Anden ordens overflade

En andenordens overflade er stedet for punkter i det tredimensionelle rum, hvis rektangulære koordinater opfylder en ligning af formen

a_{11}x^{2}+a_{22}y^{2}+a_{33}z^{2}+2a_{12}xy+2a_{23}yz+2a_{13}xz+2a_{ 14}x+2a_{24}y+2a_{34}z+a_{44}=0

hvor mindst én af koefficienterne , , , , , er ikke-nul. $a_{11}$ $a_{{22}}$ $a_{{33}}$ $a_{{12}}$ $a_{{23}}$ $a_{{13}}$

Typer af andenordens overflader

Cylindriske overflader

En overflade kaldes en cylindrisk overflade med en generatrix , hvis linjen, der går gennem dette punkt parallelt med generatrixen , for et hvilket som helst punkt på denne overflade, helt tilhører overfladen . $S$ ${\vec{l))$ $M_{0}$ ${\vec{l))$ $S$

Sætning (om ligningen for en cylindrisk overflade).
Hvis overfladen i et eller andet kartesisk rektangulært koordinatsystem har ligningen , så er det en cylindrisk overflade med en generatrix parallel med aksen . $S$ $f(x,y)=0$ $S$ $oz$

Kurven givet af ligningen i planet kaldes guiden af den cylindriske overflade. $f(x,y)=0$ $z=0$

Hvis guiden af en cylindrisk overflade er givet af en kurve af anden orden , så kaldes en sådan overflade en cylindrisk overflade af anden orden .

Elliptisk cylinder:	parabolsk cylinder:	Hyperbolsk cylinder:
${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	$y^{2}=2px$	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\!=1$

Par matchende linjer:	Par matchede fly:	Et par krydsende planer:
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0$	$y^{2}=0$	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\!=0$

Koniske overflader

En overflade kaldes en konisk overflade med et toppunkt ved , hvis for ethvert punkt på denne overflade linjen passerer igennem og hører helt til denne overflade. $S$ $O$ $M_{0}$ $M_{0}$ $O$

En funktion siges at være af homogen orden, hvis følgende gælder: $F(x,y,z)$ $m$ $\forall t\in \mathbb {R} \;\forall x,y,z$ $F(tx,ty,tz)=t^{m}F(x,y,z)$

Sætning (om ligningen for en konisk overflade).
Hvis overfladen i et eller andet kartesisk rektangulært koordinatsystem er givet af ligningen , hvor er en homogen funktion, så er en konisk overflade med et toppunkt i origo. $S$ $F(x,y,z)=0$ $F(x,y,z)$ $S$

Hvis overfladen er givet af en funktion , der er et andenordens homogent algebraisk polynomium, så kaldes det en andenordens konisk overflade . $S$ $F(x,y,z)$ $S$

Den kanoniske andenordens kegleligning har formen:

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2} }{c^{2}}}=0

Overflader af revolution

En overflade kaldes en omdrejningsflade omkring en akse , hvis cirklen, der passerer gennem dette punkt i et plan med centrum ved og radius for et hvilket som helst punkt på denne overflade, helt hører til denne overflade. $S$ $oz$ $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ $z=z_{0}$ $(0,0,z_{0})$ $r={\sqrt {x_{0}^{2}+y_{0}^{2))}$

Sætning (om omdrejningsfladens ligning).
Hvis overfladen i et eller andet kartesisk rektangulært koordinatsystem er givet af ligningen , så er omdrejningsfladen omkring aksen . $S$ $F(x^{2}+y^{2},z)=0$ $S$ $oz$

Ellipsoide :	Et-arks hyperboloid :	To-arks hyperboloid:	Elliptisk paraboloid :	Hyperbolsk paraboloid:
${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2} }{c^{2}}}=1$	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2} }{c^{2}}}=1$	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2} }{c^{2}}}=-1$	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=2z$	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=2z$

Hvis , er overfladerne anført ovenfor omdrejningsflader. $a=b\neq 0$

Elliptisk paraboloid

Ligningen for en elliptisk paraboloid har formen

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=2z.

Hvis , Så er den elliptiske paraboloid en omdrejningsflade dannet ved drejning af en parabel, hvis parameter er , omkring en lodret akse, der går gennem toppunktet og fokus på denne parabel. $a=b$ $p=a^{2}=b^{2}$

Skæringspunktet mellem en elliptisk paraboloid og et plan er en ellipse . $z=z_{0}>0$

Skæringspunktet mellem en elliptisk paraboloid med et plan eller er en parabel . $x=x_{0}$ $y=y_{0}$

Hyperbolsk paraboloid

Ligningen for en hyperbolsk paraboloid har formen

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=2z.

Skæringspunktet mellem en hyperbolsk paraboloid og et plan er en hyperbel . $z=z_{0}$

Skæringspunktet mellem en hyperbolsk paraboloid med et plan eller er en parabel . $x=x_{0}$ $y=y_{0}$

I lyset af den geometriske lighed omtales en hyperbolsk paraboloid ofte som en " sadel ".

Centrale overflader

Hvis midten af andenordens overfladen eksisterer og er unik, kan dens koordinater findes ved at løse ligningssystemet: $\venstre(x_{0},\;y_{0}\;z_{0}\højre)$

${\begin{cases}a_{11}x_{0}+a_{12}y_{0}+a_{13}z_{0}+a_{14}=0\\a_{21}x_{0}+ a_{22}y_{0}+a_{23}z_{0}+a_{24}=0\\a_{31}x_{0}+a_{32}y_{0}+a_{33}z_{ 0}+a_{34}=0\end{cases}}$

Matrixform af en andenordens overfladeligning

Andenordens overfladeligning kan omskrives i matrixform:

{\begin{pmatrix}x&y&z&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_ {24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix } }x\\y\\z\\1\end{pmatrix}}=0

Du kan også adskille de kvadratiske og lineære dele fra hinanden:

{\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31 }&a_{32}&a_{33}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}+2{\begin{pmatrix}a_{14}&a_{ 24}&a_{34}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}+a_{44}=0

Hvis vi angiver , har ligningen følgende form: $A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\ \end{pmatrix}}\quad b={\begin{pmatrix}a_{14}&a_{24}&a_{34}\end{pmatrix}}\quad X={\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix} }^{T}$

X^{T}AX+2bX+a_{44}=0

Invarianter

Værdierne af følgende mængder er bevaret under ortogonale transformationer af grundlaget :

Matrix-relateret : $EN$
- $I_{1}=\mathrm {tr} \,A$
- $I_{2}={M_{A}}_{1,2}^{1,2}+{M_{A}}_{1,3}^{1,3}+{M_{A}}_ {2,3}^{2,3}$ , hvor er andenordens minor af matricen A placeret i rækker og kolonner med indeks i og j. ${M_{A}}_{i,j}^{i,j}$
- $I_{3}=\det A$

Relateret til blok (udvidet) matrix [1] $B={\begin{pmatrix}A&b\\b^{T}&a_{44}\end{pmatrix}}$
- $K_{2}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=i+1}^{4}{M_{B}}_{i,j}^{i,j}$
- $K_{3}=\sum _{i=1}^{2}\sum _{j=i+1}^{3}\sum _{k=j+1}^{4}{M_{B} }_{i,j,k}^{i,j,k}$
- $K_{4}=\det B$

Sådanne invarianter kaldes også nogle gange semi-invarianter eller semi-invarianter.

Med en parallel oversættelse af koordinatsystemet forbliver mængderne uændrede. Hvori: $I_{1},I_{2},I_{3},K_{4}$

$K_{3}$ forbliver kun uændret hvis $I_{2}=I_{3}=K_{4}=0$
$K_{2}$ forbliver kun uændret hvis $I_{2}=I_{3}=K_{4}=K_{3}=0$

Klassificering af overflader af anden orden med hensyn til værdierne af invarianter

Overflade	Ligningen	Invarianter
Ellipsoide	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2} }{c^{2}}}=1$	$I_{3}\neq 0$	$I_{2}>0,\quad I_{1}I_{3}>0$	$K_{4}<0$
Imaginær ellipsoide	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2} }{c^{2}}}=-1$			$K_{4}>0$
Prik	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+z^{2}=0$			$K_{4}=0$
Et-arks hyperboloid	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2} }{c^{2}}}=1$		$I_{2}=0$ eller $I_{1}I_{3}\leq 0$	$K_{4}>0$
To-arks hyperboloid	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2} }{c^{2}}}=-1$			$K_{4}<0$
Kegle	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-2z^{2}=0$			$K_{4}=0$
Elliptisk paraboloid	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-2z=0$	$I_{3}=0$	$K_{4}\neq 0$	$K_{4}<0$
Hyperbolsk paraboloid	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-2z=0$		$K_{4}\neq 0$	$K_{4}>0$
Elliptisk cylinder	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$		$K_{4}=0$	$I_{2}>0$	$I_{1}K_{2}<0$
Imaginær elliptisk cylinder	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1$				$I_{1}K_{2}>0$
Lige linje (par imaginære skærende planer)	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+y^{2}=0$				$K_{2}=0$
hyperbolsk cylinder	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$			$I_{2}<0$	$K_{2}\neq 0$
Et par krydsende fly	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-y^{2}=0$			$I_{2}<0$	$K_{2}=0$
parabolsk cylinder	$y^{2}=2px$			$I_{2}=0$	$K_{2}\neq 0$
Par parallelle planer	$x^{2}-d^{2}=0$				$K_{2}=0$	$K_{1}<0$
Par imaginære parallelle planer	$x^{2}+d^{2}=0$					$K_{1}>0$
Fly	$x^2=0$					$K_{1}=0$

Noter

↑ Alexandrov P. S. Kapitel XIX. Generel teori om overflader af anden orden. // Forelæsninger om analytisk geometri. - Nauka, 1968. - S. 504-506. — 911 s.

Litteratur

V.A. Ilyin, G.D. Kim. Lineær algebra og analytisk geometri. - M. : Prospekt, 2012. - 400 s.
V. A. Ilyin, E. G. Poznyak. Analytisk geometri. - M. : FIZMATLIT, 2002. - 240 s.
P. S. Alexandrov. Kursus i analytisk geometri og lineær algebra. - M. : FIZMATLIT, 1979. - 511 s.
Sjal . En historisk gennemgang af geometriske metoders oprindelse og udvikling . Ch. 5, § 46-54. M., 1883.