, er små - så vil parablen være en omtrentlig løsning for banen.
  6. ↑ Denne mulighed implementeres med god nøjagtighed i det tilfælde, hvor massen af ​​en af ​​de interagerende kroppe er meget større end massen af ​​den anden. Så er det første legeme (næsten) ubevægeligt, og som følge heraf er centrum af kraften, der virker på det andet legeme, ubevægeligt.
  7. ↑ I dette tilfælde er det let at vise, at massecentret af systemet af interagerende legemer vil spille rollen som et fast kraftcenter, og kraften, der virker på hver af de to legemer, vil være omvendt proportional med kvadratet af afstanden til dette center.
  8. ↑ I praksis er dette tilfælde af klassisk bevægelse under forhold med rent elektrostatisk vekselvirkning mindre vigtigt og ret sjældent, da det er ret sjældent at støde på tilstedeværelsen af ​​en overvejende elektrostatisk vekselvirkning med andre kræfters komparative lillehed, men teoretisk set er muligt.
  9. ↑ I virkeligheden er dette kun muligt tilnærmelsesvis, men vi taler om, at det i det mindste er en god nok tilnærmelse.
  10. ↑ Hughes D.U. Om hyperbolske kometer  //  Journal of the British Astronomical Association. - 1991. - Bd. 101, nr. 2 . - S. 119-120 .
  11. ↑ Træk ved fangsten af ​​kometer af Halley-typen fra næsten parabolske baner
  12. ↑ Strengt taget kun hvis Jorden ikke roterede; Jordens rotation forvrænger den virkelige bane, om end svagt.

Litteratur

Links