Maxwells ligninger

Maxwells ligninger er et ligningssystem i differentiel eller integral form, der beskriver det elektromagnetiske felt og dets forhold til elektriske ladninger og strømme i vakuum og kontinuerlige medier . Sammen med udtrykket for Lorentz-kraften, som specificerer målet for indflydelsen af et elektromagnetisk felt på ladede partikler, danner disse ligninger et komplet system af ligninger af klassisk elektrodynamik , nogle gange kaldet Maxwell-Lorentz-ligningerne. Ligningerne formuleret af James Clerk Maxwell på grundlag af de eksperimentelle resultater akkumuleret i midten af det 19. århundrede spillede en nøglerolle i udviklingen af begreberne teoretisk fysik og havde en stærk, ofte afgørende indflydelse, ikke kun på alle fysikkens områder. direkte relateret til elektromagnetisme , men også på mange efterfølgende opståede fundamentale teorier, hvis emne ikke blev reduceret til elektromagnetisme (et af de klareste eksempler her er den særlige relativitetsteori ).

Historie

Ligningerne formuleret af James Clerk Maxwell opstod fra en række vigtige eksperimentelle opdagelser, der blev gjort i begyndelsen af det 19. århundrede . I 1820 opdagede Hans Christian Ørsted [1] at en galvanisk strøm passeret gennem en ledning får den magnetiske nål på et kompas til at afvige. Denne opdagelse tiltrak stor opmærksomhed blandt videnskabsmænd fra den tid. I samme 1820 fandt Biot og Savart eksperimentelt et udtryk [2] for den magnetiske induktion, der genereres af strømmen ( Biot-Savart-loven ), og André Marie Ampère opdagede også, at der sker en interaktion på afstand mellem to ledere, hvorigennem en strøm passeres. Ampere introducerede udtrykket " elektrodynamisk " og fremsatte hypotesen om, at naturlig magnetisme er forbundet med eksistensen af cirkulære strømme i magneten [3] .

Effekten af strøm på en magnet, opdaget af Ørsted, førte Michael Faraday til ideen om, at der skal være en omvendt effekt af en magnet på strømme. Efter lange eksperimenter opdagede Faraday i 1831 , at en magnet, der bevæger sig nær en leder, genererer en elektrisk strøm i lederen . Dette fænomen er blevet kaldt elektromagnetisk induktion . Faraday introducerede begrebet " kraftfelt " - et bestemt medium placeret mellem ladninger og strømme . Hans argumenter var af kvalitativ karakter, men de havde en enorm indflydelse på Maxwells forskning.

Efter Faradays opdagelser blev det klart, at de gamle modeller for elektromagnetisme ( Ampère , Poisson , etc.) var ufuldstændige. Webers teori , baseret på lang rækkevidde handling , dukkede snart op . Men på dette tidspunkt beskæftigede al fysik, undtagen gravitationsteorien , sig kun med kortdistancehandling (optik, termodynamik, kontinuummekanik osv.). Gauss , Riemann og en række andre videnskabsmænd spekulerede i, at lys har en elektromagnetisk karakter, så teorien om elektromagnetiske fænomener også burde være baseret på kortdistanceinteraktion. Dette princip blev et væsentligt træk ved Maxwells teori.

I sin berømte "Treatise on Electricity and Magnetism" ( 1873 ) skrev Maxwell [4] :

Da jeg begyndte at studere Faradays arbejde, fandt jeg ud af, at hans metode til at forstå fænomener også var matematisk, men ikke repræsenteret i form af almindelige matematiske symboler. Jeg fandt også ud af, at denne metode kan udtrykkes i den sædvanlige matematiske form og dermed sammenlignes med professionelle matematikeres metoder.

Ved at erstatte Faraday-begrebet "styrkefelt" med begrebet "feltstyrke", gjorde Maxwell det til hovedobjektet for hans teori [5] :

Hvis vi accepterer dette miljø som en hypotese, mener jeg, at det bør indtage en fremtrædende plads i vores studier, og at vi bør forsøge at konstruere en rationel idé om alle detaljerne i dets drift, hvilket har været mit konstante mål i denne afhandling.

Et sådant elektrodynamisk medium var et helt nyt koncept for newtonsk fysik. Sidstnævnte studerede samspillet mellem kroppe med masse. Maxwell, på den anden side, nedskrev de ligninger, som mediet skal adlyde, som bestemmer vekselvirkningen mellem ladninger og strømme og eksisterer selv i deres fravær.

Ved at analysere kendte eksperimenter opnåede Maxwell et ligningssystem for elektriske og magnetiske felter. I 1855, i sin allerførste artikel " On Faraday's Lines of Force" [6] ("On Faraday's Lines of Force" [7] ), nedskrev han først systemet af elektrodynamiske ligninger i differentialform, men uden at introducere forskydningen. nuværende endnu . Et sådant ligningssystem beskrev alle de eksperimentelle data, der var kendt på det tidspunkt, men tillod ikke at relatere ladninger og strømme til hinanden og at forudsige elektromagnetiske bølger [8] . For første gang blev forskydningsstrømmen introduceret af Maxwell i værket " On Physical Lines of Force" [9] ("On Physical Lines of Force" [10] ), bestående af fire dele og udgivet i 1861-1862. Ved at generalisere Ampères lov introducerer Maxwell forskydningsstrøm , sandsynligvis for at relatere strømme og ladninger ved en kontinuitetsligning , som allerede var kendt for andre fysiske størrelser [8] . Derfor blev formuleringen af det komplette system af elektrodynamiske ligninger i denne artikel faktisk afsluttet. I papiret fra 1864 " A dynamical theory of the electromagnetic field" [ 12] blev det tidligere formulerede ligningssystem på 20 ligninger for 20 ukendte overvejet. I denne artikel formulerede Maxwell først konceptet om et elektromagnetisk felt som en fysisk virkelighed, der har sin egen energi og begrænsede udbredelsestid, som bestemmer den forsinkede karakter af den elektromagnetiske interaktion [8] .

Det viste sig, at ikke kun strømmen, men også det elektriske felt , der ændrer sig med tiden (forskydningsstrøm), genererer et magnetfelt . Til gengæld, på grund af Faradays lov , genererer det skiftende magnetfelt igen et elektrisk. Som et resultat kan en elektromagnetisk bølge forplante sig i det tomme rum . Fra Maxwells ligninger fulgte det, at dets hastighed er lig med lysets hastighed , så Maxwell konkluderede om lysets elektromagnetiske natur.

Nogle fysikere var imod Maxwells teori (især begrebet forskydningsstrøm forårsagede mange indvendinger). Helmholtz foreslog sin teori, et kompromis i forhold til Webers og Maxwells modeller, og instruerede sin elev Heinrich Hertz om at udføre dens eksperimentelle verifikation. Hertz's eksperimenter bekræftede imidlertid utvetydigt rigtigheden af Maxwell.

Maxwell brugte ikke vektornotation og skrev sine ligninger i ret besværlig komponentform. I sin afhandling [13] brugte han også delvist quaternion- formuleringen. Den moderne form for Maxwells ligninger dukkede op omkring 1884 efter arbejdet af Heaviside , Hertz og Gibbs . De omskrev ikke kun Maxwells system i vektorform, men symmetriserede det også, omformulerede det med hensyn til feltet, og kom af med de elektriske og magnetiske potentialer, der spillede en væsentlig rolle i Maxwells teori, da de mente, at disse funktioner kun er unødvendige hjælpefunktioner. matematiske abstraktioner [14] . Det er interessant, at moderne fysik støtter Maxwell, men ikke deler hans tidlige tilhængeres negative holdning til potentialer. Det elektromagnetiske potentiale spiller en vigtig rolle i kvantefysikken og optræder som en fysisk målbar størrelse i nogle eksperimenter, for eksempel i Aharonov-Bohm-effekten [15] .

Ligningssystemet i formuleringen af Hertz og Heaviside blev i nogen tid kaldt Hertz-Heaviside-ligningerne [16] . Einstein kaldte dem i sin klassiske artikel "On the Electrodynamics of Moving Bodies" [17] Maxwell-Hertz-ligningerne. Nogle gange er der i litteraturen også navnet på Maxwell-Heaviside-ligningen [18] .

Maxwells ligninger spillede en vigtig rolle i fremkomsten af den særlige relativitetsteori (SRT). Joseph Larmor ( 1900 ) [19] og uafhængigt af ham Henrik Lorenz ( 1904 ) [20] fandt transformationer af koordinater, tid og elektromagnetiske felter, der efterlader Maxwells ligninger invariable, når de bevæger sig fra en inertial referenceramme til en anden. Disse transformationer adskilte sig fra de galileiske transformationer af klassisk mekanik og blev efter forslag fra Henri Poincaré [21] kendt som Lorentz-transformationerne . De blev det matematiske grundlag for den særlige relativitetsteori .

Udbredelsen af elektromagnetiske bølger med lysets hastighed blev oprindeligt tolket som forstyrrelser af et eller andet medium, den såkaldte æter [22] . Der er gjort adskillige forsøg (se historisk gennemgang ) på at detektere Jordens bevægelse i forhold til æteren, men de gav uvægerligt et negativt resultat. [~ 1] Derfor opstillede Henri Poincaré en hypotese om den grundlæggende umulighed i at detektere en sådan bevægelse ( relativitetsprincippet ). Han ejer også postulatet om lysets hastigheds uafhængighed af dens kildes hastighed og konklusionen (sammen med Lorentz), baseret på relativitetsprincippet formuleret på denne måde, den nøjagtige form for Lorentz-transformationerne (gruppeegenskaberne ) af disse transformationer blev også vist). Disse to hypoteser (postulater) dannede grundlaget for Albert Einsteins artikel ( 1905 ) [17] . Med deres hjælp udledte han også Lorentz-transformationerne og godkendte deres generelle fysiske betydning, idet han især understregede muligheden for deres anvendelse til overgangen fra enhver inerti-referenceramme til enhver anden inerti. Dette arbejde markerede faktisk konstruktionen af den særlige relativitetsteori. I SRT afspejler Lorentz-transformationerne de generelle egenskaber ved rum og tid, og ætermodellen viser sig at være unødvendig. Elektromagnetiske felter er uafhængige objekter, der eksisterer på linje med materialepartikler.

Klassisk elektrodynamik baseret på Maxwells ligninger ligger til grund for adskillige anvendelser inden for elektro- og radioteknik, mikrobølger og optik. Indtil videre er der ikke fundet nogen effekt, der ville kræve en modifikation af ligningerne. De viser sig også at være anvendelige i kvantemekanikken, når bevægelsen af for eksempel ladede partikler i eksterne elektromagnetiske felter tages i betragtning. Derfor er Maxwells ligninger grundlaget for den mikroskopiske beskrivelse af stoffets elektromagnetiske egenskaber.

Maxwells ligninger er også efterspurgte inden for astrofysik og kosmologi, da mange planeter og stjerner har et magnetfelt. Det magnetiske felt bestemmer især egenskaberne for objekter som pulsarer og kvasarer .

På det nuværende niveau af forståelse er alle fundamentale partikler kvanteexcitationer ("kvanter") af forskellige felter. For eksempel er en foton en kvante af et elektromagnetisk felt, og en elektron er en kvante af et spinorfelt [23] . Derfor er felttilgangen foreslået af Faraday og væsentligt udviklet af Maxwell grundlaget for moderne fundamental partikelfysik, herunder dens standardmodel .

Historisk set, lidt tidligere, spillede han en vigtig rolle i fremkomsten af kvantemekanikken i formuleringen af Schrödinger og generelt opdagelsen af kvanteligninger, der beskriver partiklernes bevægelse, herunder relativistiske ( Klein-Gordon- ligningen , Dirac-ligningen ) , selvom analogien med Maxwells ligninger i begyndelsen snarere kun blev set i generel idé, mens det senere viste sig, at den kan forstås som mere specifik og detaljeret (som beskrevet ovenfor).

Også felttilgangen, der generelt går tilbage til Faraday og Maxwell, er blevet central for tyngdekraftsteorien (herunder generel relativitet ).

Optagelse af Maxwells ligninger og enheder

Skrivningen af de fleste ligninger i fysik afhænger ikke af valget af enhedssystem . Dette er dog ikke tilfældet i elektrodynamik. Afhængig af valget af enhedssystemet optræder forskellige koefficienter (konstanter) i Maxwells ligninger. International System of Units (SI) er standarden inden for teknik og undervisning, men stridigheder blandt fysikere om dets fordele og ulemper sammenlignet med det konkurrerende CGS -enhedssystem aftager ikke [24] ; her og overalt nedenfor betyder CGS et udelukkende symmetrisk Gaussisk CGS-system. Fordelen ved CGS-systemet i elektrodynamik er, at alle felter i det har samme dimension , og ligningerne er ifølge mange forskere skrevet på en enklere og mere naturlig måde [25] . Derfor bliver GHS fortsat brugt i videnskabelige publikationer om elektrodynamik og i undervisningen i teoretisk fysik, for eksempel i løbet af teoretisk fysik af Landau og Lifshitz . Men til praktiske anvendelser er de måleenheder, der er indført i GHS, hvoraf mange er unavngivne og tvetydige, ofte ubelejlige. SI-systemet er standardiseret og bedre selvkonsistent; al moderne metrologi er bygget på dette system [26] . Derudover er SI-systemet almindeligt anvendt i almindelige fysikkurser. I denne henseende er alle relationer, hvis de er skrevet forskelligt i SI- og CGS-systemerne, yderligere givet i to versioner.

Nogle gange (for eksempel i nogle afsnit af Feynman Lectures on Physics , såvel som i moderne kvantefeltteori), bruges et system af enheder, hvor lysets hastighed, de elektriske og magnetiske konstanter tages som en enhed: . I et sådant system er Maxwells ligninger skrevet uden koefficienter overhovedet, alle felter har en enkelt dimension, og alle potentialer har deres egen. Et sådant system er især praktisk i den kovariante firedimensionelle formulering af elektrodynamikkens love med hensyn til 4-potentialet og 4-tensoren af det elektromagnetiske felt . $c=\varepsilon _{0}=\mu _{0}=1$

Maxwells ligninger i differentialform

Maxwells ligninger er et system af fire ligninger i vektornotation, som reducerer i komponentrepræsentation til otte (to vektorligninger indeholder tre komponenter hver plus to skalære [~ 2] ) lineære partielle differentialligninger af første orden for 12 komponenter af fire vektorer og pseudovektorfunktioner ( ): $\mathbf {D} ,\;\mathbf {E} ,\;\mathbf {H} ,\;\mathbf {B}$

Navn	GHS [~3]	SI	Tilnærmet verbalt udtryk
Gauss lov	$\nabla \cdot \mathbf {D} =4\pi \rho$	$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho$	Elektrisk ladning er kilden til elektrisk induktion.
Gauss lov for et magnetfelt	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	Ingen magnetiske ladninger blev fundet. [~4]
Faradays lov om induktion	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}\,{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))$	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))$	Ændringen i magnetisk induktion genererer et elektrisk hvirvelfelt. [~4]
Magnetfeltcirkulationssætning	$\nabla \times \mathbf {H} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {D} } {\partial t))$	$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {j} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t))$	Elektrisk strøm og ændring i elektrisk induktion genererer et hvirvelmagnetfelt

I det følgende angiver fed skrift vektor- og pseudovektormængder , kursiv angiver skalære mængder .

Indførte betegnelser:

$\rho\$ - volumetrisk tæthed af en tredjeparts elektrisk ladning (i SI- enheder - C / m³ );
$\mathbf {j}$ - elektrisk strømtæthed (ledningsstrømtæthed) (i SI-enheder - A / m²); i det enkleste tilfælde, i tilfælde af en strøm genereret af en type ladningsbærere , udtrykkes det simpelthen som ] ; i det generelle tilfælde skal dette udtryk beregnes som gennemsnit over forskellige typer medier; $\mathbf {j} =\mathbf {u} \rho _{1}$ $\mathbf {u}$ $\rho_{1}$ $\rho$
$c$ - lysets hastighed i vakuum (299 792 458 m / s );
$\mathbf {E}$ - elektrisk feltstyrke (i SI-enheder - V / m);
$\mathbf {H}$ — magnetisk feltstyrke (i SI-enheder — A/m);
$\mathbf {D}$ - elektrisk induktion (i SI-enheder - C / m²);
$\mathbf {B}$ - magnetisk induktion (i SI-enheder - Tl \ u003d Wb / m² \ u003d kg • s −2 • A −1 );
$\nabla$ er nabla differentialoperatoren , mens: $\nabla \times \mathbf {E} \equiv \mathrm {rot} \,\mathbf {E}$ betyder vektorens rotor , $\mathbf {E}$ $\nabla \cdot \mathbf {E} \equiv \mathrm {div} \,\mathbf {E}$ betyder vektorens divergens . $\mathbf {E}$

Maxwells ovenstående ligninger udgør endnu ikke et komplet system af elektromagnetiske feltligninger , da de ikke indeholder egenskaberne for det medium, hvori det elektromagnetiske felt exciteres . Relationerne der forbinder størrelserne , , og og under hensyntagen til mediets individuelle egenskaber kaldes konstitutive ligninger . $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$ $\mathbf {D}$ $\mathbf {H}$ $\mathbf {j}$

Maxwells ligninger i integralform

Ved at bruge Ostrogradsky-Gauss-formlen og Stokes-sætningen kan Maxwells differentialligninger gives i form af integralligninger :

Navn	GHS	SI	Tilnærmet verbalt udtryk
Gauss lov	$\oint \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {D} \cdot d\mathbf {s} =4\pi Q$	$\oint \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {D} \cdot d\mathbf {s} =Q$	Strømmen af elektrisk induktion gennem en lukket overflade er proportional med mængden af fri ladning i volumenet afgrænset af denne overflade.
Gauss lov for et magnetfelt	$\oint \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s} =0$	$\oint \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s} =0$	Fluxen af magnetisk induktion gennem en lukket overflade er nul (magnetiske ladninger er ikke blevet detekteret [~ 4] ).
Faradays lov om induktion	$\oint \limits _{\mathbf {l} }\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =$ $-{\frac {1}{c}}{\frac {d}{dt}}\int \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s}$	$\oint \limits _{\mathbf {l} }\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =$ $-{\frac {d}{dt}}\int \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s}$	Ændringen i fluxen af magnetisk induktion , der passerer gennem en åben overflade , taget med det modsatte fortegn, er proportional med cirkulationen af det elektriske felt på en lukket kontur , som er grænsen for overfladen [~ 4] . $s$ $l$ $s$
Magnetfeltcirkulationssætning	$\oint \limits _{\mathbf {l} }\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =$ ${\frac {4\pi }{c}}I+{\frac {1}{c}}{\frac {d}{dt}}\int \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {D} \cdot d\mathbf {s}$	$\oint \limits _{\mathbf {l} }\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =$ $I+{\frac {d}{dt}}\int \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {D} \cdot d\mathbf {s}$	Den samlede elektriske strøm af frie ladninger og ændringen i strømmen af elektrisk induktion gennem en åben overflade er proportional med magnetfeltets cirkulation på en lukket kontur , som er overfladens grænse . $s$ $l$ $s$

Indførte betegnelser:

$s\$ - en todimensionel lukket overflade i tilfælde af Gauss-sætningen, der begrænser volumen , og en åben overflade i tilfælde af Faraday- og Ampere-Maxwell-lovene (dens grænse er en lukket kontur ). $v\$ $l\$
$Q=\int \limits _{v}\rho \,dv\$ - elektrisk ladning indesluttet i et volumen afgrænset af overfladen (i SI-enheder - C ); $v\$ $s\$
$I=\int \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {j} \cdot d\mathbf {s} \$ - elektrisk strøm , der går gennem overfladen (i SI-enheder - A ). $s\$

Ved integration over en lukket overflade er vektoren af arealelementet rettet udad fra volumenet. Orienteringen ved integration over en åben flade bestemmes af retningen af den højre skrue , som "skruer ind" ved drejning i retning af at omgå konturintegralet over . $d\mathbf {s}$ $d\mathbf {s}$ $d\mathbf {l}$

Den verbale beskrivelse af Maxwells love, for eksempel Faradays lov, bærer præg af tradition, da først, med en kontrolleret ændring i den magnetiske flux, blev udseendet af et elektrisk felt (mere præcist , en elektromotorisk kraft ) registreret. I det generelle tilfælde er vektorfunktioner i Maxwells ligninger (både i differential- og integralform) lige store ukendte størrelser bestemt som et resultat af at løse ligninger. $\mathbf {E} ,\mathbf {B} ,\mathbf {D} ,\mathbf {H}$

Lorentz kraft

Når man løser Maxwells ligninger, betragtes fordelingen af ladninger og strømme ofte som givne. Under hensyntagen til randbetingelserne og materialeligningerne giver dette os mulighed for at bestemme den elektriske feltstyrke og magnetiske induktion , som igen bestemmer kraften, der virker på testladningen, der bevæger sig med en hastighed . Denne kraft kaldes Lorentz-kraften : $\rho$ $\mathbf {j}$ $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$ $q$ $\mathbf {u}$

GHS	SI
$\mathbf {F} =q\,\mathbf {E} +{\frac {q}{c}}\,[\mathbf {u} \times \mathbf {B} ]$	$\mathbf {F} =q\,\mathbf {E} +q\,[\mathbf {u} \times \mathbf {B} ]$

Den elektriske komponent af kraften er rettet parallelt med det elektriske felt, og den magnetiske komponent er vinkelret på ladningshastigheden og magnetisk induktion. Det første udtryk for kraften, der virker på en ladning i et magnetfelt (den elektriske komponent var kendt) blev opnået i 1889 af Heaviside [27] [28] tre år før Hendrik Lorentz , som udledte et udtryk for denne kraft i 1892 .

I mere komplekse situationer i klassisk og kvantefysik , i det tilfælde, hvor frie ladninger under påvirkning af elektromagnetiske felter bevæger sig og ændrer felternes værdier, er det nødvendigt at løse et selvkonsistent system af Maxwells ligninger og bevægelsesligninger , herunder Lorentz styrker. At opnå en nøjagtig analytisk løsning af et sådant komplet system er normalt forbundet med store vanskeligheder. Et vigtigt eksempel på et sådant ligningssystem for et selvkonsistent felt er Vlasov-Maxwell-ligningerne , der beskriver plasmadynamik .

Dimensionskonstanter i Maxwells ligninger

I det Gaussiske system af CGS-enheder har alle felter den samme dimension, og den eneste fundamentale konstant optræder i Maxwells ligninger , som har dimensionen hastighed, som nu kaldes lysets hastighed (det var ligheden af denne konstant af lysets udbredelseshastighed, der gav Maxwell grundlag for hypotesen om lysets elektromagnetiske natur [29] ). $c$

I SI-systemet af enheder indføres en elektrisk konstant ( ) for at relatere elektrisk induktion og elektrisk feltstyrke i vakuum . Den magnetiske konstant er den samme proportionalitetsfaktor for et magnetfelt i vakuum ( ). Navnene elektrisk konstant og magnetisk konstant er nu standardiseret. Tidligere, for disse mængder, blev navnene henholdsvis elektrisk (dielektrisk) og magnetisk permeabilitet af vakuum også brugt [30] [31] . $\varepsilon_{0}$ $\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E}$ $\mu_{0}$ $\mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {H}$

Hastigheden af elektromagnetisk stråling i vakuum ( lysets hastighed ) i SI vises i udledningen af bølgeligningen :

c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0))))

I SI-enhedssystemet bestemmes lysets hastighed i vakuum som en nøjagtig dimensionskonstant , og den magnetiske konstant efter ændringen i 2018-2019 er en eksperimentelt bestemt størrelse. Gennem dem udtrykkes den elektriske konstant . $c$ $\mu_{0}$ $\varepsilon_{0}$

Værdierne [32] af lysets hastighed , elektriske og magnetiske konstanter er angivet i tabellen:

Symbol	Navn	Numerisk værdi	SI enheder
$c$	Lyshastighed konstant	$299\;792\;458$ (Nemlig)	m / s
$\mu_{0}$	Magnetisk konstant	$1{,}256\;637\times 10^{-6}$	H /m
$\varepsilon _{0}=1/(\mu _{0}c^{2})$	Elektrisk konstant	$8{,}854\;188\ gange 10^{-12}$	f /m

Nogle gange introduceres en mængde kaldet " vakuumbølgeimpedans" eller vakuum " impedans" :

Z_{0}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}=\mu _{0}c\approx 120\pi

Ohm .

i GHS -systemet . Denne værdi har betydningen af forholdet mellem amplituderne af styrkerne af de elektriske og magnetiske felter af en plan elektromagnetisk bølge i vakuum . Det er dog umuligt at tilskrive den fysiske betydning af bølgemodstanden til denne størrelse, da dens dimension i det samme CGS-system ikke falder sammen med dimensionen af modstanden [33] . $Z_{0}=1$

Maxwells ligninger i mediet

For at opnå et komplet system af elektrodynamiske ligninger er det nødvendigt at tilføje konstitutive ligninger til systemet af Maxwells ligninger, der relaterer de mængder , , , , , hvori mediets individuelle egenskaber tages i betragtning. Måden at opnå materialeligninger er givet af molekylære teorier om polarisering , magnetisering og elektrisk ledningsevne af mediet, ved hjælp af idealiserede modeller af mediet. Ved at anvende den klassiske eller kvantemekaniske ligning på dem såvel som den statistiske fysiks metoder , er det muligt at etablere en forbindelse mellem vektorerne på den ene side og på den anden side. $\mathbf {j}$ $\mathbf {H}$ $\mathbf {D}$ $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$ $\mathbf {j}$ $\mathbf {H}$ $\mathbf {D}$ $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$

Relaterede ladninger og strømme

Når et elektrisk felt påføres et dielektrisk materiale, bliver hvert af dets molekyler til en mikroskopisk dipol . I dette tilfælde er de positive kerner af atomer lidt forskudt i retning af feltet, og elektronskallerne i den modsatte retning. Derudover har nogle stoffers molekyler i begyndelsen et dipolmoment. Dipolmolekyler har en tendens til at orientere sig i feltets retning. Denne effekt kaldes dielektrisk polarisering . En sådan forskydning af de bundne ladninger af molekyler i volumenet svarer til udseendet af en vis fordeling af ladninger på overfladen, selvom alle de molekyler, der er involveret i polariseringsprocessen, forbliver neutrale (se figur).

Tilsvarende forekommer magnetisk polarisering ( magnetisering ) i materialer, hvori deres konstituerende atomer og molekyler har magnetiske momenter , der er relateret til kernernes og elektronernes spin- og orbitale moment . Atomernes vinkelmoment kan repræsenteres som cirkulære strømme. Ved materialets grænse svarer helheden af sådanne mikroskopiske strømme til makroskopiske strømme, der cirkulerer langs overfladen, på trods af at bevægelsen af ladninger i individuelle magnetiske dipoler kun forekommer i mikroskala (bundne strømme).

De overvejede modeller viser, at selvom et eksternt elektromagnetisk felt virker på individuelle atomer og molekyler, kan dets adfærd i mange tilfælde betragtes på en forenklet måde på en makroskopisk skala, idet man ignorerer detaljerne i det mikroskopiske billede.

I mediet forårsager eksterne elektriske og magnetiske felter polarisering og magnetisering af stoffet, som er makroskopisk beskrevet af henholdsvis polarisationsvektoren og stoffets magnetiseringsvektor og er forårsaget af fremkomsten af bundne ladninger og strømme . Som et resultat viser feltet i mediet sig at være summen af eksterne felter og felter forårsaget af bundne ladninger og strømme. $\mathbf {P}$ $\mathbf {M}$ $\rho _{b}\$ $\mathbf {j} _{b}$

GHS	SI
$\rho _{b}=-\nabla \cdot \mathbf {P}$ $\mathbf {j} _{b}=c\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t))$	$\rho _{b}=-\nabla \cdot \mathbf {P}$ $\mathbf {j} _{b}=\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t))$

Polariseringen og magnetiseringen af et stof er relateret til vektorerne for intensitet og induktion af de elektriske og magnetiske felter ved følgende forhold: $\mathbf {P}$ $\mathbf {M}$

GHS	SI
$\mathbf {D} =\mathbf {E} +4\pi \mathbf {P}$ $\mathbf {B} =\mathbf {H} +4\pi \mathbf {M}$	$\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P}$ $\mathbf {B} =\mu _{0}(\mathbf {H} +\mathbf {M} )$

Derfor, ved at udtrykke vektorerne og gennem , , og , kan vi opnå et matematisk ækvivalent system af Maxwells ligninger: $\mathbf {D}$ $\mathbf {H}$ $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$ $\rho _{b}\$ $\mathbf {j} _{b}$

GHS	SI
$\nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi [\rho _{f}+\rho _{b}]$	$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}[\rho _{f}+\rho _{b}]$
$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$
$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}\,{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))$	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))$
$\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {4\pi }{c}}[\mathbf {j} _{b}+\mathbf {j} _{f}]+{\frac {1} {c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$	$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}[\mathbf {j} _{b}+\mathbf {j} _{f}]+{\frac {1}{c^{2} )){\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t))$

Indekset her betegner frie afgifter og strømme. Maxwells ligninger i denne form er fundamentale i den forstand, at de ikke afhænger af modellen for den elektromagnetiske anordning af stof. Adskillelsen af ladninger og strømme i fri og bundet giver dig mulighed for at "gemme" sig i , , og derefter i og derfor i den komplekse mikroskopiske natur af det elektromagnetiske felt i mediet. $f\$ $\rho _{b}\$ $\mathbf {j} _{b}$ $\mathbf {P} ,\mathbf {M}$ $\mathbf {D} ,\mathbf {H}$

Materiale ligninger

Materialeligninger etablerer en sammenhæng mellem og . I dette tilfælde tages der hensyn til miljøets individuelle egenskaber. I praksis bruger konstitutive ligninger sædvanligvis eksperimentelt bestemte koefficienter (som generelt afhænger af frekvensen af det elektromagnetiske felt), som er samlet i forskellige opslagsbøger over fysiske størrelser [34] . $\mathbf {D} ,\mathbf {H}$ $\mathbf {E} ,\mathbf {B}$

I svage elektromagnetiske felter , som ændrer sig relativt langsomt i rum og tid , i tilfælde af isotrope , ikke- ferromagnetiske og ikke- ferroelektriske medier, er en tilnærmelse gyldig, hvor polariserbarheden og magnetiseringen afhænger lineært af de påførte felter:

GHS	SI
$\mathbf {P} =\chi _{e}\mathbf {E}$ $\mathbf {M} =\chi _{m}\mathbf {H}$	$\mathbf {P} =\varepsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E}$ $\mathbf {M} =\chi _{m}\mathbf {H} ,$

hvor dimensionsløse konstanter er indført: er den dielektriske følsomhed og er stoffets magnetiske følsomhed (i SI -enhedssystemet er disse konstanter flere gange større end i det Gaussiske CGS -system ). Følgelig er de konstitutive ligninger for elektriske og magnetiske induktioner skrevet i følgende form: $\chi _{e}\$ $\chi _{m}\$ $4\pi\$

GHS	SI
$\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} =(1+4\pi \chi _{e})\mathbf {E}$ $\mathbf {B} =\mu \mathbf {H} =(1+4\pi \chi _{m})\mathbf {H}$	$\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\varepsilon \mathbf {E} =\varepsilon _{0}(1+\chi _{e})\mathbf {E}$ $\mathbf {B} =\mu _{0}\mu \mathbf {H} =\mu _{0}(1+\chi _{m})\mathbf {H} ,$

hvor er den relative permittivitet , er den relative magnetiske permeabilitet . Dimensionsstørrelser (i SI-enheder - F / m ) og (i SI-enheder - H / m ), der opstår i SI -systemet , kaldes henholdsvis absolut permittivitet og absolut magnetisk permeabilitet . $\varepsilon\$ $\mu\$ $\varepsilon _{0}\varepsilon$ $\mu _{0}\mu$

I ledere er der en sammenhæng mellem strømtæthed og elektrisk feltstyrke, i en god tilnærmelse udtrykt ved Ohms lov :

\mathbf {j} =\sigma \mathbf {E} ,

hvor er mediets specifikke ledningsevne (i SI-enheder — Ohm −1 • m −1 ). $\sigma$

I et anisotropisk medium , og er tensorer , og . I hovedaksernes koordinatsystem kan de beskrives med diagonale matricer . I dette tilfælde har forholdet mellem feltstyrker og induktioner forskellige koefficienter for hver koordinat. For eksempel i SI -systemet : $\varepsilon$ $\mu$ $\sigma$ ${\hat {\varepsilon ))$ ${\hat {\mu ))$ ${\hat {\sigma ))$

{\begin{array}{lll}D_{x}=\varepsilon _{0}\varepsilon _{xx}\,E_{x},~~~~~&D_{y}=\varepsilon _{0}\ varepsilon _{yy}\,E_{y},~~~~~&D_{z}=\varepsilon _{0}\varepsilon _{zz}\,E_{z},\\[3mm]B_{x} =\mu _{0}\mu _{xx}\,H_{x},~~~~~&B_{y}=\mu _{0}\mu _{yy}\,H_{y},~ ~~~~&B_{z}=\mu _{0}\mu _{zz}\,H_{z}.\end{array}}

Selvom den lineære tilnærmelse for svage felter for en bred klasse af stoffer gælder med god nøjagtighed, kan forholdet mellem og generelt være ikke-lineært . I dette tilfælde er mediets permeabiliteter ikke konstanter, men afhænger af størrelsen af feltet på et givet punkt. Derudover observeres et mere komplekst forhold mellem og i miljøer med rumlige eller tidsmæssige dispersioner . I tilfælde af rumlig spredning afhænger strømmene og ladningerne på et givet punkt i rummet af størrelsen af feltet ikke kun på det samme punkt, men også på nabopunkter. I tilfælde af tidsspredning bestemmes mediets polarisering og magnetisering ikke kun af størrelsen af feltet på et givet tidspunkt, men afhænger også af størrelsen af felterne på tidligere tidspunkter. I det mest generelle tilfælde af ikke-lineære og inhomogene medier med spredning har de konstitutive ligninger i SI-systemet integralformen: $\mathbf {D} ,\mathbf {H}$ $\mathbf {E} ,\mathbf {B}$ $\mathbf {D} ,\mathbf {H}$ $\mathbf {E} ,\mathbf {B}$

\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)=\varepsilon _{0}\int \limits _{v}\!\int \limits _{-\infty }^{t}{\ hat {\chi }}_{e}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',tt',\mathbf {E} ,\mathbf {H} )\,\mathbf {E} (\mathbf { r} ',t')\,dt'd^{3}\mathbf {r} ';

\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t)=\int \limits _{v}\!\int \limits _{-\infty }^{t}{\hat {\chi )) _{m}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',tt',\mathbf {E} ,\mathbf {H} )\,\mathbf {H} (\mathbf {r} ',t' )\,dt'd^{3}\mathbf {r} '.

Lignende ligninger opnås i det Gaussiske CGS-system (hvis vi formelt sætter ). $\varepsilon_{0}=1$

Ligninger i isotrope og homogene medier uden dispersion

I isotrope og homogene medier uden dispersion tager Maxwells ligninger følgende form:

GHS	SI
$\nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi \,{\frac {\rho }{\varepsilon ))$ $\nabla \cdot \mathbf {B} =0$ $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$ $\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {4\pi }{c}}\,\mu \,\mathbf {j} +{\frac {\varepsilon \mu }{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t))$	$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon \varepsilon _{0}}}$ $\nabla \cdot \mathbf {B} =0$ $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))$ $\nabla \times \mathbf {B} ={\mu \mu _{0}}\mathbf {j} +{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2}}}{\frac {\partial \ mathbf {E} }{\partial t))$

I det optiske frekvensområde, i stedet for permittiviteten , bruges brydningsindekset , der viser forskellen mellem udbredelseshastigheden af en monokromatisk lysbølge i et medium og lysets hastighed i vakuum. I dette tilfælde, i det optiske område, er permittiviteten normalt mærkbart lavere end ved lave frekvenser, og den magnetiske permeabilitet af de fleste optiske medier er praktisk talt lig med enhed. Brydningsindekset for de fleste transparente materialer varierer fra 1 til 2, når 5 for nogle halvledere [35] . I vakuum er både permittivitet og permeabilitet lig med enhed: . $\varepsilon$ $n={\sqrt {\varepsilon \mu ))$ $\varepsilon=\mu=1$

Da Maxwells ligninger i et lineært medium er lineære med hensyn til felter og frie ladninger og strømme , gælder superpositionsprincippet : $(\mathbf {E} ,\mathbf {B} )$ $(\rho ,\mathbf {j} )$

Hvis fordelingerne af ladninger og strømme skaber et elektromagnetisk felt med komponenter , og andre fordelinger skaber henholdsvis feltet , så vil det samlede felt skabt af kilderne være lig med . $(\rho _{1},\mathbf {j} _{1})$ $(\mathbf {E} _{1},\mathbf {B} _{1})$ $(\rho _{2},\mathbf {j} _{2})$ $(\mathbf {E} _{2},\mathbf {B} _{2})$ $(\rho _{1}+\rho _{2},\mathbf {j} _{1}+\mathbf {j} _{2})$ $(\mathbf {E} _{1}+\mathbf {E} _{2},\mathbf {B} _{1}+\mathbf {B} _{2})$

Når elektromagnetiske felter forplanter sig i et lineært medium i fravær af ladninger og strømme, vil summen af eventuelle bestemte løsninger af ligningerne også tilfredsstille Maxwells ligninger.

Grænsebetingelser

I mange tilfælde kan et inhomogent medium repræsenteres som en samling af stykkevis kontinuerlige homogene områder adskilt af uendeligt tynde grænser. I dette tilfælde er det muligt at løse Maxwells ligninger i hver region, ved at "forene" de resulterende løsninger ved grænserne. Især når man overvejer en løsning i et endeligt volumen, er det nødvendigt at tage hensyn til forholdene på volumenets grænser med det omgivende uendelige rum. Grænsebetingelser opnås fra Maxwells ligninger ved at gå til grænsen. For at gøre dette er den nemmeste måde at bruge Maxwells ligninger i integral form.

Ved at vælge integrationskonturen i det andet ligningspar i form af en rektangulær ramme med uendelig lille højde, der krydser grænsefladen mellem to medier, kan vi opnå følgende forhold mellem feltkomponenterne i to områder, der støder op til grænsen [36] :

GHS	SI
$(\mathbf {E} _{1}-\mathbf {E} _{2})\ gange \mathbf {n} _{1-2}=\mathbf {0}$ , $(\mathbf {H} _{1}-\mathbf {H} _{2})\ gange \mathbf {n} _{1-2}={\frac {4\pi }{c}}\mathbf { j} _{s}$ ,	$(\mathbf {E} _{1}-\mathbf {E} _{2})\ gange \mathbf {n} _{1-2}=\mathbf {0}$ , $(\mathbf {H} _{1}-\mathbf {H} _{2})\ gange \mathbf {n} _{1-2}=\mathbf {j} _{s}$ ,

hvor er enhedsoverfladenormalvektoren rettet fra medium 1 til medium 2 og har dimensionen invers af ;længden Den første grænsebetingelse kan fortolkes som kontinuitet ved grænsen af områderne for de tangentielle komponenter af de elektriske feltstyrker (det følger af den anden, at de tangentielle komponenter af den magnetiske feltstyrke kun er kontinuerlige i fravær af overfladestrømme ved grænse). $\mathbf {n} _{1-2}$ $\mathbf {j} _{s}$

På samme måde kan man ved at vælge integrationsdomænet i det første par af integralligninger i form af en cylinder med uendelig lille højde krydser grænsefladen, så dens generatorer er vinkelret på grænsefladen, opnå:

GHS	SI
$(\mathbf {D} _{1}-\mathbf {D} _{2})\cdot \mathbf {n} _{1-2}=-4\pi \rho _{s}$ , $(\mathbf {B} _{1}-\mathbf {B} _{2})\cdot \mathbf {n} _{1-2}=0$ ,	$(\mathbf {D} _{1}-\mathbf {D} _{2})\cdot \mathbf {n} _{1-2}=-\rho _{s}$ , $(\mathbf {B} _{1}-\mathbf {B} _{2})\cdot \mathbf {n} _{1-2}=0$ ,

hvor er overfladetætheden af frie ladninger (det vil sige, den inkluderer ikke bundne ladninger, der opstår ved mediets grænse på grund af den dielektriske polarisering af selve mediet). $\rho _{s}\$

Disse grænsebetingelser viser kontinuiteten af normalkomponenten af den magnetiske induktionsvektor (den normale komponent af den elektriske induktion er kun kontinuert, hvis der ikke er nogen overfladeladninger på grænsen).

Fra kontinuitetsligningen kan man få grænsebetingelsen for strømme:

(\mathbf {j} _{1}-\mathbf {j} _{2})\cdot \mathbf {n} _{1-2}={\frac {\partial }{\partial t))\rho _{s}

Et vigtigt specialtilfælde er grænsefladen mellem en dielektrisk og en ideel leder . Da en ideel leder har uendelig ledningsevne, er det elektriske felt inde i den nul (ellers ville det generere en uendelig strømtæthed). Så, i det generelle tilfælde af variable felter, følger det af Maxwells ligninger, at magnetfeltet i lederen er nul. Som et resultat er den tangentielle komponent af de elektriske og normale magnetiske felter ved grænsen med en ideel leder lig med nul:

GHS	SI
$\mathbf {E} _{1}\time \mathbf {n} _{1-2}=\mathbf {0}$ , $\mathbf {H} _{1}\times \mathbf {n} _{1-2}={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} _{s}$ , $\mathbf {D} _{1}\cdot \mathbf {n} _{1-2}=-4\pi \rho _{s}$ , $\mathbf {B} _{1}\cdot \mathbf {n} _{1-2}=0$ ,	$\mathbf {E} _{1}\time \mathbf {n} _{1-2}=\mathbf {0}$ , $\mathbf {H} _{1}\time \mathbf {n} _{1-2}=\mathbf {j} _{s}$ , $\mathbf {D} _{1}\cdot \mathbf {n} _{1-2}=-\rho _{s}$ , $\mathbf {B} _{1}\cdot \mathbf {n} _{1-2}=0$ ,

Fredningslove

Maxwells ligninger indeholder lovene om bevarelse af ladning og energi i det elektromagnetiske felt.

Kontinuitetsligning

Feltkilder ( ) kan ikke indstilles vilkårligt. Ved at anvende divergensoperationen på den fjerde ligning (Ampere-Maxwells lov) og bruge den første ligning (Gauss' lov), kan vi få kontinuitetsligningen for ladninger og strømme: $\rho ,~\mathbf {j}$

\nabla \cdot \mathbf {j} +{\frac {\partial \rho }{\partial t))=0.

Udledning af kontinuitetsligningen

Divergensen fra rotoren er nul, så for den fjerde Maxwell-ligning (Ampère–Maxwell Law) i SI -systemet har vi:

$0=\nabla \cdot [\nabla \times \mathbf {H} ]=\nabla \cdot \mathbf {j} +{\frac {\partial \nabla \cdot \mathbf {D} }{\partial t)) =\nabla \cdot \mathbf {j} +{\frac {\partial \rho }{\partial t)),$

hvor den første ligning er substitueret i den sidste ligning (Gauss' lov).

Denne ligning, ved hjælp af Ostrogradsky-Gauss integralsætning, kan skrives på følgende form:

\oint \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {j} \cdot d\mathbf {s} =-{\frac {d}{dt))\int \limits _{v}\rho \,dv.

På venstre side af ligningen er den samlede strøm, der flyder gennem en lukket overflade . På højre side - ændringen med tiden af opladningen inde i volumen . En ændring i ladningen inde i volumenet er således kun mulig med dens indstrømning eller udstrømning gennem overfladen , der begrænser volumenet. $s\$ $v\$ $s\$

Kontinuitetsligningen, som svarer til loven om bevarelse af ladning, går langt ud over grænserne for klassisk elektrodynamik og forbliver også gyldig i kvanteteorien. Derfor kan denne ligning i sig selv tages som grundlag for den elektromagnetiske teori. Så skal for eksempel forskydningsstrømmen (tidsafledt af det elektriske felt) nødvendigvis være til stede i Ampères lov.

Fra Maxwells ligninger for rotorerne og kontinuitetsligningen op til vilkårlige tidsuafhængige funktioner følger Gauss lovene for elektriske og magnetiske felter.

Loven om bevarelse af energi

Hvis vi multiplicerer den tredje Maxwell-ligning i differentialform (Faradays lov) skalarisk med , og den fjerde (Ampere-Maxwells lov) med og adderer resultaterne, kan vi få Poyntings sætning : $\mathbf {H}$ $-\mathbf {E}$

\nabla \cdot \mathbf {S} +{\frac {\partial }{\partial t))\left(w_{E}+w_{H}\right)=-\mathbf {E} \mathbf {j} ,

hvor

GHS	SI
$\mathbf {S} ={\frac {c}{4\pi }}\mathbf {E} \times \mathbf {H}$ $w_{E}={\frac {1}{8\pi }}\,\mathbf {E} \cdot \mathbf {D}$ $w_{H}={\frac {1}{8\pi }}\,\mathbf {H} \cdot \mathbf {B}$	$\mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H}$ $w_{E}={\frac {1}{2}}\,\mathbf {E} \cdot \mathbf {D}$ $w_{H}={\frac {1}{2}}\,\mathbf {H} \cdot \mathbf {B}$

Afledning af Poyntings sætning

Ved at bruge den tredje og fjerde Maxwell-ligning i differentialform i SI -systemet kan du få:

\mathbf {E} \cdot [\nabla \times \mathbf {H} ]=\mathbf {E} \mathbf {j} +\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{ \partial t)),~~~~~~~~~~~~~~\mathbf {H} \cdot [\nabla \times \mathbf {E} ]=-\mathbf {H} \cdot {\frac { \partial \mathbf {B} }{\partial t}}.

Forskellen på de venstre side af ligningerne foldes i henhold til følgende vektoranalyseformel (afledt af produktet):

$\nabla \cdot [\mathbf {E} \times \mathbf {H} ]=\mathbf {H} \cdot [\nabla \times \mathbf {E} ]-\mathbf {E} \cdot [\nabla \times \mathbf {H} ].$

I lineære, men muligvis ikke-isotrope medier, er der en lineær sammenhæng mellem intensiteter og induktioner. For eksempel for et elektrisk felt . Hvis er en symmetrisk matrix uafhængig af tid, så: $\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\,{\hat {\varepsilon }}\cdot \mathbf {E}$ ${\hat {\varepsilon ))$

$\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t))=\varepsilon _{0}\,\mathbf {E} \cdot {\hat {\varepsilon ))\ cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t))={\frac {\varepsilon _{0)){2))\,{\frac {\partial (\mathbf {E} \ cdot {\hat {\varepsilon }}\cdot \mathbf {E} )}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial (\mathbf {E} \cdot \ mathbf {D} )}{\partial t}}.$

Tilsvarende for magnetfeltet.

Vektoren kaldes Poynting-vektoren (elektromagnetisk energifluxtæthedsvektor) og bestemmer mængden af elektromagnetisk energi, der overføres gennem en enhedsareal pr. tidsenhed. Poynting-vektorens integral over sektionen af den udbredte bølge bestemmer dens kraft. Det er vigtigt at bemærke, at, som Heaviside påpegede for første gang , kun den irrotationelle del af Poynting-vektoren har den fysiske betydning af energistrømmen. Hvirveldelen, hvis divergens er lig med nul, er ikke forbundet med energioverførsel. Bemærk, at Heaviside afledte udtrykket for fredningsloven uafhængigt af Poynting . I russisksproget litteratur kaldes Poynting-vektoren ofte også " Umov - Poynting-vektoren ". $\mathbf {S}$

Mængderne og bestemmer de volumetriske energitætheder for henholdsvis det elektriske og det magnetiske felt. I fravær af strømme og tilhørende tab er Poyntings sætning en kontinuitetsligning for energien i et elektromagnetisk felt. I dette tilfælde kan vi, ved at integrere det over et lukket volumen og bruge Ostrogradsky-Gauss-sætningen , få energibevarelsesloven for det elektromagnetiske felt: $vi}\$ $W h}\$

\oint \limits _{s}\mathbf {S} \cdot d\mathbf {s} +{\frac {d}{dt))\int \limits _{v}(w_{E}+w_ {H})\,dv=0.

Denne ligning viser, at i fravær af interne tab sker ændringen i energien af det elektromagnetiske felt i volumenet kun på grund af kraften fra den elektromagnetiske stråling, der overføres gennem grænsen af dette volumen.

Poynting-vektoren er relateret til impulsen af det elektromagnetiske felt [37] :

\mathbf {p} ={\frac {1}{c^{2}}}\int \mathbf {S} \,dv,

hvor integration udføres over hele rummet. En elektromagnetisk bølge, der absorberes eller reflekteres fra en bestemt overflade, overfører en del af dens momentum til den, som manifesterer sig i form af lystryk . Denne effekt blev først observeret eksperimentelt af PN Lebedev i 1899 .

Potentialer

Skalar- og vektorpotentialer

Faradays lov og Gauss lov for magnetisk induktion opfyldes identisk, hvis de elektriske og magnetiske felter udtrykkes i form af skalar- og vektorpotentialer [ 38] : $\varphi$ $\mathbf {A}$

GHS	SI
$\mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {1}{c))\,{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))$ $\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$	$\mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))$ $\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$

Bevis

Da divergensen af magnetfeltinduktionen ifølge Gauss-loven er nul, så er der ifølge Helmholtz-sætningen sådan et vektorfelt, at krøllen af vektoren (i CGS -systemet ) eller vektoren (i SI -systemet ) opfylder betingelsen For eksempel får vi i SI -systemet : $\mathbf {B}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} .$ $\mathbf {E} '=\mathbf {E} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$ $\mathbf {E} '=\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))$ $\nabla \times \mathbf {E} '=0.$

\nabla \times \mathbf {E'} =\nabla \times \left(\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))\right)=\nabla \time \mathbf {E} +\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))=\nabla \times \mathbf {E} +{\frac {\partial }{\partial t ))\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))+{\frac {\partial \mathbf {B} } {\partial t))=0.

Ud fra betingelsen om, at rotoren er lig med nul, følger det ifølge Helmholtz-sætningen , at der er en skalarfunktion, således at $\varphi,$ $\mathbf {E} '=-\nabla \varphi .$

Den omvendte substitution fungerer på samme måde. Hvis de elektriske og magnetiske felter udtrykkes i form af skalar- og vektorpotentialer i henhold til ovenstående formler, er divergensen af magnetfeltinduktionen automatisk lig med nul: $\varphi$ $\mathbf {A}$

\nabla \cdot \mathbf {B} =\nabla \cdot [\nabla \times \mathbf {A} ]=[\nabla \times \nabla ]\cdot \mathbf {A} =0.

For styrken af det elektriske felt vil Faradays lov automatisk blive opfyldt. For eksempel får vi i SI -systemet : $\mathbf {E}$

\nabla \times \mathbf {E} =\nabla \times \left(-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))\right)=-\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}).

For givne elektriske og magnetiske felter er skalar- og vektorpotentialerne defineret tvetydigt. Hvis er en vilkårlig funktion af koordinater og tid, vil følgende transformation ikke ændre værdien af felterne: $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$ $\psi\$

GHS	SI
$\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla \psi$ $\varphi \rightarrow \varphi -{\frac {1}{c}}\,{\frac {\partial \psi }{\partial t}}$	$\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla \psi$ $\varphi \rightarrow \varphi -{\frac {\partial \psi }{\partial t)).$

Sådanne transformationer spiller en vigtig rolle i kvanteelektrodynamik og ligger til grund for den lokale målesymmetri af den elektromagnetiske interaktion. Lokal gauge symmetri introducerer en afhængighed af koordinater og tid i den globale gauge symmetri fase, som ved Noethers teorem fører til loven om bevarelse af ladning .

Tvetydigheden i definitionen af potentialer viser sig at være praktisk til at pålægge dem yderligere betingelser, kaldet gauge . På grund af dette antager elektrodynamikkens ligninger en enklere form. Overvej for eksempel Maxwells ligninger i homogene og isotrope medier med dielektrisk ( ) og magnetisk ( ) permeabilitet. For data og det er altid muligt at vælge en funktion , således at Lorentz-målerbetingelsen [39] er opfyldt : $\varepsilon$ $\mu\$ $\varphi$ $\mathbf {A}$ $f$

GHS	SI
$\nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {\varepsilon \mu }{c))\,{\frac {\partial \varphi }{\partial t))=0$	$\nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}\,{\frac {\partial \varphi }{\partial t))=0.$

I dette tilfælde kan de resterende Maxwell-ligninger i homogene og isotrope medier skrives i følgende form:

GHS	SI
$\square \varphi =-4\pi \,{\frac {\rho }{\varepsilon ))$ $\square \mathbf {A} =-{\frac {4\pi }{c}}\,\mu \,\mathbf {j}$	$\square \varphi =-{\frac {\rho }{\varepsilon \varepsilon _{0}}}$ $\square \mathbf {A} =-\mu \mu _{0}\,\mathbf {j} ,$

hvor er d'Alembert-operatøren , som både i CGS -systemet og i SI -systemet har formen: $\firkant$

\square =\Delta -{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}.

Således kan 8 Maxwell-ligninger (førsteordensligninger) for komponenterne i det elektromagnetiske felt (2 vektor og 2 skalarer) reduceres til 4 ligninger, men allerede af anden orden (skalar for og vektor for ) ved hjælp af potentialer . Løsningerne af disse ligninger for en vilkårligt bevægende punktladning kaldes Lienard-Wiechert potentialerne [40] . $\varphi$ $\mathbf {A}$

Det er muligt at indføre andre kalibreringer. Så til at løse en række problemer viser Coulomb-måleren sig at være praktisk :

\nabla \cdot \mathbf {A} =0

I dette tilfælde:

GHS	SI
$\Delta \varphi =-4\pi \,{\frac {\rho }{\varepsilon }}$ $\square \mathbf {A} =-{\frac {4\pi }{c}}\,\mu \,\mathbf {j} _{\bot }$	$\Delta \varphi =-{\frac {\rho }{\varepsilon \varepsilon _{0))}$ $\square \mathbf {A} =-\mu \mu _{0}\,\mathbf {j} _{\bot },$

hvor er den magnetiske del af strømmen ( ). $\mathbf {j} _{\bot }$ $\nabla \mathbf {\cdot } {j}_{\bot }=0$

Den første ligning beskriver den øjeblikkelige (uden forsinkelse) virkning af Coulomb-kraften, da Coulomb-måleren ikke er invariant under Lorentz-transformationer. I dette tilfælde kan Coulomb-interaktionens energi adskilles fra andre interaktioner, hvilket letter kvantiseringen af feltet i den Hamiltonske formalisme [41] .

Vektorpotentialet spiller en vigtig rolle i elektrodynamik og kvantefeltteori, men for at studere udbredelsesprocesserne af elektromagnetiske bølger i fravær af strømme og ladninger, fører dets introduktion ofte ikke til en forenkling af systemet, men kommer ned på en simpel udskiftning af de elektriske og magnetiske feltvektorer med en anden lignende vektor beskrevet af de samme ligninger. Så for harmoniske felter vil vektorpotentialet simpelthen være proportionalt med det elektriske felt (i dette tilfælde kan skalarpotentialet sættes lig nul).

Hertz vektorer

I 1887 foreslog Heinrich Hertz i stedet for direkte at løse Maxwells ligninger for to vektorfunktioner af elektriske og magnetiske felter eller skalar- og vektorpotentialer at gå over til en ny enkelt vektorfunktion, som nu bærer navnet på Hertz' elektriske vektor og tillader i nogle tilfælde for at forenkle løsningen af elektrodynamiske problemer, reducere dem til løsningen af skalarbølgeligningen. ${\mathbf {\Pi } }^{e}$

GHS	SI
$\varphi =-\nabla \cdot \mathbf {\Pi } ^{e},$ $\mathbf {A} ={\frac {\varepsilon \mu }{c)){\frac {\partial \mathbf {\Pi} ^{e)){\partial t)),$	$\varphi =-\nabla \cdot \mathbf {\Pi } ^{e},$ $\mathbf {A} ={\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}{\frac {\partial \mathbf {\Pi } ^{e)){\partial t)),$
$\mathbf {E} ^{e}=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {\Pi } ^{e})-{\frac {\mu \varepsilon }{c^{2))}{\frac { \partial ^{2}\mathbf {\Pi } ^{e)){\partial t^{2))},$ $\mathbf {B} ^{e}={\frac {\mu \varepsilon }{c))\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {\Pi } ^{e)){\partial t)) .$	$\mathbf {E} ^{e}=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {\Pi } ^{e})-{\frac {\mu \varepsilon }{c^{2))}{\frac { \partial ^{2}\mathbf {\Pi } ^{e)){\partial t^{2))},$ $\mathbf {B} ^{e}={\frac {\mu \varepsilon }{c^{2))}\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {\Pi } ^{e)){\ delvis t}}.$

Bemærk, at skalar- og vektorpotentialerne udtrykt i form af den hertziske vektor automatisk opfylder Lorentz-målebetingelserne . Hertzian-vektoren tager højde for alle felter forbundet med frie ladninger og deres strømme. $\varphi$ $\mathbf {A}$

Ved at erstatte udtrykkene for felterne i form af den elektriske vektor i de sidste to Maxwell-ligninger, kan man opnå [42] [43] :

GHS	SI
$\Delta \mathbf {\Pi } ^{e}-{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi} ^{e ))}{\partial t^{2))}=-{\frac {4\pi }{\varepsilon ))\mathbf {P} _{f},$ $\Delta \mathbf {\Pi } ^{e}-{\frac {\mu }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{e)) }{\partial t^{2))}=-{\frac {4\pi }{\varepsilon }}\venstre[\mathbf {P} +\mathbf {P} _{f}\right].$	$\Delta \mathbf {\Pi } ^{e}-{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi} ^{e ))}{\partial t^{2))}=-{\frac {1}{\varepsilon \varepsilon _{0))}\mathbf {P} _{f},$ $\Delta \mathbf {\Pi } ^{e}-{\frac {\mu }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{e)) }{\partial t^{2))}=-{\frac {1}{\varepsilon \varepsilon _{0))}\venstre[\mathbf {P} +\mathbf {P} _{f}\right ].$

Her introduceres polarisationsvektoren for frie ladninger og strømme:

\mathbf {j} _{f}={\frac {\partial }{\partial t}}{\mathbf {P} }_{f},~~~~~~~~~~~~~~~~ \rho _{f}=-\nabla \cdot {\mathbf {P} }_{f},

(i dette tilfælde er kontinuitetsligningen for afgiften automatisk opfyldt).

Hertz elektriske vektor er således bestemt af bølgeligningerne, på højre side af hvilke er polariserbarheden på grund af frie eller frie og bundne ladninger, det vil sige elektriske dipolmomenter.

I 1901 blev den magnetiske vektor parret med den elektriske Hertz-vektor, som også traditionelt kaldes navnet på Hertz, introduceret af den italienske fysiker Augusto Righi [44] .

GHS	SI
$\varphi=0,$ $\mathbf {A} =\nabla \times \mathbf {\Pi } ^{m},$	$\varphi=0,$ $\mathbf {A} ={\frac {1}{c}}\nabla \times \mathbf {\Pi } ^{m},$
$\mathbf {D} ^{m}=-{\frac {\varepsilon \mu }{c))\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {\Pi} ^{m)){\partial t} },$ $\mathbf {H} ^{m}=\nabla \times [\nabla \times \mathbf {\Pi } ^{m}].$	$\mathbf {D} ^{m}=-{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {\Pi } ^{m)){ \partial-t}},$ $\mathbf {H} ^{m}=\nabla \times [\nabla \times \mathbf {\Pi } ^{m}].$

Da felterne beskrevet af den hertziske magnetiske vektor ikke er afhængige af frie ladninger og strømme, og der ikke er fundet magnetiske monopoler, tilfredsstiller potentialerne Lorentz-måleren i en degenereret form, den såkaldte Coulomb-måler ( , ). $\varphi=0$ $\nabla \cdot \mathbf {A} =0$

På samme måde kan man opnå ligninger for det Hertziske magnetiske potentiale ved at substituere felterne udtrykt gennem det i den tredje og fjerde Maxwell-ligning uden strøm:

GHS	SI
$\Delta \mathbf {\Pi } ^{m}-{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi} ^{m ))}{\partial t^{2))}=0,$ $\Delta \mathbf {\Pi } ^{m}-{\frac {\varepsilon }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{m)) }{\partial t^{2}}}=-{\frac {4\pi }{\mu }}\mathbf {M} .$	$\Delta \mathbf {\Pi } ^{m}-{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi} ^{m ))}{\partial t^{2))}=0,$ $\Delta \mathbf {\Pi } ^{m}-{\frac {\varepsilon }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{m)) }{\partial t^{2}}}=-{\frac {1}{\mu }}\mathbf {M} .$

Virkningen af eksterne magnetiske felter forbundet med eksterne kilder kan tages i betragtning i analogi med Hertz elektriske vektor ved at indføre en yderligere magnetisk polarisering i de rigtige dele . $\mathbf {M} _{f}$

Der skelnes således mellem to typer elektromagnetiske felter, udtrykt i Hertz's elektriske og magnetiske potentialer, og et vilkårligt felt kan repræsenteres som en sum af sådanne felter. Felter udtrykt i form af den Hertziske elektriske vektor kaldes felter af elektrisk type eller tværgående magnetiske (TM) felter, da det magnetiske felt for dem er ortogonalt med retningen af den Hertziske vektor. Følgelig kaldes felter udtrykt i form af den hertziske magnetiske vektor felter af den magnetiske type eller tværgående elektriske felter (TE), hvor det elektriske felt er ortogonalt i forhold til den genererende hertziske vektor. TM-felterne kan repræsenteres som felter genereret af elektriske dipoler fordelt i rummet, og TE-felterne, henholdsvis som magnetiske. De hertziske vektorpotentialer kan til gengæld i mange tilfælde udtrykkes i form af skalarpotentialer.

Debye potentialer

Inden for elektrodynamik er de skalære potentialer foreslået af Debye [45] meget brugt .

Bølgeligningen er et system af tre koblede skalarligninger, der kun dekomponeres i tre skalar Helmholtz-ligninger i det kartesiske koordinatsystem . For at gøre det nemmere at finde løsninger, der opfylder randbetingelserne, er det ønskeligt at vælge koordinatsystemer, hvis koordinatflader ligger tæt på eller falder sammen med grænsefladerne. En tilgang til at løse vektor Helmholtz-ligningen er at introducere skalarfunktioner, der opfylder den skalære Helmholtz-bølgeligning, i form af hvilken vektorfelterne [46] så kan udtrykkes : $\psi$

\nabla ^{2}{\psi }+k^{2}\psi =0.

{\mathbf {M} }_{\psi }=\nabla \times ({\mathbf {f} }\psi ),

{\mathbf {N} }_{\psi }={\frac {1}{k}}\nabla \times \nabla \times ({\mathbf {f} }\psi ),

{\mathbf {L} }_{\psi }=\nabla \psi .

Her er en vektorfunktion af koordinater. Vektoren beskriver den potentielle del af feltet, og den kan sættes lig nul i mangel af gratis afgifter. $\mathbf {f}$ ${\mathbf {L} }_{\psi }$

Hvis der for et eller andet ortogonalt koordinatsystem eksisterer en funktion, der er proportional med koordinatvektoren, så kan et vilkårligt vektorfelt, der opfylder vektoren Helmholtz-ligningen i dette system, repræsenteres som en sum af vektorfunktioner, der er proportionale med vektorerne og . Som det følger af Maxwells ligninger, svarer et elektrisk felt proportionalt med et magnetfelt af typen , og omvendt. I dette tilfælde svarer vektorpotentialerne til Hertz-vektorerne. Da feltet, der er proportionalt med, i dette tilfælde er normalt på vektoren , er dets komponenter tangentielle til den tilsvarende koordinatoverflade. Hvis grænserne i det problem, der skal løses, falder sammen med en af disse koordinatflader, så forenkles opfyldelsen af randbetingelserne i høj grad. ${\mathbf {f} }({\mathbf {r} })$ ${\mathbf {M} }_{\psi }$ ${\mathbf {N} }_{\psi }$ ${\mathbf {M} }_{\psi }$ ${\mathbf {N} }_{\psi }$ ${\mathbf {f} }\psi$ ${\mathbf {M} }_{\psi }$ ${\mathbf {f} }$ ${\mathbf {f} }$

En sådan repræsentation er kun mulig i et begrænset antal ortogonale koordinatsystemer [47] . I det kartesiske koordinatsystem kan enhver koordinatvektor fungere som en vektor. De tilsvarende løsninger er plane bølger. For et cylindrisk koordinatsystem , for et sfærisk . Derudover er en sådan repræsentation mulig i koniske , såvel som i forhold til aksen i parabolske og elliptiske cylindriske koordinatsystemer. ${\mathbf {f} }$ ${\mathbf {f} }={\mathbf {i} }_{z}$ ${\mathbf {f} }={\mathbf {r} }$ $z$

Riemann-Silberstein vektorer

Hvis vi introducerer den komplekse Riemann - Silberstein vektor $\mathbf {F}$ og dens komplekse konjugerede vektor [48] [49] [50] : $\mathbf {F} ^{*}$

GHS	SI
$\mathbf {F} ={\frac {1}{\sqrt {8\pi }}}\venstre[{\sqrt {\varepsilon }}\mathbf {E} +i{\sqrt {\mu } }\mathbf {H} \right],$	$\mathbf {F} ={\frac {1}{\sqrt {2))}\venstre[{\sqrt {\varepsilon \varepsilon _{0))}\mathbf {E} +i{\sqrt {\mu \mu _{0}}}\mathbf {H} \right],$

så reduceres Maxwells ligninger til to:

GHS	SI
$\nabla \cdot \mathbf {F} ={\sqrt {\frac {2\pi }{\varepsilon }}}\rho ,$ $\nabla \times \mathbf {F} =i{\sqrt {2\pi \mu }}\mathbf {j} +i{\frac {\sqrt {\varepsilon \mu }}{c}}{\frac { \partial \mathbf {F} }{\partial t}}.$	$\nabla \cdot \mathbf {F} ={\sqrt {\frac {1}{2\varepsilon \varepsilon _{0))))\rho ,$ $\nabla \times \mathbf {F} =i{\sqrt {\frac {\mu \mu _{0}}{2}}}\mathbf {j} +i{\frac {\sqrt {\varepsilon \mu }}{c}}{\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial t}}.$

I fravær af eksterne ladninger og strømme forbliver kun den anden ligning (den første, på grund af ligheden af rotordivergensen til nul, er i dette tilfælde automatisk opfyldt op til en tidsuafhængig komponent):

$\nabla \times \mathbf {F} =i{\frac {\sqrt {\varepsilon \mu }}{c}}{\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial t}}.$

I modsætning til bølgeligningen, som i dette tilfælde opnås for felt- eller potentialvektorer, har den sidste vektordifferentialligning den første orden, ikke den anden, og derfor kan den i nogle tilfælde være lettere at løse.

For et harmonisk felt med afhængighed er vektoren en egenvektor for rotoroperatoren: $\mathbf {F} =\mathbf {F} ^{\pm }e^{\pm i\omega t}$ $\mathbf {F}$

$\nabla \times \mathbf {F} ^{\pm }=\mp k\mathbf {F} ^{\pm }.$

Med den valgte normalisering giver den komplekse amplitude af det elektromagnetiske felt mening , og dets modul i kvadrat $\mathbf {F}$

$w=|\mathbf {F} |^{2}\equiv \mathbf {F} ^{*}\mathbf {F} =w_{E}+w_{H}$

har betydningen af feltenergitætheden.

Pegende vektor :

$\mathbf {S} =-{\frac {ic}{\sqrt {\varepsilon \mu ))}{\mathbf {F} }^{*}\ gange {\mathbf {F} }.$

Vektorer og kan fortolkes som bølgefunktioner af cirkulært polariserede fotoner [49] . $\mathbf {F}$ $\mathbf {F} ^{*}$

Kovariant formulering

Fra et moderne synspunkt er den firedimensionelle kovariante formulering af elektrodynamik (og især skrivningen af Maxwells ligninger i denne form) fysisk den mest fundamentale.

I praksis fører det, udover eksplicit kovarians, til en meget større kompakthed af ligningerne og dermed til en vis skønhed og i nogle tilfælde til bekvemmelighed, og omfatter mere organisk og direkte det elektromagnetiske felts enhed.

Den kovariante formulering forstås at betyde to forskellige, men direkte og direkte relaterede muligheder: Lorentz-kovariansformuleringen i det flade Minkowski rum- tid og den generelle kovariante formulering for det generelle tilfælde af buet rum-tid (standard set i sammenhæng med generel relativitetsteori ). Den anden mulighed adskiller sig fra den første ved, at rum-tid- metrikken ikke er konstant i den (hvilket kan betyde enten tilstedeværelsen af tyngdekraft eller blot brugen af en bredere klasse af koordinater, f.eks. svarende til ikke-inertielle rammer af reference), og kommer i vid udstrækning til at erstatte de sædvanlige afledte med hensyn til firedimensionelle koordinater til kovariante afledte (i en betydelig del af tilfældene kommer dette ned til en mekanisk udskiftning af førstnævnte med sidstnævnte). Blandt andet giver den anden mulighed dig mulighed for at udforske interaktionen mellem det elektromagnetiske felt og tyngdekraften.

Nedenfor betragter vi først (som en enklere) første variant, en variant af den Lorentz-kovariante formulering i et fladt rum-tid.

Firedimensionelle vektorer

Med kovariant skrivning af elektrodynamikkens ligninger laves en overgang fra tredimensionelle vektorer og skalarer til firedimensionelle vektorer (4-vektorer). Uanset enhedssystemet er de firedimensionale koordinater (4-vektor af koordinater, hvis komponenter omfatter tid og tredimensionelle rumlige koordinater), den afledte med hensyn til disse koordinater (4-afledt) og strømtætheden defineret som følger [~ 6] :

x^{\alpha }=(ct,~\mathbf {r})=(ct,x,y,z),

\partial _{\alpha }={\frac {\partial}{\partial x^{\alpha ))}={\Bigl (}{\frac {1}{c))\,{\frac {\partial }{\partial t)),~\nabla {\Bigr )}={\Bigl (}{\frac {1}{c))\,{\frac {\partial }{\partial t)),{\ frac {\partial }{\partial x)),{\frac {\partial }{\partial y)),{\frac {\partial }{\partial z)){\Bigr )},

j^{\alpha }=\rho {\frac {dx^{\alpha }}{dt}}=(c\rho ,~\mathbf {j} )=(c\rho ,j_{x},j_{ y},j_{z}).

Indekset for 4-vektoren tager værdierne . I komponentnotationen af en vektor kommer nul (tidslige) komponenten først, derefter de rumlige. For eksempel er tid , og ladningstæthed er . I kraft af disse definitioner antager ladningsbevaringsloven i kovariant form følgende form: $\alpha =0,1,2,3\$ $t=x^{0}/c\$ $\rho =j^{0}/c\$

$\partial _{\alpha }j^{\alpha }=0.$

Det gentagne indeks forudsætter summering fra 0 til 3 ( Einsteins regel ).

Eksempel

Ovenstående ligning er en kompakt repræsentation af kontinuitetsligningen:

$\partial _{0}j^{0}+\partial _{1}j^{1}+\partial _{2}j^{2}+\partial _{3}j^{3}={\ frac {\partial \rho }{\partial t))+\nabla \mathbf {j} =0.$

Lad os introducere en 4-vektor af potentialet, som har følgende komponenter i CGS- og SI- systemerne:

GHS	SI
$A^{\alpha }=(\varphi ,~~\mathbf {A} )$ $A_{\alpha }=(\varphi ,-\mathbf {A} )$	$A^{\alpha }=(\varphi /c,~~\mathbf {A})$ $A_{\alpha }=(\varphi /c,-\mathbf {A})$

I covariant notation spiller positionen af indekset for 4-vektoren en rolle. Hvis indekset er nederst, så kaldes en sådan vektor en kovariant vektor (eller kovektor), og dens rumlige komponenter har det modsatte fortegn sammenlignet med komponenterne i en 4-vektor. Hævning og sænkning af indeksene udføres ved hjælp af den metriske tensor , som i det firedimensionelle Minkowski-rum har en diagonal form med signaturen: . $A_{\alpha }=g_{\alpha \beta }A^{\beta }\$ $g_{\alpha \beta }=g^{\alpha \beta }={\rm {diagonal}}(1,-1,-1,-1)\$

Ved at bruge denne definition af potentialets 4-vektor kan Lorentz-måletilstanden i kovariant form skrives som følger:

$\partial _{\alpha }A^{\alpha }=0.$

Hvis denne betingelse er opfyldt, tager Maxwells ligninger for potentialer i vakuum i nærværelse af ladninger og strømme formen:

GHS	SI
$\partial ^{2}A^{\alpha }={\frac {4\pi }{c}}\,j^{\alpha }$	$\partial ^{2}A^{\alpha }=\mu _{0}\,j^{\alpha }$ ,

hvor er d'Alembert-operatøren med det modsatte fortegn: $\partial ^{2}$

$\partial ^{2}=\partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }=-\square ={\frac {1}{c^{2))}{\frac {\partial ^{2} }{\partial t^{2))}-\Delta .$

Maxwell-ligningernes nulkomponent for potentialets 4-vektor svarer til ligningen for , og den rumlige, for . $\varphi$ $\mathbf {A}$

Elektromagnetisk felttensor

Lad os definere den kovariante tensor af det elektromagnetiske felt ved hjælp af den afledede af 4-vektoren af potentialet [51] [52] :

F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }.

Den eksplicitte form af denne antisymmetriske tensor ( ) kan repræsenteres som følger: $F_{\alpha \beta }=-F_{\beta \alpha }\$

GHS	SI
$F_{\alpha \beta }=\left({\begin{matrix}0&E_{x}&E_{y}&E_{z}\\-E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_ {y}&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right),$	$F_{\alpha \beta }=\left({\begin{matrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y }\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right).$

Tensorens tidsmæssige komponenter er sammensat af komponenterne i den elektriske feltstyrke, og de rumlige komponenter af det magnetiske felt, som kan skrives som følger: . I tensoren af det elektromagnetiske felt med overskrift ændres fortegnet for nulkomponenterne (det vil sige før komponenterne i det elektriske felt): . $F_{\alpha \beta }=(\mathbf {E} ,\mathbf {B} )$ $F^{\alpha \beta }=(-\mathbf {E} ,\mathbf {B} )$

Ved at bruge definitionen af den elektromagnetiske felttensor er det let at verificere følgende identitet:

\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }+\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }=0.

Det kan omskrives i en mere kompakt form ved at introducere den dobbelte elektromagnetiske felttensor:

\partial _{\alpha }{\tilde {F}}^{\alpha \beta }=0,~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\tilde {F}} ^ {\alpha \beta }={\frac {1}{2}}\epsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\,F_{\gamma \delta },

hvor er det antisymmetriske Levi-Civita-symbol ( ). Denne ligning er en kovariant registrering af Gauss' lov for et magnetisk felt og Faradays lov om elektromagnetisk induktion. Komponenterne i den dobbelte tensor opnås fra tensoren som et resultat af permutationen af de elektriske og magnetiske felter [53] : , . $\epsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\$ $\epsilon ^{0123}=1\$ ${\tilde {F}}_{\alpha \beta }$ ${\displaystyle F_{\alpha \beta ))$ ${\tilde {F}}_{\alpha \beta }=(\mathbf {B} ,-\mathbf {E} )$ ${\tilde {F}}^{\alpha \beta }=(-\mathbf {B} ,-\mathbf {E} )$

Det komplette system af Maxwells ligninger i kovariant form har formen:

GHS	SI
$\partial _{\alpha }{\tilde {F}}^{\alpha \beta }=0$ $\partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }={\frac {4\pi }{c}}j^{\beta },$	$\partial _{\alpha }{\tilde {F}}^{\alpha \beta }=0$ $\partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{0}\,j^{\beta }.$

Det gentagne indeks summeres fra 0 til 3, og strømmens 4-vektor findes på højre side af den anden ligning. Nulkomponenten i denne ligning svarer til Gauss-loven, og de rumlige komponenter svarer til Ampère-Maxwell-loven. $\alfa \$

Ved at bruge den elektromagnetiske felttensor kan man opnå lovene for transformation af komponenterne i de elektriske og magnetiske felter målt med hensyn til forskellige inertielle referencerammer [54] [55] :

GHS	SI
$E'_{y}=\gamma \,(E_{y}-{u \over c}\,B_{z}),~~~E'_{z}=\gamma \,(E_{z} +{u \over c}\,B_{y}),$ $B'_{y}=\gamma \,(B_{y}+{u \over c}\,E_{z}),~~~B'_{z}=\gamma \,(B_{z} -{u \over c}\,E_{y}),$	$E'_{y}=\gamma \,(E_{y}-u\,B_{z}),~~~E'_{z}=\gamma \,(E_{z}+u\,B_ {y}),$ $B'_{y}=\gamma \,(B_{y}+{u \over c^{2}}\,E_{z}),~~B'_{z}=\gamma \,(B_ {z}-{u \over c^{2}}\,E_{y}),$

hvor de "primede" størrelser måles i forhold til en referenceramme, der bevæger sig langs aksen med en hastighed i forhold til den ramme, hvori de "ikke-primede" feltkomponenter er målt, og er Lorentz-faktoren. Feltkomponenterne langs den relative bevægelsesretning af inertiereferencerammer forbliver uændrede: . $x$ $u$ $\gamma =1/{\sqrt {1-u^{2}/c^{2}}}$ $E'_{x}=E_{x},~~B'_{x}=B_{x}$

Maxwells ligninger i vakuum er invariante under Lorentz-transformationer . Dette var en af drivkræfterne til skabelsen af den særlige relativitetsteori .

De elektriske og magnetiske felter ændrer sig på forskellige måder, når akserne i det rumlige koordinatsystem inverteres. Det elektriske felt er den polære vektor og det magnetiske felt er den aksiale vektor . Det er muligt at konstruere to størrelser invariante under Lorentz-transformationer:

$F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }=\mathrm {inv} ~~~~~~~~~~~~\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }F_{\alpha \beta }F_{\gamma \delta }=\mathrm {inv} .$

Den første invariant er en skalar , og den anden er en pseudoskalar , det vil sige, den ændrer fortegn, når koordinatakserne vendes om.

Lagrangian

Handlingen og Lagrangian (Lagrange-funktion) for en testladning, der bevæger sig i et eksternt elektromagnetisk felt i CGS- og SI- systemerne har formen [56] [57] : $S\$ $L\$

GHS	SI
$S=\int (-mc\,ds~-~{\frac {q}{c}}\,A_{\alpha }\,dx^{\alpha })$ $L=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {u^{2}} }{c^{2}}}}}+{\frac {q}{c}}\ ,\mathbf {A} \cdot \mathbf {u} -q\varphi$	$S=\int (-mc\,ds~-~q\,A_{\alpha }\,dx^{\alpha })$ $L=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {u^{2)) }{c^{2))))}+q\,\mathbf {A} \cdot \ mathbf {u} -q\varphi$

hvor:

$m\$ er massen af partiklen (i SI-enheder, kg);
$\mathbf {u}$ - dens hastighed (i SI-enheder - m / s);
$q\$ er partiklens ladning (i SI-enheder - C );
$ds={\sqrt {dx_{\alpha }dx^{\alpha }}}$ - 4. interval.

Bevægelsesligningerne for en ladning under indflydelse af Lorentz-kraften i kovariant notation har formen:

GHS	SI
$mc{\frac {d^{2}x^{\alpha }}{ds^{2}}}={\frac {q}{c}}\,F^{\alpha \beta}\,{\ frac {dx_{\beta }}{ds}}$	$mc{\frac {d^{2}x^{\alpha }}{ds^{2}}}=q\,F^{\alpha \beta}\,{\frac {dx_{\beta }}{ ds}}.$

Maxwells ligninger er afledt af princippet om mindste handling , hvor de dynamiske variable er 4-potentialerne for det elektromagnetiske felt . Dette bruger følgende kovariante udtryk for handlingen [57] [58] [59] : $A^{\alpha }\$

GHS	SI
$S=-{\frac {1}{16\pi c}}\int F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\,d^{4}x-{\frac {1}{c ^{2}}}\int A_{\alpha }\,j^{\alpha }\,d^{4}x$	$S=-{\frac {1}{4\mu _{0}c}}\int F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\,d^{4}x-{ \frac {1}{c}}\int A_{\alpha }\,j^{\alpha }\,d^{4}x,$

hvor integration over det invariante 4-volumen udføres . $d^{4}x=c\,dt\,dv$

Notation ved hjælp af differentialformer

Maxwells ligninger i kovariant form, svarende til vektorrepræsentationen i tredimensionelt rum, kan skrives i "ikke-indeksform". Til dette introduceres driften af det ydre produkt , som har egenskaben antisymmetri : . Det ydre produkt giver dig mulighed for at skrive udtryk foldet over alle indekser med antisymmetriske tensorer , som f.eks . Dette giver anledning til objekter kaldet differentialformer (eller blot former) [60] . 1-formen af feltpotentialet er defineret som følger (ved indekset er summen fra 0 til 3): $\kile$ $\mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }=-\mathrm {d} x^{\beta}\wedge \mathrm {d} x^{\alpha }$ $F_{\alpha \beta }\$ $\alfa \$

$\mathrm {A} =A_{\alpha }\mathrm {d} x^{\alpha }\ .$

Fra 1-formen, ved brug af ekstern differentiering , opnås 2-formen af det elektromagnetiske felt (eller Faraday 2-formen): $\mathrm{d}\$

$\mathrm {F} =\mathrm {d} \,\mathrm {A} =\mathrm {d} A_{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\alpha }=\partial _{\beta } A_{\alpha }~\mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\alpha }={\frac {1}{2}}F_{\alpha \beta }~\ mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }.$

Den ydre differentieringsoperation har egenskaben , som fører til Gauss lov for et magnetfelt og Faradays lov: $\mathrm {d} ^{2}=0\$

$\mathrm {d} \,\mathrm {F} =\mathrm {d} ^{2}\,\mathrm {A} ={\frac {1}{2}}\,\partial _{\gamma }F_ {\alpha \beta }\,\mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }={\frac { 1}{6))\,(\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha })~\mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\gamma }=0.$

For at nedskrive de resterende Maxwell-ligninger, introduceres 2-formens dual til k , også kaldet Maxwell 2-formen [61] : $\mathrm{F}\$ $^{*}\mathrm {F} \$

$^{*}\mathrm {F} ={\frac {1}{2}}\,{\tilde {F}}_{\alpha \beta }~\mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }={\frac {1}{4}}\,F^{\alpha \beta }\,\epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta } ~\mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta },$

og 3-forms strøm:

$^{*}\mathrm {J} =-{\frac {1}{3!}}\,j^{\alpha }\,\epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }~\mathrm {d } x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta },$

hvor er det absolut antisymmetriske Levi-Civita symbol ( ). Konvolutionen med Levi-Civita-symbolet for det ydre produkt af differentialer kaldes Hodge-stjerneoperatøren . $\epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }\$ $\epsilon _{0123}=-1\$

I disse notationer tager Maxwell-ligningerne i CGS- og SI- systemerne følgende form [62] :

GHS	SI
$\mathrm {d} \,\mathrm {F} =0,$ $\mathrm {d} ^{}\mathrm {F} ={\frac {4\pi }{c}}\,^{}\mathrm {J} ,$	$\mathrm {d} \,\mathrm {F} =0,$ $\mathrm {d} ^{}\mathrm {F} =\mu _{0}\,^{}\mathrm {J} .$

Bevis

For at vise ækvivalensen af disse ligninger til Maxwells ligninger, er det nødvendigt at skrive dem i tredimensionel vektorform. I dette tilfælde, i CGS -systemet, har den nuværende og Maxwell 2-formen formen:

$^{*}\mathrm {J} =c\rho \mathrm {d} v-\mathbf {j} \mathrm {d} \mathbf {s} \wedge \mathrm {d} t\,c,~~~ ~~~~~~~~~~~~~^{*}\mathrm {F} =\mathbf {E} \mathrm {d} \mathbf {s} -\mathbf {B} \mathrm {d} \ mathbf {r} \wedge \mathrm {d} t\,c,$

hvor er det tredimensionelle volumen, og er overfladearealvektoren i tredimensionelt rum. Fordi: $\mathrm {d} v=\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z$ $\mathrm {d} \mathbf {s} =(\mathrm {d} y\kile \mathrm {d} z,~\mathrm {d} z\kile \mathrm {d} x,\mathrm {d} x\ kile \mathrm {d} y)$

$\mathrm {d} ^{*}\mathrm {F} =(\nabla \mathbf {E} )\mathrm {d} v+{\Bigl (}{\frac {1}{c}}{\frac {\ partial \mathbf {E} }{\partial t}}-\nabla \times \mathbf {B} {\Bigr )}\mathrm {d} \mathbf {s} \wedge \mathrm {d} t\,c.$

så, under hensyntagen til Maxwells ligninger i differentialform, får vi . $^{*}\mathrm {J} \$

Under hensyntagen til identiteten fører den sidste Maxwell-ligning, skrevet ved hjælp af differentialformer, umiddelbart til kontinuitetsligningen (loven om ladningsbevarelse): $\mathrm {d} ^{2}=0\$

$\mathrm {d} ^{*}\mathrm {J} =0\ .$

I denne form forbliver Maxwells ligninger gyldige på en vilkårlig 4-dimensionel manifold, for eksempel i den buede rum-tid af generel relativitet . I dette tilfælde vises determinanten for den metriske tensor yderligere i relationerne . For eksempel for nuværende og ekstern differentiering: $g$

$^{*}\mathrm {J} =-{\frac {1}{3!}}\,j^{\alpha }{\sqrt {-g}}\,\epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }~\mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta},~~~~~~~~ ~~~~~~\mathrm {d} ^{*}\mathrm {F} ={\frac {1}{4}}\,F_{~~;\alpha }^{\alpha \beta }{\ sqrt {-g}}\,\epsilon _{\beta \gamma \delta \eta }~\mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta }\wedge \mathrm {d}x^{\eta }.$

Fælles kovariant notation i komponenter

På en vilkårlig 4-dimensionel manifold, det vil sige i det generelle tilfælde, inklusive rum-tid med ikke-nul krumning (såvel som vilkårlige 4-dimensionelle koordinater, herunder tilfælde af ikke-inertielle referencerammer), kan elektrodynamik også være formuleret i den sædvanlige indeksnotation.

Grundlæggende er opskriften på overgangen fra tilfældet med nul krumning af rum-tid og Lorentz referencesystemer i det, beskrevet detaljeret ovenfor, til det generelle tilfælde at erstatte de sædvanlige afledte med hensyn til koordinater med kovariante afledte , under hensyntagen til det faktum, at metrikken i dette tilfælde ikke er konstant og ikke har en speciel Lorentz-type (det vil sige praktisk talt vilkårlig), samt ved integration - for eksempel ved registrering af en handling - under hensyntagen til, at metrikken er inkluderet i volumenelementet (gennem en faktor - roden af minus metrikkens determinant). ${\sqrt {-g))$

I generel kovariant form har Maxwells ligninger formen: [63]

F_{\mu \nu :\sigma }+F_{\nu \sigma :\mu }+F_{\sigma \mu :\nu }=0

{\displaystyle F_{:\nu }^{\mu \nu}=4\pi J^{\mu ))

Her betyder ":"-tegnet den kovariante afledte, ligesom tegnet "," betyder den sædvanlige afledte:

{\displaystyle A_{\mu :\nu }=A_{\mu,\nu}-\Gamma _{\mu \nu}^{\alpha }A_{\alpha ))

hvor er Christoffel-symbolet af den anden type. ${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu}^{\alpha ))$

Loven om bevarelse af elektrisk ladning i den generelle kovariante form følger af . Ved at gange begge dele med og bruge identiteten finder vi . ${\displaystyle F_{:\nu }^{\mu \nu}=4\pi J^{\mu ))$ ${\sqrt {-g))$ $F_{:\nu }^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}=(F^{\mu \nu }{\sqrt {-g}})_{,\nu }$ $(F^{\mu \nu }{\sqrt {-g)))_{,\nu }=4\pi J^{\mu }{\sqrt {-g))$

Herfra får vi loven om bevarelse af elektrisk ladning i den generelle kovariante form:

(J^{\mu }{\sqrt {-g)))_{,\mu }={\frac {1}{4\pi }}(F^{\mu \nu }{\sqrt {-g}})_{,\mu \nu }=0

Spinor-formulering

Maxwells ligninger kan skrives på spinorform :

$\partial _{\lambda {\dot {\sigma }}}f_{\dot {\mu }}^{\dot {\sigma }}+\partial _({\dot {\mu }}\sigma }f_ {\lambda }^{\sigma }=2s_{{\dot {\lambda }}\mu }$ ,

$\partial _{\lambda {\dot {\sigma }}}f_{\dot {\mu }}^{\dot {\sigma }}-\partial _({\dot {\mu }}\sigma }f_ {\lambda }^{\sigma }=0$ ,

hvor spinoren i anden rang bestemmes af ligningen _ $f$ $f_{\lambda \mu }={\frac {1}{2}}(\partial _{\lambda {\dot {\sigma }}}\varphi _{\mu }^{\dot {\sigma }} +\partial _{\mu \sigma }\varphi _{\sigma }^{\dot {\sigma )))$ $\varphi _{\mu \nu }$ $\partial _{\mu \nu }$ $s_{\mu \nu }$

Spektral repræsentation

Inden for elektrodynamik er harmoniske svingninger af stor betydning . Disse felter kan repræsenteres som

$\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{2}}\venstre[{\tilde {\mathbf {E} }}(\mathbf {r} )e^{- i\omega t}+{\mbox{cc}}\right]=\Re [{\tilde {\mathbf {E} }}(\mathbf {r} )e^{-i\omega t}],$

$\mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{2}}\venstre[{\tilde {\mathbf {H} }}(\mathbf {r} )e^{- i\omega t}+{\mbox{cc}}\right]=\Re [{\tilde {\mathbf {H} }}(\mathbf {r} )e^{-i\omega t}].$

hvor er feltoscillationsfrekvensen . Notationen "cc" betyder kompleks konjugation af det foregående led. I nogle artikler er faktoren 1/2 ikke brugt i aftalen om harmoniske amplituder, hvilket fører til en tilsvarende ændring af alle udtryk relateret til denne aftale. Det er også almindeligt i litteraturen at vælge det omvendte fortegn i den komplekse eksponent. Den her overvejede variant er i overensstemmelse med den, der accepteres i kvanteteorien i Schrödinger-repræsentationen . $\omega\$

Energitætheden af de elektriske og magnetiske felter i gennemsnit over perioden er hhv.

GHS	SI
$\mathbf {S} ={\frac {c}{16\pi }}\venstre[({\tilde {\mathbf {E} }}^{}}\ gange {\tilde {\mathbf {H} } }+{\tilde {\mathbf {E} }}\times ({\tilde {\mathbf {H} }}^{}}\right],$ $\langle w_{E}\rangle ={\frac {\tilde {\varepsilon }}{16\pi }}\,\|{\tilde {\mathbf {E} }}\|^{2},$ $\langle w_{H}\rangle ={\frac {\tilde {\mu }}{16\pi }}\,\|{\tilde {\mathbf {H} }}\|^{2}.$	$\mathbf {S} ={\frac {1}{4}}\venstre[{\mathbf {E} ^{}}\ gange {\tilde {\mathbf {H} }}+{\tilde {\mathbf {E} }}\ gange {{\tilde {\mathbf {H} }}^{}}\right],$ $\langle w_{E}\rangle ={\frac {\varepsilon _{0}{\tilde {\varepsilon }}\|{\tilde {\mathbf {E} }}\|^{2}}{4}},$ $\langle w_{H}\rangle ={\frac {\mu _{0}{\tilde {\mu }}\|{\tilde {\mathbf {H} }}\|^{2}}{4}}.$

Ved at bruge Fourier-transformationen kan harmoniske oscillationer bruges til at udvide felter med en vilkårlig tidsafhængighed.

\mathbf {E} (r,t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!{\tilde {\mathbf {E} }}(\mathbf {r} ,\omega )e ^{-i\omega t}{\frac {d\omega }{2\pi )),

\mathbf {H} (r,t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!{\tilde {\mathbf {H} }}(\mathbf {r} ,\omega )e ^{-i\omega t}{\frac {d\omega }{2\pi }}.

Overgangen til spektrale komponenter giver os mulighed for at fokusere på felternes koordinatafhængighed. Maxwells ligninger for de spektrale komponenter i homogene medier antager derefter formen

GHS	SI
$\nabla \cdot {\tilde {\mathbf {E} }}={\frac {4\pi {\tilde {\rho }}}{\tilde {\varepsilon }}},$	$\nabla \cdot {\tilde {\mathbf {E} }}={\frac {\tilde {\rho }}{\varepsilon _{0}{\tilde {\varepsilon }}}},$
$\nabla \cdot {\tilde {\mathbf {B} }}=0,$	$\nabla \cdot {\tilde {\mathbf {B} }}=0,$
$\nabla \times {\tilde {\mathbf {E} }}=i{\frac {\omega }{c}}{\tilde {\mathbf {B} }}),$	$\nabla \times {\tilde {\mathbf {E} }}=i\omega {\tilde {\mathbf {B} )),$
$\nabla \times {\tilde {\mathbf {B} }}=-i{\tilde {\varepsilon }}{\tilde {\mu }}{\frac {\omega }{c}}\venstre[1+ i{\frac {4\pi {\tilde {\sigma }}}{\omega {\tilde {\varepsilon }}}}\right]{\tilde {\mathbf {E} }}.$	$\nabla \times {\tilde {\mathbf {B} }}=-i{\tilde {\varepsilon }}{\tilde {\mu }}{\frac {\omega }{c^{2}}}\ venstre[1+i{\frac {\tilde {\sigma }}{\omega \varepsilon _{0}{\tilde {\varepsilon }}}}\right]{\tilde {\mathbf {E} }}.$

Mediets dielektriske og magnetiske permeabilitet i den spektrale repræsentation er relateret til følsomhederne af de konstitutive ligninger i den integrale repræsentation ved Fourier-transformationen:

GHS	SI
${\tilde {\varepsilon }}(\omega )=1+4\pi \int \limits _{-\infty }^{\infty }\!\chi _{e}(\tau )e^{i\ omega\tau }d\tau ,$ ${\tilde {\mu ))(\omega )=1+4\pi \int \limits _{-\infty }^{\infty }\!\chi _{m}(\tau )e^{i\ omega \tau }d\tau .$	${\tilde {\varepsilon }}(\omega )=1+\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!\chi _{e}(\tau )e^{i\omega \tau }d\tau,$ ${\tilde {\mu ))(\omega )=1+\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!\chi _{m}(\tau )e^{i\omega \tau }d\tau .$

Ligninger uden frie ladninger og strømme

I fravær af frie ladninger og strømme , i isotrope og homogene medier uden spredning, antager Maxwell-ligningerne følgende form: $\rho =0$ $\mathbf {j} =0$

GHS	SI
$\nabla \cdot \mathbf {E} =0,~~~~~~~~~~~~~~~~\nabla \cdot \mathbf {B} =0,$ $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t)),~~~~~~\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {\varepsilon \mu }{c)){\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t)),$	$\nabla \cdot \mathbf {E} =0,~~~~~~~~~~~~~\nabla \cdot \mathbf {B} =0,$ $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t)),~~~~~~\nabla \times \mathbf {B} ={\frac { \varepsilon \mu }{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.$

Løsningerne på disse ligninger er den elektriske feltstyrke og magnetisk induktion . Den dielektriske og magnetiske permeabilitet bestemmes af mediets egenskaber. Til vakuum ,. $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$ $\varepsilon$ $\mu$ $\varepsilon=1$ $\mu=1$

Bølgeligning

Maxwells ligninger er førsteordens differentialligninger i koordinater og tid. Men i det andet par inkluderer hver ligning både ukendte vektorfunktioner og . I fravær af ladninger og strømme kan man gå over til andenordens ligninger, som hver kun afhænger af ét (elektrisk eller magnetisk) felt [66] : $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$

$\Delta \mathbf {E} -{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{ 2}}}=0,$ $\Delta \mathbf {B} -{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{ 2}}}=0.$

Sådanne ligninger kaldes bølge .

Udledning af bølgeligningen

Ved at tage rotoren fra Faraday-loven og bruge Ampere-Maxwell-loven får vi (i SI -systemet ):

\nabla \times [\nabla \times \mathbf {E} ]=\nabla \times \left(-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))\right)=-{\frac {\partial }{\partial t))[\nabla \times \mathbf {B} ]=-{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2} \mathbf {E} }{\partial t^{2}}}.

På den anden side har vi ved at udvide dobbeltkrydsproduktet:

\nabla \times [\nabla \times \mathbf {E} ]=\nabla \,(\nabla \cdot \mathbf {E} )-\Delta \mathbf {E} =-\Delta \mathbf {E} ,

da divergensen af det elektriske felt i vakuum er nul. Ved at sidestille disse to udtryk får vi bølgeligningen for det elektriske felt. Bølgeligningen for magnetfeltet opnås på samme måde.

I Lorentz-måleren , i fravær af ladninger og strømme, er bølgeligningen også opfyldt af skalar- og vektorpotentialerne:

\Delta \varphi -{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2))}=0,~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Delta \mathbf {A} -{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}{\frac {\ delvis ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2))}=0.

Værdien inkluderet i bølgeligningerne bestemmer udbredelseshastigheden af elektromagnetiske felter i mediet. Dens maksimale værdi nås i vakuum, når og . $c/{\sqrt {\varepsilon \mu ))$ $c$ $\varepsilon=1$ $\mu=1$

Helmholtz-ligning

Lad være den cirkulære frekvens af det harmoniske signal, og tidsafhængigheden er valgt som . I fravær af elektriske ladninger i mediet tager Helmholtz-ligningen formen: $\omega$ ${\displaystyle e^{-i\omega t))$

$\Delta \mathbf {E} +k^{2}\mathbf {E} =0,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Delta \mathbf {B } +k^{2}\mathbf {B} =0,$

hvor . $k^{2}=\mu \varepsilon {\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}$

Maxwells ligninger i merian form

Når man studerer en fotons kvantemekaniske egenskaber , er det praktisk at repræsentere Maxwells ligninger for tomhed i Majorana-formen, som ligner Dirac-ligningen for en masseløs partikel. [67]

Maxwells ligninger i Majorana-form har formen: [68]

i{\frac {\partial \xi }{\partial t))={\vec {s}}{\vec {p}}\xi

... _

{\vec {p}}{\vec {\xi }}=0

i{\frac {\partial \eta }{\partial t))={\vec {s}}{\vec {p}}\eta

... _

{\vec {p}}{\vec {\eta }}=0

Her: , , ${\vec {\xi }}={\vec {E}}+i{\vec {H}}$ ${\vec {\eta }}={\vec {E}}-i{\vec {H}}$

${\vec {E}},{\vec {H}}$ - vektorer af elektriske og magnetiske felter i Maxwells ligninger for tomhed (i det relativistiske enhedssystem ):

{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=-\operatørnavn {rot} {\vec {E}}

... _

\operatørnavn {div} {\vec {H}}=0

{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}=\operatørnavn {rot} {\vec {H}}

... _

\operatørnavn {div} {\vec {E}}=0

${\vec {p}}=({\frac {1}{i}}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},{\frac {1}{i}}{ \frac {\partial }{\partial x_{2))},{\frac {1}{i)){\frac {\partial }{\partial x_{3))})$ - momentumoperator, - vektor med matrixkomponenter: ${\vec {s))$

s_{1}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix)),

s_{2}={\begin{pmatrix}0&0&i\\0&0&0\\-i&0&0\end{pmatrix)),

s_{3}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix)),

Nogle nøjagtige løsninger

Feltet for en bevægelig punktladning

Hvis ladningen bevæger sig med konstant hastighed , opstår der et magnetfelt omkring den , og den elektriske styrke holder op med at være sfærisk symmetrisk [69] : $\mathbf {u}$ $\mathbf {B}$

GHS	SI
$\mathbf {E} ={\frac {Q}{\varepsilon }}\,{\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}}\,{\frac {1-u^{2} /c^{2}}{(1-[\mathbf {n} \times \mathbf {u} ]^{2}/c^{2})^{3/2}}}$ $\mathbf {B} ={\frac {\varepsilon \mu }{c))\,[\mathbf {u} \times \mathbf {E} ]$	$\mathbf {E} ={\frac {Q}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}}\,{\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}}\,{\ frac {1-u^{2}/c^{2}}{(1-[\mathbf {n} \times \mathbf {u} ]^{2}/c^{2})^{3/2 }}}$ $\mathbf {B} ={\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}\,[\mathbf {u} \times \mathbf {E} ]$

Enhedsvektoren er rettet fra ladningen til målepunktet for feltstyrken. er vektorens modul . Hvis vi introducerer vinklen mellem vektorerne og , så . I en fast afstand fra ladningen er den elektriske feltstyrke minimal ved punkter placeret på ladningens bevægelseslinje. Den maksimale værdi nås i det plan, der passerer gennem ladningen vinkelret på dens hastighed. Magnetisk induktion er i kraft af vektorproduktet vinkelret på hastigheden og det elektriske felt. Da ladningen bevæger sig, på et fast punkt i rummet, ændres de elektriske og magnetiske felter med tiden. De opfylder Maxwells ligninger med ladning og strømtæthed proportional med Dirac delta-funktionen : $\mathbf {n} =\mathbf {r} /r$ $r$ $\mathbf {r}$ $\theta$ $\mathbf {u}$ $\mathbf {n}$ $[\mathbf {n} \times \mathbf {u} ]^{2}=u^{2}\sin ^{2}\theta$

\rho (\mathbf {r} )=Q\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}),~~~~~~~~~~~~\mathbf {j} (\mathbf {r} )=\mathbf {u} \,\rho (\mathbf {r} )

hvor er ladningens aktuelle position. $\mathbf {r} _{0}$

En testladning, der bevæger sig i den samme referenceramme, påvirkes af Lorentz-kraften . Det kan opnås ved hjælp af Lorentz-transformationer fra Coulombs lov og princippet om ladningsinvarians [70] . I denne forstand er magnetfeltet i sagens natur en relativistisk effekt. $q$

Hvis en punktladning bevæger sig med acceleration, afhænger feltet, der skabes af den, ikke kun af hastigheden, men også af accelerationen. Feltkomponenten, som afhænger af accelerationen, svarer til strålingen fra en elektromagnetisk bølge [40] .

Plane elektromagnetiske bølger

Lad os antage, at den elektriske feltstyrke og magnetiske induktion er vilkårlige funktioner af følgende kombination af koordinater og tid:

\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {E} {\Bigl (}\mathbf {n} \mathbf {r} -{\frac {c}{\sqrt {\varepsilon \mu ))}t{\Bigr )},~~~~~~~~~~~~~~~\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {B} {\Bigl (} \mathbf {n} \mathbf {r} -{\frac {c}{\sqrt {\varepsilon \mu ))}t{\Bigr )},

hvor er en konstant vektor. I dette tilfælde, og opfyld Maxwell-ligningerne i fravær af ladninger og strømme, hvis følgende forhold eksisterer mellem dem: $\mathbf {n}$ $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$

GHS	SI
$\mathbf {B} ={\sqrt {\varepsilon \mu }}\,[\mathbf {n} \times \mathbf {E} ]$	$\mathbf {B} ={\frac {\sqrt {\varepsilon \mu }}{c}}\,[\mathbf {n} \times \mathbf {E} ]$

og de er vinkelrette på vektoren , som skal være enhed: $\mathbf {n}$

$\mathbf {n} \mathbf {E} =0,~~~~~~~~~~~~~~~\mathbf {n} \mathbf {B} =0,~~~~~~~~~ ~~~~~~\mathbf {n} ^{2}=1.$

Udledning af løsningen for en plan bølge

Hvis den elektriske feltstyrke afhænger af koordinaterne og tiden i form af følgende kombination af dem , så kan vi skrive for den afledte af vektorens -th komponent med hensyn til -th koordinat og tid: $u=\mathbf {n} \mathbf {r} -ct/{\sqrt {\varepsilon \mu ))$ $j\$ $\mathbf {E}$ $jeg\$

$\nabla _{i}E_{j}={\frac {\partial E_{j}}{\partial r_{i}}}={\frac {dE_{j}}{du}}\,{\frac {\partial u}{\partial r_{i}}}=n_{i}E_{j},~~~~~~~~~~~~~~~{\frac {\partial E_{j} } {\partial t}}=-{\frac {c}{\sqrt {\varepsilon \mu }}}{\frac {dE_{j}}{du}},$

og tilsvarende for magnetisk induktion. Derfor tager Maxwells ligninger i fravær af ladninger og strømme formen ( SI -system ):

${\frac {d(\mathbf {n} \mathbf {E} )}{du}}=0,~~~~~~~{\frac {d(\mathbf {n} \mathbf {B} ) } {du}}=0,~~~~~~~~{\frac {d}{du}}{\bigl (}[\mathbf {n} \times \mathbf {E} ]-{\frac { c }{\sqrt {\varepsilon \mu }}}\mathbf {B} {\bigr )}=0,~~~~~~~~{\frac {d}{du}}{\bigl (}[ \ mathbf {n} \times \mathbf {B} ]+{\frac {\sqrt {\varepsilon \mu }}{c}}\mathbf {E} {\bigr )}=0.$

Ved at integrere disse relationer over og udelade integrationskonstanter, der svarer til konstante felter, får vi: $u$

$\mathbf {n} \mathbf {E} =0,~~~~~~~~~\mathbf {n} \mathbf {B} =0,~~~~~~~~~\mathbf {B} = { \frac {\sqrt {\varepsilon \mu }}{c}}\,[\mathbf {n} \times \mathbf {E} ],~~~~~~~~~~\mathbf {E} =- { \frac {c}{\sqrt {\varepsilon \mu ))}\,[\mathbf {n} \times \mathbf {B} ].$

Hvis vi erstatter den fjerde ligning med den tredje, får vi . $\mathbf {n} ^{2}=1$

Den fysiske betydning af løsningen i form af en plan bølge er som følger. Vi vælger det kartesiske koordinatsystems akse, så vektoren er rettet langs den. Så afhænger bølgens elektriske og magnetiske felter af koordinat og tid som følger: $z\$ $\mathbf {n}$ $z\$ $t\$

$\mathbf {E} (z,t)=\mathbf {E} {\Bigl (}z-{\frac {c}{\sqrt {\varepsilon \mu ))}t{\Bigr )},~~~ ~~~~~~~~~~~~\mathbf {B} (z,t)=\mathbf {B} {\Bigl (}z-{\frac {c}{\sqrt {\varepsilon \mu } }}t{\Bigr )},$

Lad os antage, at feltstyrken i det indledende tidspunkt er en vilkårlig vektorfunktion . Over tid vil denne funktion forskydes i rummet langs aksen med en hastighed på . $t=0\$ $z\$ $z\$ $c/{\sqrt {\varepsilon \mu ))$

I en elektromagnetisk bølge, i det generelle tilfælde, kan feltstyrken være en vilkårlig ikke-periodisk funktion . For eksempel kan en planbølgeopløsning beskrive en elektromagnetisk puls lokaliseret langs bevægelsesretningen. I et plan vinkelret på ændres elektromagnetiske felter ikke, hvilket betyder, at den plane bølge i dette plan ikke er begrænset og har en flad fasefront (hvorfor bølgen kaldes plan ). Da de elektriske og magnetiske felter under udbredelsen af en plan bølge hele tiden forbliver vinkelret på vektoren , kaldes sådanne bølger "tværgående" eller "tværgående". Vektorerne og på grund af egenskaberne af krydsproduktet er også vinkelrette på hinanden. $u=\mathbf {n} \mathbf {r} -ct/{\sqrt {\varepsilon \mu ))$ $\mathbf {n}$ $\mathbf {n}$ $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$

$\kugle$ Energitætheden af de elektriske og magnetiske felter i en plan bølge er lig med hinanden:

GHS	SI
$w_{E}=w_{H}={\frac {\varepsilon }{8\pi }}\,\mathbf {E} ^{2}$	$w_{E}=w_{H}={\frac {\varepsilon \varepsilon _{0}}{2}}\,\mathbf {E} ^{2}$

Poynting-vektoren (energifluxtæthed), uanset enhedssystemet, er relateret til den samlede energitæthed som følger:

$\mathbf {S} ={\frac {c}{\sqrt {\varepsilon \mu }}}\,\mathbf {n} \,(w_{E}+w_{H}).$

Dette forhold svarer til ligningen for momentum og energi for en masseløs partikel i den relativistiske teori . Imidlertid er hastigheden i mediet mindre end lysets hastighed i vakuum . $c/{\sqrt {\varepsilon \mu ))$ $c$

Plane og tværgående bølger er matematiske abstraktioner. På grund af effekten af diffraktion kan reelle bølger med begrænset blænde kun betragtes som plane og tværgående kun i en vis tilnærmelse.

$\kugle$ Et vigtigt specialtilfælde af planbølgeløsningen opstår, når feltstyrkerne er harmoniske periodiske funktioner. Vi vælger koordinataksen langs bølgevektoren . Så vil vektoren af det elektriske felt (såvel som magnetfeltet) ligge i planet , dvs. Hvis det elektriske felt for hver projektion i dette plan svinger periodisk, kaldes en sådan bølge en monokromatisk plan bølge: $z$ $\mathbf {k}$ $(x,y)$ $\mathbf {E} =(E_{x},E_{y},0)$

$E_{x}=a\,\cos(\omega t-\mathbf {k} \mathbf {r} +\phi _{1}),~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~E_{y}=b\,\cos(\omega t-\mathbf {k} \mathbf {r} +\phi _{2}).$

Sammenligning med den generelle planbølgeløsning fører til følgende forhold mellem en vektor og en konstant , som kaldes spredningsligningen : $\mathbf {k}$ $\omega$

$\mathbf {k} =\mathbf {n} \,{\frac {\sqrt {\varepsilon \mu }}{c}}\,\omega ,~~~~~~~~~~~~~~\mathbf { k} ^{2}={\frac {\varepsilon \mu }{c^{2}}}\,\omega ^{2}.$

I dette tilfælde kaldes vektoren bølgevektoren og den cirkulære frekvens af den monokromatiske elektromagnetiske bølge. Bølgevektormodul og cirkulær frekvens er relateret til bølgelængde og frekvens som følger: $\mathbf {k}$ $\omega$ $\lambda$ $\nu$

$k={\frac {2\pi }{\lambda )),~~~~~~~~~\omega =2\pi \nu,~~~~~~~~~~~\lambda \nu = {\frac {c}{\sqrt {\varepsilon \mu ))}.$

Konstanterne og er faseforskydninger, og og er oscillationsamplituderne langs hver akse. $\phi _{1}$ $\phi _{2}$ $-en$ $b$

Ved et fast punkt i rummet ( ), beskriver den elektriske feltvektor i det generelle tilfælde en ellipse i planet, derfor kaldes sådanne bølger elliptisk polariserede . Deres særlige tilfælde er bølger polariseret i en cirkel. Ellipsen degenererer til en ret linje svarer til svingningerne af feltstyrken langs en ret linje i planet . Sådanne bølger kaldes lineært polariserede. Situationen ligner den magnetiske induktionsvektor, som altid er vinkelret på den elektriske feltstyrke. $\mathbf {k} \mathbf {r} =\mathrm {konst}$ $(x,y)\$ $(x,y)\$

Forholdet til andre teorier

Maxwells ligninger er fuldt ud kompatible med principperne for speciel relativitet . De er også anvendelige i den mikroskopiske beskrivelse af stof, når ladede partikler adlyder kvantemekanikkens principper , og det elektromagnetiske felt forbliver klassisk (ikke kvante). I dette tilfælde er kvanteobjekter (for eksempel elektroner ) beskrevet af Schrödinger- ligningen eller Dirac-ligningen , men de elektromagnetiske interaktionspotentialer i disse ligninger er bestemt af de klassiske Maxwell-ligninger.

Ikke desto mindre er der fænomener, der kræver en mere konsekvent forening af Faraday-Maxwell felttilgangen med kvantemekanikkens principper. Det udføres ved hjælp af kvantefeltteoriens metoder inden for kvanteelektrodynamik . I dette tilfælde forbliver formen af Maxwells ligninger (Lagrangian) uændret, men felterne bliver operatorer og Maxwells ligninger bliver Heisenbergs operatorligninger . Løsningen af sådanne ligninger fører til fremkomsten af nye effekter, der er fraværende i klassisk feltteori. Disse effekter er væsentlige, især i følgende fysiske situationer:

Superstærke felter ( ≈1,32×10 18 V/m, hvor er massen af en elektron , er dens ladning, er Plancks konstant ) - arbejdet i et sådant felt ved Compton-bølgelængden af en elektron er lig i størrelsesordenen til elektronens hvileenergi, hvilket fører til spontan generering af elektron-positrondamp fra vakuum ( Schinger-effekten ) [71] . Som et resultat opstår der en effektiv interaktion af fotoner, som er fraværende i klassisk elektrodynamik, hvilket fører til en effektiv ændring i feltet Lagrangian (for eksempel i lavenergigrænsen er feltet beskrevet af Heisenberg-Euler Lagrangian [72) ] ). $E\sim m_{e}^{2}c^{3}/e\hbar$ $mig}\$ $e\$ $\hbar$
Supersvage felter med energi , hvor er feltfrekvensen (se Plancks formel ). I dette tilfælde bliver individuelle kvanter af det elektromagnetiske felt mærkbare - fotoner . $\sim \hbar \omega$ $\omega\$
At beskrive virkningerne af absorption og emission af lys fra atomer og molekyler.
For at beskrive ikke-klassiske, for eksempel komprimerede felttilstande [73] .
Ved korte afstande, sammenlignelig med Compton-bølgelængden af en elektron ≈ 3,86 × 10 −13 m, når f.eks. Coulomb-loven modificeres som følge af vakuumeffekter . $\lambda _{e}=\hbar /m_{e}c$

Aksiomatisk tilgang

Historisk set opstod Maxwells ligninger som et resultat af generalisering af forskellige eksperimentelle opdagelser. Men fra et aksiomatisk synspunkt kan de opnås ved hjælp af følgende trinsekvens [74] :

Postuleret:
- Coulombs lov (påtvinger testladningen fra den stationære ladning ); $\mathbf {F}$ $q$ $Q$
- ladningsinvarians i forskellige inertielle referencerammer;
- superpositionsprincip .
Ved hjælp af Lorentz-transformationer opnås værdien for kraftvektoren, der virker på testladningen fra den side af ladningen, der bevæger sig ensartet med en hastighed , som falder sammen med Lorentz-kraften . $\mathbf {F}$ $\mathbf {u}$ $Q$
Divergens og krølning beregnet ud fra de elektriske ( ) og magnetiske ( ) komponenter af kraften giver Maxwells ligninger for en punktladning. I kraft af superpositionsprincippet er de skrevet til en vilkårlig fordeling af ladninger og strømme. Som konklusion postuleres anvendeligheden af disse ligninger til den accelererede bevægelse af ladninger. $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$

Den anden tilgang er baseret på den lagrangske formalisme [75] . Samtidig postuleres det, at det elektromagnetiske felt er beskrevet af en lineær vekselvirkning af det firedimensionale potentiale med den fire-vektor elektriske strøm , og den frie Lagrangian er proportional med den invariante foldning af kvadratet af den elektromagnetiske felttensor . ${\displaystyle A^{\alpha ))$ ${\displaystyle j^{\alpha ))$ ${\displaystyle F^{\alpha \beta ))$

I både den første og anden tilgang antages principperne for relativitetsteorien at være etableret . Selvom det historisk er opstået på grundlag af Maxwells ligninger og Einsteins andet postulat, er der en aksiomatisk metode til at konstruere SRT , der går tilbage til Ignatovskys [76] , Frank og Rothes [77] værker og ikke bruger invariansens postulat af lysets hastighed og Maxwells ligninger.

I begge aksiomatiske tilgange opnås Maxwells ligninger i vakuum i nærværelse af gratis ladninger. Udvidelsen af disse ligninger til elektrodynamikken af kontinuerlige medier kræver yderligere involvering af forskellige modelideer om stofstrukturen.

Unikhed af løsninger af Maxwells ligninger

Maxwells ligninger er partielle differentialligninger . Derfor, for at løse dem, er det nødvendigt at indstille start- og grænsebetingelserne . For faste funktioner af ladningstæthed og strøm for ikke-stationære felter er den resulterende løsning unik. Dette faktum er formuleret som en teorem [78] [79] [80] :

Hvis styrkerne af de elektriske og magnetiske felter er givet ved det indledende tidspunkt i hvert punkt i et bestemt område af rummet , og i hele tiden de tangentielle (tangentielle) komponenter af den elektriske eller magnetiske feltstyrke ved grænsen af denne region er givet , så er der en unik løsning på Maxwells ligninger. $t=0$ $v$ $t\geq 0$ $s$

Bevis

Lad den elektriske og magnetiske induktion relateres til feltstyrkerne ved hjælp af følgende konstitutive ligninger:

$\mathbf {D} (\mathbf {r} ,t)={\hat {\varepsilon }}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t),~~~ ~~~~~~~~~~~~~~\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)={\hat {\mu }}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {H } (\mathbf {r} ,t),$

hvor og er positive bestemte, symmetriske, stationære matricer. Hvis der under givne begyndelses- og randbetingelser er to forskellige løsninger, vil følgende mængder ikke være nul: ${\hat {\varepsilon ))(\mathbf {r} )$ ${\hat {\mu ))(\mathbf {r} )$

$\mathbf {e} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {E} _{2}(\mathbf {r} ,t)-\mathbf {E} _{1}(\mathbf {r} , t),~~~~~~~~~~~~~~~~\mathbf {h} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {H} _{2}(\mathbf {r} , t)-\mathbf {H} _{1}(\mathbf {r} ,t),$

hvor indekset angiver løsningsnummeret. Da start- og randbetingelserne er givet (det samme for begge mulige løsninger), så:

$\mathbf {e} (\mathbf {r} ,0)=\mathbf {h} (\mathbf {r} ,0)=0,~~~~~~~~~~~~~~~[\mathbf { e} _{\tau }(\mathbf {r} ,t)\cup \mathbf {h} _{\tau }(\mathbf {r} ,t)]{\Big |}_{s}=0 .$

De første relationer svarer til startbetingelserne, og den anden til randbetingelserne på overfladen , hvor . (Indekset er den normale komponent til overfladen, og er tangenten. Tilsvarende for ) Substitution af funktionerne og ind i Maxwells ligninger for rotorer fører til følgende ligninger: $s$ $\mathbf {e} =\mathbf {e} _{n}+\mathbf {e} _{\tau }$ $n$ $\tau$ $\mathbf {h}$ $\mathbf {e} (\mathbf {r} ,t)$ $\mathbf {h} (\mathbf {r} ,t)$

$k\,\nabla \times \mathbf {e} =-{\frac {\partial ({\hat {\mu }}\cdot \mathbf {h} )}{\partial t)),~~~~~ ~~~~~~~~~~~~k\,\nabla \times \mathbf {h} ={\frac {\partial ({\hat {\varepsilon }}\cdot \mathbf {e} )}{ \partial-t}},$

hvor koefficienten er ens i CGS -systemet og enhed i SI -systemet . Hvis et af differensfelterne eller er lig med nul, så på grund af nul begyndelsesbetingelserne, henholdsvis, fra den første eller anden ligning følger det, at det ubestemte differensfelt er lig med henholdsvis nul eller , og unikhed i disse specielle tilfælde er bevist. $k$ $c$ $\mathbf {e}$ $\mathbf {h}$ $\mathbf {h}$ $\mathbf {e}$

Lad os antage, at begge differensfelter ikke er lig med nul. Hvis den første ligning ganges med , og den anden med , og trækkes fra hinanden, vil følgende udtryk blive opnået: $\mathbf {h}$ $\mathbf {e}$

-2k\,\nabla \cdot (\mathbf {e} \times \mathbf {h} )={\frac {\partial (\mathbf {e} \cdot {\hat {\varepsilon ))\cdot \mathbf { e} )}{\partial t}}+{\frac {\partial (\mathbf {h} \cdot {\hat {\mu }}\cdot \mathbf {h} )}{\partial t}}).

Dette udtryk kan integreres over volumen og anvende Gauss-sætningen : $v$

-2k\oint \limits _{s}[\mathbf {e} \times \mathbf {h} ]\,d\mathbf {s} ={\frac {d}{dt))\int \limits _{v}(\mathbf {e} \cdot {\hat {\varepsilon }}\cdot \mathbf {e} +\mathbf {h} \cdot {\hat {\mu }}\cdot \mathbf {h} )\,dv.

Komponenterne af vektorerne tangentielle (tangentielle) til overfladen eller er lig med nul for enhver (grænsebetingelser), derfor er integralet over overfladen også lig med nul. Følgelig: $s$ $\mathbf {e} _{\tau }$ $\mathbf {h} _{\tau }$ $t\geq 0$

{\frac {d}{dt}}\int \limits _{v}(\mathbf {e} \cdot {\hat {\varepsilon }}\cdot \mathbf {e} +\mathbf {h} \cdot {\hat {\mu }}\cdot \mathbf {h} )\,dv=0.

Den resulterende relation integreres over tid. Da på det indledende tidspunkt for funktionen er integrationskonstanten lig med nul og for enhver : $t=0$ $\mathbf {e} (\mathbf {r} ,0)=\mathbf {h} (\mathbf {r} ,0)=0$ $t$

\int \limits _{v}(\mathbf {e} \cdot {\hat {\varepsilon ))\cdot \mathbf {e} +\mathbf {h} \cdot {\hat {\mu )) \cdot \mathbf {h} )\,dv=0.

Integranden er positiv bestemt (altid større end eller lig med nul). Integralet af en sådan funktion er kun nul, hvis integranden er identisk med nul. Derfor, til enhver tid inde i volumen og . Så løsningerne er de samme. $\mathbf {e} (\mathbf {r} ,t)=0$ $\mathbf {h} (\mathbf {r} ,t)=0$

For det unikke ved løsningen af Maxwell-ligningerne kan man i stedet for at specificere feltets tangentielle komponenter kræve, at betingelsen for impedanstypen er opfyldt ved grænsen

\left(\mathbf {E} _{\tau }-Z[\mathbf {n} \times \mathbf {H} ]\right){\Big |}_{s}=0,

hvor impedansen er valgt for at udelukke tilstrømningen af energi udefra. Denne betingelse giver os mulighed for at formulere unikhedssætningen også i det ubegrænsede tilfælde, og impedanstilstanden bliver til Sommerfeld-strålingstilstanden ved uendelighed. $Z$

For processer, der er harmoniske i tid, er det unikke ved løsningen af problemet uden indledende betingelser sikret ved en vilkårlig lille absorption af energi inde i volumenet eller dets lækage gennem overfladen (eksklusive naturlige svingninger ved reelle resonansfrekvenser ). $v$ $s$

I stationære problemer med elektrostatik og magnetostatik er den eneste løsning for stabile felter kun bestemt af randbetingelserne.

Numerisk løsning af Maxwells ligninger

Med udviklingen af computerteknologi er det blevet muligt at løse mange problemer inden for elektrodynamikken ved hjælp af numeriske metoder [81] , som gør det muligt at bestemme fordelingen af det elektromagnetiske felt under givne begyndelses- og randbetingelser ved hjælp af algoritmer baseret på Maxwells ligninger.

De vigtigste metoder er projektionsmetoder, hvor løsningen projiceres på et passende funktionelt grundlag, og diskretiseringsmetoder, hvor et område i rummet er opdelt i mange små begrænsede områder.

I Bubnov-Galyorkin projektionsmetoden [82] betragtes løsningen af et grænseværdiproblem som en tilnærmet finit udvidelse med hensyn til basisfunktioner. Efter at have substitueret ekspansionen i de oprindelige ligninger under hensyntagen til kravet om, at den resulterende uoverensstemmelse skal være ortogonal i forhold til de valgte basisfunktioner, opnås et system af lineære ligninger for ekspansionskoefficienterne.

Til computerberegninger bruges mere universelle diskretiseringsmetoder oftere:

Finite Element Method (FEM), som bruges til at løse en bred klasse af problemer, der reducerer til partielle differentialligninger. I teorien om elektromagnetisme bruges det oftere til at beregne problemer med elektrostatik, magnetostatik, bølgeudbredelse og kvasi-stationære fænomener [83] [84] . I finite element-metoden er det betragtede område af rummet, hvori der søges en løsning, opdelt i et stort antal simple diskrete elementer, normalt, men ikke nødvendigvis, trekantede (i det todimensionale tilfælde) eller tetraedriske (i de tre- dimensionshus). Elementernes form og tæthed tilpasses opgavens krav. Opførslen af individuelle elementer betragtes som et resultat af den lineære interaktion mellem naboknuder i partitionsgitteret under påvirkning af eksterne kræfter og beskrives af matrixligninger. Løsningen af problemet reducerer således til at løse sparsomme systemer af et stort antal lineære matrixligninger. Metoden er implementeret i mange kommercielle og gratis softwarepakker (se artiklen Finite Element Method ).

Tidsdomæne-finite difference-metoden (FDTD) til at finde tid og spektrale afhængigheder [85] [86] blev udviklet specifikt til løsning af Maxwell-ligningerne, hvor ændringen i de elektriske og magnetiske felter i tid afhænger af ændringen i det magnetiske felt. og elektriske felter i rummet, henholdsvis . Inden for rammerne af denne metode udsættes et rumområde og et tidsinterval for ensartet diskretisering med tildeling af begyndelsesbetingelser. De endelige differensligninger opnået fra Maxwell-ligningerne løses på hvert efterfølgende tidspunkt af tidsgitteret, indtil løsningen af problemet er opnået over hele det nødvendige tidsinterval.

Kilder

↑ Oersted H.K. "Eksperimenter relateret til virkningen af en elektrisk konflikt på en magnetisk nål", i bogen. Amper A. M. Elektrodynamik. - M. : AN SSSR, 1954. - S. 433-439. — 492 s. - 5000 eksemplarer.
↑ J.-B. Biot og F. Savart , Note sur le Magnétisme de la pile de Volta Arkiveret 2. november 2009 på Wayback Machine . Annales Chim. Phys. - bind. 15.-s. 222-223 (1820)
↑ Mario Gliozzi. Fysikkens historie. - M .: Mir, 1970. - S. 253-257. — 464 s.
↑ Maxwell J.K. Udvalgte værker om teorien om det elektromagnetiske felt. - M. : GITTL, 1952. - S. 349. - 687 s.
↑ Maxwell J.K. Udvalgte værker om teorien om det elektromagnetiske felt. - M. : GITTL, 1952. - S. 632. - 687 s.
↑ Maxwell J.K. Om Faradays kraftlinjer i bogen. Maxwell JK Selected arbejder med teorien om det elektromagnetiske felt. - M. : GITTL, 1952. - S. 11-88. — 687 s.
↑ Maxwell JC On Faraday's Lines of Force // Transactions of the Cambridge Philosophical Society. - 1856. - T. 10 , nr. 1 . - S. 155-229 . Arkiveret fra originalen den 17. december 2008.
↑ 1 2 3 Shapiro I. S. Om historien om opdagelsen af Maxwells ligninger // Uspekhi fizicheskikh nauk . - Det russiske videnskabsakademi , 1972. - T. 108 , nr. 2 . - S. 319-333 . Arkiveret fra originalen den 22. maj 2013. (Russisk)
↑ Maxwell J.K. Om fysiske kraftlinjer i bogen. Maxwell JK Selected arbejder med teorien om det elektromagnetiske felt. - M. : GITTL, 1952. - S. 107-177. — 687 s.
↑ Maxwell JC On Physical Lines of Force // Philosophical Magazine: Ser. 4. - 1861.1862. - T. 11.13 . - S. 161-175, 281-291, 338-347; 12-23, 85-95 . Arkiveret fra originalen den 12. juni 2009.
↑ Maxwell J.K. Dynamisk teori om det elektromagnetiske felt i bogen. Maxwell JK Selected arbejder med teorien om det elektromagnetiske felt. - M. : GITTL, 1952. - S. 251-316. — 687 s.
↑ Maxwell JC En dynamisk teori om det elektromagnetiske felt // Philosophical Transactions of the Royal Society of London : tidsskrift. - 1865. - Bd. 155 . - S. 459-512 . Arkiveret fra originalen den 28. juli 2011.
↑ Maxwell JC A Treatise on Electricity And Magnetism, 1873
↑ Paul J. Nahin. Oliver Heaviside: livet, arbejdet og tiderne for et elektrisk geni fra den victorianske tidsalder (engelsk) . — JHU Tryk, 2002. - S. 108-112. — ISBN 9780801869099 . Arkiveret 1. oktober 2014 på Wayback Machine
↑ Aharonov, Y; Bohm, D. Betydning af elektromagnetiske potentialer i kvanteteori (engelsk) // Physical Review : journal. - 1959. - Bd. 115 . - S. 485-491 . - doi : 10.1103/PhysRev.115.485 .
↑ Nahin PJ Oliver Heaviside: livet, arbejdet og tiderne for et elektrisk geni fra den victorianske tidsalder Arkiveret 25. september 2014 på Wayback Machine . — JHU Tryk. - pp. 108-112. — ISBN 978-0-8018-6909-9
↑ 1 2 Einstein A. Zur Elektrodynamik bewegter Körper Ann Phys. 1905. Bd 17. S. 891 _ _ _ _ - M . : Nauka, 1965. - T. 1. - S. 7-35. - 700 sek. - 32.000 eksemplarer.
↑ Myron Evans. Moderne ikke-lineær optik (neopr.) . - John Wiley and Sons , 2001. - S. 240. - ISBN 9780471389316 . Arkiveret 29. september 2014 på Wayback Machine
↑ Larmor J. Æter og stof. – Cambridge. - 1900. - s. 162-193. Oversættelse: Larmor J. Ether og stof i bogen. Relativitetsprincippet. Samling af værker om den særlige relativitetsteori / Udarbejdet af A. A. Tyapkin. - M .: Atomizdat , 1973. - S. 47-64. — 332 s.
↑ Lorentz H. A. Elektromagnetiske fænomener i et system, der bevæger sig med en hastighed, der er mindre end lysets. — Amst. Proc. - V. 6. - S. 809; 1904. - V. 12. - S. 986. Oversættelse: Lorentz G. A. Elektromagnetiske fænomener i et system, der bevæger sig med enhver hastighed, der er mindre end lysets hastighed i bogen. Relativitetsprincippet. Samling af værker om den særlige relativitetsteori / Udarbejdet af A. A. Tyapkin. — M .: Atomizdat , 1973. — S. 67-86. — 332 s.
↑ Poincare H. Sur la dynainique de l'electron. — Comptes Rendues, Acad. sci. — Paris. - 1905. - V. 140. - S. 1504. Oversættelse: Poincare A. Om elektronens dynamik i bogen. Relativitetsprincippet. Samling af værker om den særlige relativitetsteori / Udarbejdet af A. A. Tyapkin. - M . : Atomizdat , 1973. - S. 90-93. — 332 s.
↑ Pauli W. Relativitetsteori. - M . : Videnskab. - S. 13-17.
↑ Berestetsky V. B. , Lifshits E. M. , Pitaevsky L. P. Quantum electrodynamics. - 4. udgave, revideret. — M .: Fizmatlit , 2002. — 720 s. - (" Teoretisk fysik ", bind IV). — ISBN 5-9221-0058-0 .
↑ L. B. Okun . Bilag I // Elementarpartiklers fysik. — M .: Nauka, 1984.
↑ D. V. Sivukhin . Om det internationale system for fysiske mængder // Uspekhi fizicheskikh nauk . - Det russiske videnskabsakademi , 1979. - T. 129 , nr. 10 . - S. 335 . Arkiveret fra originalen den 14. april 2010. (Russisk)
↑ S. G. Karshenboim. Grundlæggende fysiske konstanter: rolle i fysik og metrologi og anbefalede værdier // Uspekhi fizicheskikh nauk . - Det russiske videnskabsakademi , 2005. - T. 175 , nr. 3 . - S. 271 . Arkiveret fra originalen den 28. marts 2010. (Russisk)
↑ Bolotovsky B.M. Oliver Heaviside . - M . : Nauka, 1985. - S. 43-44. — 260 s. Arkiveret 14. marts 2022 på Wayback Machine
↑ O. Haviside, "On the Electromagnetic Effects due to the Motion of Electrification through a Dielectric" Arkiveret 20. januar 2012 på Wayback Machine , Phil.Mag. S.5 27 , s. 324, 1889.
↑ Kartsev V.P. "Adventures of great equations", M.: Knowledge, 1986.
↑ Dengub V. M. , Smirnov V. G. Enheder af mængder. Ordbogsreference. - M . : Forlag af standarder, 1990. - S. 213. - 240 s. — ISBN 5-7050-0118-5 .
↑ Mohr, Peter J.; Taylor, Barry N.; Newell, David B. (2008). CODATA anbefalede værdier af de grundlæggende fysiske konstanter: 2006. Rev. Mod. Phys. 80: 633-730. doi : 10.1103/RevModPhys.80.633 .
↑ Værdier af fysiske konstanter . Hentet 30. marts 2007. Arkiveret fra originalen 31. august 2014. (ubestemt)
↑ Sena L. A. Enheder af fysiske størrelser og deres dimensioner. — M.: Nauka. Ch. udg. Fysisk.-Matematik. lit., 1988. - 432 s., ill. ISBN 5-02-013848-7 , § 7.5.
↑ For eksempel tabeller over fysiske mængder / acad. I. K. Kikoin . — M .: Atomizdat , 1976.
↑ Brydningsindeksdatabase . Hentet 17. april 2010. Arkiveret fra originalen 22. december 2017. (ubestemt)
↑ Stratton J.A. Theory of Electromagnetism. - M. - L. : GITTL, 1948. - S. 42-45. — 539 s. - 8000 eksemplarer.
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Felteori. - 7. udgave, revideret. — M .: Nauka , 1988. — S. 112-113. - (" Teoretisk fysik ", bind II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Felteori. - 7. udgave, revideret. — M .: Nauka , 1988. — S. 69-76,95-96. - (" Teoretisk fysik ", bind II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Stratton J.A. Theory of Electromagnetism. - M. - L. : GITTL, 1948. - S. 34-35. — 539 s. - 8000 eksemplarer.
↑ 1 2 Landau L. D. , Lifshitz E. M. Felteori. - 7. udgave, revideret. — M .: Nauka , 1988. — S. 215-218. - (" Teoretisk fysik ", bind II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Ginzburg V. L. Teoretisk fysik og astrofysik. - M. : Nauka, 1981. - S. 12. - 503 s.
↑ Stratton J.A. Theory of Electromagnetism. - M. - L. : GITTL, 1948. - S. 37-40. — 539 s. - 8000 eksemplarer.
↑ Essex EA Hertz vektorpotentialer for elektromagnetisk teori. — American Journal of Physics . - 45. - 1977. - 1099-1101.
↑ A. Nisbet, "Hertzian elektromagnetiske potentialer og tilhørende gauge transformationer", Proc. af Royal Soc. af London. Ser. A., 231, #1185, 250-263, 1955.
↑ P. Debye. Der Lichtdruck auf Kugeln von beliebigem Material (tysk) // Annalen der Physik . - 1909. - Bd. 30 . - S. 57-136 .
↑ Stratton J.A. Theory of Electromagnetism. - M. - L. : GITTL, 1948. - S. 345-348. — 539 s. - 8000 eksemplarer.
↑ R. Janaswamy. En note om {TE/TM}-nedbrydning af elektromagnetiske felter i tredimensionelt homogent rum // IEEE- transaktioner om antenner og udbredelse . - 2004. - Bd. 52 . - S. 2474-2476 .
↑ L. Silberstein. Electromagnetische Grundgleichungen in bivectorieller Behandlung (tysk) // Annalen der Physik . - 1907. - Bd. 22 . — S. 579 .
↑ 1 2 I. Bialynicky-Birula. Fotonbølgefunktion // Fremskridt i optik . - 1996. - Bd. 36 . - S. 245-294 .
↑ Stratton J.A. Theory of Electromagnetism. - M. - L. : GITTL, 1948. - S. 40-42. — 539 s. - 8000 eksemplarer.
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Felteori. - 7. udgave, revideret. — M .: Nauka , 1988. — S. 88-90. - (" Teoretisk fysik ", bind II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Müller-Kirsten HJW Elektrodynamik: En introduktion inklusive kvanteeffekter. - Singapore: World Scientific, 2004. - S. 398.399. — 522 s. — ISBN 981-238-807-9 .
↑ Müller-Kirsten HJW Elektrodynamik: En introduktion inklusive kvanteeffekter. - Singapore: World Scientific, 2004. - S. 399. - 522 s. — ISBN 981-238-807-9 .
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Felteori. - 7. udgave, revideret. — M .: Nauka , 1988. — S. 90-91. - (" Teoretisk fysik ", bind II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Müller-Kirsten HJW Elektrodynamik: En introduktion inklusive kvanteeffekter. - Singapore: World Scientific, 2004. - S. 403. - 522 s. — ISBN 981-238-807-9 .
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Felteori. - 7. udgave, revideret. — M .: Nauka , 1988. — S. 70-73. - (" Teoretisk fysik ", bind II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ 1 2 Müller-Kirsten HJW Electrodynamics: An Introduction Including Quantum Effects. - Singapore: World Scientific, 2004. - S. 428. - 522 s. — ISBN 981-238-807-9 .
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Felteori. - 7. udgave, revideret. - M .: Nauka , 1988. - S. 102. - (" Theoretical Physics ", bind II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Fedosin SG Princippet om mindste handling i kovariant teori om gravitation. Arkiveret 12. marts 2017 på Wayback Machine Hadronic Journal, 2012, Vol. 35, nr. 1, s. 35-70; artikel på russisk: Princippet om mindste handling i den kovariante teori om tyngdekraften. Arkiveret 12. marts 2017 på Wayback Machine
↑ Bolibrukh A. A. Maxwell's Equations and Differential Forms Arkivkopi dateret 1. februar 2019 på Wayback Machine , MTsNMO, 2002.
↑ Misner C. , Thorn C. , Wheeler J. Gravity . - M . : Mir, 1977. - T. 1. - S. 195,196. — 474 s.
↑ Misner C. , Thorn C. , Wheeler J. Gravity . - M . : Mir, 1977. - T. 1. - S. 153-155. — 474 s.
↑ Dirac P.A.M. Generel relativitetsteori. - M . : Atomizdat, 1978. - 64 s.
↑ Van der Werden B. L. Metode til gruppeteori i kvantemekanik, M., Editorial URSS, 2004, ISBN 5-354-00700-3
↑ Rumer Yu. B. Spinor-analyse, M., NKTP, 104 sider.
↑ Saveliev, 1970 , § 109. Bølgeligning.
↑ Mignani, R., Recami, E., Baldo, M. , Om en Dirac-lignende ligning for fotonen, ifølge Ettore Majorana, Lett. Nuovo Cimento 11:568-572 (1974)
↑ A. I. Akhiezer , V. B. Berestetsky Kvanteelektrodynamik. - M., Nauka, 1981. - s. 80
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Felteori. - 7. udgave, revideret. - M . : Nauka , 1988. - S. 128-130. - (" Teoretisk fysik ", bind II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Berkeley fysikkursus. Bind 2. Purcell E. Elektricitet og magnetisme. — M.: Nauka, 1971.
↑ Schwinger J. Om gauge-invarians og vakuumpolarisation // Phys . Rev. Lett. . - 1951. - Bd. 82 . — S. 664 .
↑ Heisenberg W. , Euler H. Folgerungen aus der Dlracschen Theorie des Positrons (tysk) // Z. Phys. . - 1936. - Bd. 98 . - S. 714 .
↑ A. V. Belinsky, A. S. Chirkin Compressed state - artikel fra Physical Encyclopedia
↑ Purcell E. Berkeley fysikkursus. - M . : Videnskab. - T. II. elektricitet og magnetisme. - S. 149-181.
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Felteori. - 7. udgave, revideret. — M .: Nauka , 1988. — 512 s. - (" Teoretisk fysik ", bind II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ af W. v. Ignatowsky "Einige allgemeine Bemerkungen zum Relativitätsprinzip" Verh. d. Deutsch. Phys. Ges. 12, 788-96, 1910 ( russisk oversættelse Arkiveret 2. juli 2017 på Wayback Machine )
↑ af Philipp Frank og Hermann Rothe "Über die Transformation der Raumzeitkoordinaten von ruhenden auf bewegte Systeme" Ann. der Physic, Ser. 4, bind. 34, nr. 5, 1911, s. 825-855 ( russisk oversættelse Arkiveret 29. august 2014 på Wayback Machine )
↑ Stratton J.A. Theory of Electromagnetism. - M. - L. : GITTL, 1948. - S. 429-430. — 539 s. - 8000 eksemplarer.
↑ Nikolsky V.V., Nikolskaya T.I. Elektrodynamik og udbredelse af radiobølger. M.: Nauka, 1989. - C. 128-130
↑ XL Zhou "Om uafhængighed, fuldstændighed af Maxwells ligninger og unikkesætninger i elektromagnetik" Progress In Electromagnetics Research, PIER 64, 117-134, 2006 pdf Arkiveret 2. juni 2010 på Wayback Machine
↑ Chew WC, Jin J., Michielssen E., Song J. Fast and Efficient Algorithms in Computational Electromagnetics . — Artech House, 2001. - ISBN 1-58053-152-0 .
↑ Nikolsky V.V., Nikolskaya T.I. Elektrodynamik og udbredelse af radiobølger. M.: Nauka, 1989. - C. 416-436
↑ Sylvester P. og Ferrari R. Finite Element Method for Radio and Electrical Engineers. — M .: Mir, 1986. — 336 s.
↑ Monk, P. Finite Element Methods for Maxwell's Equations . — Oxford University Press , 2003.
↑ Taflove A. og Hagness SC Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method . — Artech House, 2005.
↑ Jin, J. The Finite Element Method in Electromagnetics . — 2. - Wiley-IEEE Press , 2002. - ISBN 0-47143-818-9 .

Noter

↑ Undtagelsen var Millers eksperimenter på Mount Wilson. Efterfølgende gentagelse af disse eksperimenter af andre forskere ved hjælp af mere præcist udstyr afslørede ikke effekten. Se gentagelser af Michelson- eksperimentet arkiveret 12. januar 2020 på Wayback Machine
↑ Det vil sige vektorfelter, der indeholder divergenser, der er skalarer.
↑ Symmetrisk Gaussisk GHS bruges her. For Maxwells ligninger i andre versioner af CGS og i en universel form, der ikke afhænger af valget af system af enheder, se artiklen CGS § Udvidelser af CGS og den universelle form for elektrodynamikkens ligninger .
↑ 1 2 3 4 Hvis frie magnetiske monopoler eksperimentelt opdages, vil dette kræve introduktion i Gauss-loven for magnetfeltet for tætheden af magnetiske ladninger og tætheden af deres strømme i Faradays induktionslov.
↑ For eksempel indeholder en leder normalt mindst to typer ladningsbærere med forskellige fortegn, så den samlede ladningstæthed i lederen kan være nul, men strømmen kan stadig være til stede (og så er dens tæthed ikke lig med nul).
↑ Her og nedenfor bruges de mest anvendte konventioner i moderne litteratur (om nummerering af koordinater, metrisk signatur osv.), som generelt set kan vælges på en lidt anden måde, som findes i litteraturen.

Se også

Litteratur

Historiske publikationer

Amper A. M. Elektrodynamik. — M. : AN SSSR, 1954. — 492 s. - 5000 eksemplarer.
Maxwell JK Selected arbejder med teorien om det elektromagnetiske felt. - M. : GITTL, 1952. - 687 s.
Maxwell J.K. Artikler og taler . — M .: Nauka, 1968. — 423 s.
Faraday M. Eksperimentel forskning i elektricitet. - M. : Videnskabsakademiet i USSR, 1947-1959. - bind I-III.
Maxwell JC En dynamisk teori om det elektromagnetiske felt // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. - 1865. - T. 155 . - S. 459-512 .
Maxwell JC , A Treatise on Electricity And Magnetism - Bind 1 - 1873 - Posner Memorial Collection - Carnegie Mellon University
Maxwell JC , A Treatise on Electricity And Magnetism - bind 2 - 1873 - Posner Memorial Collection - Carnegie Mellon University
Maxwell J.K. Afhandling om elektricitet og magnetisme. - M . : Nauka, 1989. - T. 1.
Maxwell J.K. Afhandling om elektricitet og magnetisme. - M . : Nauka, 1989. - T. 2.
Maxwell JC On Physical Lines of Force // Philosophical Magazine: Ser. 4. - 1861.1862. - T. 11.13 . - S. 161-175, 281-291, 338-347; 12-23, 85-95 .
Maxwell JC On Faraday's Lines of Force // Transactions of the Cambridge Philosophical Society. - 1856. - T. 10 , nr. 1 . - S. 155-229 .

Udviklingens historie

Bolotovsky B.M. Oliver Heaviside . — M .: Nauka , 1985. — 260 s.
Kartsev V.P. Maxwell (Liv for bemærkelsesværdige mennesker). - M . : Young Guard , 1976. - 336 s.
Kartsev VP Adventures af store ligninger . — M .: Viden , 1986. — 288 s.
Shapiro I. S. Om historien om opdagelsen af Maxwells ligninger // Uspekhi fizicheskikh nauk . - Det russiske videnskabsakademi , 1972. - T. 108 , nr. 2 . - S. 319-333 . (Russisk)
Cooper L. Fysik for alle. v.1 = Leon N. Cooper An Introduction to the Meaning and Structure of Phisics, 1968,1970. — M .: Mir , 1973.

Almene fysik kurser

Astakhov AV, Shirokov Yu. M. Fysik kursus, bind II, Elektromagnetisk felt. — M .: Nauka , 1980. — 360 s.
Baskakov S.I. Grundlæggende om elektrodynamik. - M .: Sovjetisk radio , 1973. - 248 s.
Kalashnikov S. G. Elektricitet (Generelt kursus i fysik, bind 2). - 6. udg. — M .: Fizmatlit , 2003. — 624 s. — ISBN 5-9221-0312-1 .
Matveev A. N. Elektricitet og Magnetisme. - M .: Højere skole , 1983.
Nikolsky VV, Nikolskaya TI Elektrodynamik og udbredelse af radiobølger. M.: Nauka , 1989.
Penner D. I., Ugarov V. A. Elektrodynamik og speciel relativitetsteori. M.: Oplysning , 1980.
Purcell E. Elektricitet og Magnetisme. Berkeley fysik kursus. Bind 2. M.: Nauka , 1971.
Savelyev I.V. Kursus i generel fysik, bind II. Elektricitet. - Videnskab, 1970.
Sivukhin DV Almen kursus i fysik. - Ed. 3., rev. og yderligere .. - M . : Nauka , 1996. - T. III. Elektricitet. - 320 sek. — ISBN 5-02-014054-6 ..
Tonnela M. A. Grundlæggende om elektromagnetisme og relativitetsteorien. M.: IL, 1962.
Feynman R. , Layton R., Sands M. Feynman-forelæsningerne i fysik. Bind 5. Elektricitet og magnetisme. M.: Mir , 1965
Feynman R. , Layton R., Sands M. Feynman-forelæsningerne i fysik. Bind 6. Elektrodynamik. M.: Mir , 1966

Kurser i teoretisk fysik

Baranov A. M., Ovchinnikov S. G., Zolotov O. A., Paklin N. N., Titov L. S. Teoretisk fysik: Elektrodynamik. Elektrodynamik af kontinuerlige medier. Lærebog for kurset "Elektrodynamik og grundlæggende om kontinuums elektrodynamik" . - Krasnoyarsk: SFU , 2008. - 198 s.
Jackson J. Klassisk elektrodynamik. — M .: Mir , 1965.
Landau L. D., Lifshits E. M. Field Theory (Theoretical Physics, bind II). — M .: Fizmatlit , 2003. — 536 s. — ISBN 5-9221-0056-4 .
Landau L. D., Lifshitz E. M. Elektrodynamik af kontinuerte medier (Theoretical Physics, bind VIII). — M .: Fizmatlit , 2005. — 656 s. — ISBN 5-9221-0123-4 .
Batygin VV, Toptygin IN Moderne elektrodynamik. Del 1. Mikroskopisk teori. - M. : NIC "Regular and Chaotic Dynamics", 2005. - 736 s. — ISBN 5-93972-492-2 .
Toptygin I. N. Moderne elektrodynamik. Del 2. Teori om elektromagnetiske fænomener i stof. - M. : NIC "Regular and Chaotic Dynamics", 2005. - 848 s. — ISBN 5-93972-493-0 .
Stratton J.A. Teori om elektromagnetisme. - M. - L. : GITTL, 1948. - 539 s. - 8000 eksemplarer.
Tamm I. E. Fundamentals af teorien om elektricitet. — M .: Nauka , 1989.
Fushchich V. I., Nikitin A. G. Symmetri af Maxwells ligninger. - Kiev: Naukova Dumka , 1983. - C. 200.
Bolibrukh AA Maxwells ligninger og differentialformer . — MTsNMO, 2002.

Løsninger til Maxwells ligninger

Balandin M. Yu., Shurina E. P. Vector Finite Element Method: Lærebog . - Novosibirsk: NSTU , 2001. - 69 s.
Vainshtein L.A. Elektromagnetiske bølger. - M .: Radio og kommunikation , 1988.
Vonsovsky S. V. Magnetisme. Magnetiske egenskaber af dia-, para-, ferro-, antiferro- og ferrimagneter. — M.: Nauka , 1971.
Ginzburg VL Udbredelse af elektromagnetiske bølger i plasma. - 2. udg. — M.: Nauka , 1967.
Sylvester P. og Ferrari R. Finite element-metode for radio- og elektroingeniører. — M .: Mir , 1986. — 336 s.

Links

Ordbøger og encyklopædier	Fantastisk catalansk Fantastisk norsk Stor russer Great Soviet (1 udg.) Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	BNF : 12043257h GND : 4221398-8 J9U : 987007558284105171 LCCN : sh85082387 NKC : ph218895

Matematisk fysik

Typer af ligninger

Grænsebetingelser

Matematisk fysiks ligninger

Diffusion og konvektion	Varme ligning Diffusionsligning Mason-Weaver ligning
Hydrodynamik	Overførselsligning Navier-Stokes ligninger Euler ligning Gromeka-lam ligning Vortex ligning Burgers ligning Lavt vand ligninger Korteweg-de Vries ligning
Elektromagnetisme	Maxwells ligninger Helmholtz ligning Landau-Lifshitz ligning Screenet Poisson-ligning
Kvantemekanik	Schrödinger ligning Heisenberg ligning Rarita-Schwinger ligning Hartrees ligning Dirac ligning Klein-Gordon ligning
Generelle modeller	Kontinuitetsligning bølgeligning Fokker-Planck ligning Poisson ligning

Løsningsmetoder

Metoder til løsning af differentialligninger

Gittermetoder

Finite element metoder	Finite element metode Galerkin metode Diskontinuerlig Galerkin-metode Flerskala Finite Element-metode Multigrid metode
Andre metoder	Endelig forskelsmetode Endeligt volumen metode Godunovs metode Grænseelementmetode

Ikke-grid metoder

Studie af ligninger

relaterede emner