Pascals sætning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 26. februar 2022; verifikation kræver 1 redigering .

Pascals sætning [1] er en klassisk sætning om projektiv geometri .

Ordlyd

Hvis en sekskant er indskrevet i en cirkel (eller et hvilket som helst andet keglesnit - ellipse , parabel , hyperbel , eller endda et par rette linjer ), så ligger skæringspunkterne for tre par modstående sider på den samme rette linje. Denne linje kaldes Pascals linje [2] .

Historie

Først formuleret og bevist af Blaise Pascal i en alder af 16 som en generalisering af Pappus ' teorem . Pascal tog denne teorem som grundlag for sin afhandling om keglesnit. Selve afhandlingen er forsvundet, og kun et resumé af den kendes fra et brev fra Leibniz, som under sit ophold i Paris havde det i hænderne, og et resumé af denne afhandlings hovedsætninger, udarbejdet af Pascal selv (Eksperiment om kegle afsnit). Pascal selv anså linjeparret i Pappus' sætning for at være et keglesnit, og Pappus' sætning for at være et specialtilfælde af hans sætning.

Om beviser

Et af beviserne bruger dobbelttælling .
Et muligt bevis er baseret på en konsekvent anvendelse af Menelaos' teorem .
Ved en projektiv transformation kan man transformere den beskrevne kegle til en cirkel, mens sætningens tilstand bevares. For en cirkel kan sætningen bevises ud fra eksistensen af en isogonal konjugation .
- I tilfælde af en konveks polygon indskrevet i en cirkel, er det muligt at udføre en projektiv transformation , der efterlader cirklen på plads, og linjen, der går gennem skæringspunkterne mellem to par modsatte sider, kan tages til uendelig. I dette tilfælde bliver påstanden om sætningen indlysende.
Et muligt bevis kunne også være baseret på 9-punkts-på-en-terning-sætningen .

Ansøgning

Giver dig mulighed for at bygge et keglesnit med fem punkter, som det sted for punkter, der svarer til det sjette punkt af sekskanten i konfigurationen.

Variationer og generaliseringer

Pascals sætning er dobbelt til Brianchons sætning .

Hvis hoveddiagonalerne af en sekskant skærer hinanden i et punkt, så er den tilsvarende linje, der opstår i Pascals sætning, polært for dette punkt i forhold til den kegle, hvori sekskanten er indskrevet.
- Generelt er linjen fra Pascals sætning for en sekskant indskrevet i en kegle polær i forhold til punktet fra Brianchons sætning for en sekskant dannet af tangenter til hjørnerne af den oprindelige sekskant. ${\mathcal {K}}$ ${\mathcal {K}}$ ${\mathcal {K}}$

Sætningen er også sand i det tilfælde, hvor to eller endda tre nabospidser falder sammen (men ikke mere end to på et tidspunkt). I dette tilfælde tages tangenten til linjen på dette punkt som en ret linje, der går gennem to sammenfaldende hjørner. I særdeleshed:
- En tangent til en linje af 2. orden tegnet ved et af hjørnerne af en indskrevet femkant skærer siden modsat dette vertex i et punkt, der ligger på en ret linje, der går gennem skæringspunkterne for de resterende par af ikke-tilstødende sider af denne femkant.
- Hvis ABCD er en firkant indskrevet i en linie af 2. orden, så ligger skæringspunkterne for tangenterne ved hhv. toppunkterne C og D med siderne AD og BC, og skæringspunktet for linjerne AB og CD på én linje.
- Hvis ABCD er en firkant indskrevet i en linje af 2. orden, så ligger skæringspunkterne for tangenterne ved toppunkterne C og D, linjerne AC og BD og linjerne AD og BC på den samme rette linje.
- Skæringspunkterne for tangenterne i spidserne af en trekant indskrevet i en linje af 2. orden med modsatte sider ligger på den samme rette linje.
  - Denne linje kaldes Pascal-linjen i den givne trekant.

I 1847 udkom en generalisering af Pascals sætning lavet af Möbius , som lyder således:
- Hvis en polygon med sider er indskrevet i et keglesnit, og dens modstående sider er forlænget på en sådan måde, at den skærer hinanden i et punkt, så hvis disse punkter ligger på en linje, vil det sidste punkt ligge på samme linje. $4n+2$ $2n+1$ $2n$

Kirkmans sætning : Lad punkterne , , , , og ligge på samme keglesnit. Så Pascals linjer af sekskanter , og skærer hinanden på et punkt. $EN$ $B$ $C$ $D$ $E$ $F$ $ABFDCE$ $AEFBDC$ $ABDFEC$

Sætning om 9 punkter på en terning

Yderligere illustrationer

Noter

↑ Også kendt under det latinske navn hexagrammum mysticum teorem
↑ Dmitry Efremov . Ny Triangle Geometry Arkiveret 25. februar 2020 på Wayback Machine . - Odessa, 1902. - S. 7-8. Kapitel I, punkt 11.

Litteratur

Kotelnikov K. Pascals sekskant // V.O.F.E.M. . - 1888. - Nr. 50 . - S. 34-35 .
Pascal . Et eksperiment med keglesnit med et appendiks til Leibniz' brev til E. Perrier. Oversættelse og kommentarer af G. I. Ignatius. // Historisk og matematisk forskning . Udgave XIV.
Freivert D. M. Et nyt emne i euklidisk geometri på planet: teorien om "Pascal-punkter" dannet ved hjælp af en cirkel på siderne af en firkant . - 2019. - S. 37-42 .
Sjal . En historisk gennemgang af geometriske metoders oprindelse og udvikling . Ch. 2, § 16-19. M., 1883.
R. Courant, G. Robbins, Hvad er matematik? Kapitel IV, § 8.4.
Live tegninger (i Java )
- Pascals sætning om Klip knuden
- Pascals sætning
Ponarin Ya. P. Elementær geometri. I 2 bind - M . : MTSNMO , 2004. - S. 76-78. — ISBN 5-94057-170-0 .
D. Fraivert. Teorien om en konveks firkant og en cirkel, der danner Pascal-punkter - egenskaberne af Pascal-punkter på siderne af en konveks firkant // Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications. - 2016. - T. 40 . — S. 1–34. - doi : 10.18642/jmsaa_7100121666 .
D. Fraivert. Egenskaber for en Pascal-punktcirkel i en firkant med vinkelrette diagonaler // Forum Geometricorum. - 2017. - Bd. 17. - S. 509-526.