Hausdorff plads

Et Hausdorff-rum er et topologisk rum , der opfylder det stærke separationsaksiom T 2 .

Opkaldt efter Felix Hausdorff , en af grundlæggerne af den generelle topologi . Hans oprindelige definition af et topologisk rum omfattede kravet nu kaldet Hausdorff.

Nogle gange bruges udtrykket Hausdorff topologi til at betegne strukturen af et Hausdorff topologisk rum på et sæt .

Definition

Et topologisk rum kaldes Hausdorff, hvis der er to adskilte punkter , fra har ikke-skærende kvarterer , . $x$ $x$ $y$ $x$ $U(x)$ $V(y)$

Eksempler og modeksempler

Alle metriske rum og metriserbare rum er Hausdorff , især: Euklidiske rum , manifolder , de fleste af de uendelig-dimensionelle funktionsrum, der bruges i analysen , såsom eller ,. $\mathbb {R} ^{n}$ $L^{p}\$ $W^{{1,\;p}}$ $p\geqslant 1\$

Hvis en topologisk gruppe er et T 0 -rum , så er det Hausdorff. Hvis T 0 ikke er opfyldt, vil faktorisering ved lukning af det neutrale element i gruppen give et Hausdorff-rum [1] . Af denne grund inkluderer nogle kilder Hausdorffness i definitionen af en topologisk gruppe.

Det enkleste (og vigtige) eksempel på et ikke-Hausdorff-rum er det forbundne kolon og mere generelt Heyting-algebraen . For eksempel er Zariski-topologien på en algebraisk sort ikke Hausdorff. Ikke-Hausdorff, generelt set, spektret af en ring .

Egenskaber

Det unikke ved grænsen for en sekvens (i et mere generelt tilfælde et filter ), hvis en sådan grænse findes.
En egenskab, der svarer til definitionen af Hausdorff-topologien, er diagonalens lukkethed i den kartesiske plads i rummet . $\Delta =\{(x,\;x)\;|\;x\i X\}$ $X\ gange X$ $x$
I et Hausdorff-rum er alle dets punkter lukket (det vil sige et-punktssæt).
Underrummet og det kartesiske produkt af Hausdorff-rum er også Hausdorff.
Generelt er Hausdorffness ikke overført til kvotientrum .
Et kompakt Hausdorff-rum er normalt og kan måles, hvis og kun hvis det har en tællig topologibase.
Enhver kontinuerlig en-til-en kortlægning fra et kompakt rum til et Hausdorff-rum er en homeomorfisme .
Ethvert begrænset Hausdorff-rum er diskret.

Noter

↑ D. Ramakrishnan og R. Valenza. Fourier-analyse på talfelter. - Springer-Verlag, 1999. - (Kandidattekster i matematik).

Litteratur

Aleksandrov PS Introduktion til mængdeteori og generel topologi. - 2., stereotypisk. - M. : Lan, 2010. - 368 s. - ISBN 978-5-8114-0981-5 .