Vlasov ligning

Vlasov-ligningen er et system af ligninger, der beskriver dynamikken i et ladet partikelplasma , idet der tages højde for langrækkende Coulomb-kræfter ved hjælp af et selvkonsistent felt . Det blev først foreslået af A. A. Vlasov i artiklen [1] og senere præsenteret i monografien [2] .

Problemer med den gaskinetiske tilgang

I sit arbejde påpeger Vlasov først uanvendeligheden af den gaskinetiske tilgang baseret på Boltzmann-ligningen (det antages, at kollisionsintegralet kun afhænger af parkollisioner) til beskrivelsen af plasmadynamik med Coulomb-interaktion . Han bemærker følgende problemer, når han forsøger at anvende teorien baseret på parkollisioner til beskrivelsen af plasma:

parkollisionsapproksimationen er inkonsistent med studierne af Rayleigh og Langmuir og Tonks , som forudsagde og undersøgte Langmuir-bølger i elektrongasplasmaer. [3] [4]
parkollisionstilnærmelsen er ikke formelt anvendelig for Coulomb-interaktionen på grund af divergensen af det totale spredningstværsnit.
parkollisionstilnærmelsen forklarer ikke Merrills og Webbs eksperimenter med unormal spredning af elektroner i et gasformigt plasma. [5]

Som årsagen til disse problemer peger Vlasov på Coulomb-kræfternes langtrækkende natur, hvilket fører til interaktionen mellem hver af partiklerne med en kombination af andre partikler. Langrækkende handling betyder i dette tilfælde, at denne krafts indflydelsesradius er større end den gennemsnitlige afstand mellem partiklerne.

Vlasov-Maxwell ligninger

Vlasov betragtede oprindeligt et system af generelle plasmaligninger, inklusive tre komponenter (elektroner, ioner og neutrale atomer), og skrev Boltzmann-ligningen for den s -te plasmakomponent i formen

{\frac {\partial f_{s}}{\partial t}}+\mathrm {div} _{\mathbf {r} }{\vec {v}}f_{s}+{\frac { e_{s}}{m_{s}}}\left({\vec {E}}+{\frac {1}{c}}[{\vec {v}},{\vec {B}}] \right)\mathrm {grad} _{\mathbf {v} }f_{s}=\left[{\frac {\partial f_{s}}{\partial t}}\right]_{s1}^{ st}+\venstre[{\frac {\partial f_{s}}{\partial t}}\right]_{s2}^{st}+\venstre[{\frac {\partial f_{s}}{ \partial t}}\right]_{s3}^{st}.

hvor er fordelingsfunktionen . Dette system af ligninger omfattede også Maxwells ligninger og ligninger for ladning og strøm udtrykt i form af fordelingsfunktioner . Da Vlasov kun var interesseret i bølgeløsninger, forsømte han bidragene fra kollisionsintegraler, da det ifølge estimater viste sig, at frekvenserne af plasmabølger er meget højere end frekvenserne af parkollisioner af partikler i plasma. Det vil sige, at i stedet for at beskrive vekselvirkningen mellem ladede partikler i et plasma ved hjælp af kollisioner, foreslog han at bruge et selvkonsistent felt skabt af ladede plasmapartikler til at beskrive et langtrækkende potentiale. I stedet for Boltzmann-ligningen foreslår Vlasov at bruge følgende ligningssystem til at beskrive ladede plasmakomponenter ( elektroner med en fordelingsfunktion og positive ioner med en fordelingsfunktion ): $f_{s}({\vec {r)),{\vec {p)),t)$ $f_s$ $f_{e}({\vec {r)),{\vec {p)),t)$ $f_{i}({\vec {r)),{\vec {p)),t)$

{\frac {\partial f_{e}}{\partial t}}+{\vec {v}}{\frac {\partial f_{e}}{\partial {\vec {x}}} }-e{\Bigl (}{\vec {E}}+{\frac {1}{c}}[{\vec {v}},{\vec {B}}]{\Bigr )}{\ frac {\partial f_{e}}{\partial {\vec {p}}}}=0

{\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}+{\vec {v}}{\frac {\partial f_{i}}{\partial {\vec {x}}} }+e{\Bigl (}{\vec {E}}+{\frac {1}{c}}[{\vec {v}},{\vec {B}}]{\Bigr )}{\ frac {\partial f_{i}}{\partial {\vec {p}}}}=0

{\rm {rot}}{\vec {B}}={\frac {4\pi {\vec {j}}}{c}}+{\frac {1}{c}}{\ frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t)),\quad {\rm {rot}}{\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}

{\rm {div}}{\vec {E}}=4\pi \rho ,\quad {\rm {div}}{\vec {B}}=0

\rho =e\int (f_{i}-f_{e})d^{3}{\vec {p)),\quad {\vec {j))=e\int (f_{i }-f_{e}){\vec {v}}d^{3}{\vec {p}}

Her er elektronladningen , er lysets hastighed og er de selvkonsistente elektriske og magnetiske felter, der skabes på et punkt ad gangen af alle ladede plasmapartikler. Den væsentlige forskel mellem dette ligningssystem og ligningerne for bevægelse af ladede partikler i et eksternt elektromagnetisk felt er, at selve det selvkonsistente elektromagnetiske felt på en kompleks måde afhænger af fordelingsfunktionerne af ioner og elektroner. $e$ $c$ ${\vec {E}}({\vec {r}},t)$ ${\vec {B}}({\vec {r}},t)$ ${\vec {r))$ $t$

Vlasov-Poisson-ligninger

Vlasov-Maxwell-ligningerne er et system af ikke-lineære integro-differentialligninger . Hvis udsving i fordelingsfunktioner i forhold til ligevægtstilstanden er små, kan dette ligningssystem lineariseres . Linearisering vil give et system af Vlasov-Poisson-ligninger, der beskriver plasmadynamikken i et selvkonsistent elektrostatisk felt. Vlasov-Poisson-ligningerne er et system af Vlasov-ligninger for hver plasmakomponent (vi betragter den ikke-relativistiske grænse):

{\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial {\vec { x))))+{\frac {q_{\alpha }{\vec {E}}}{m_{\alpha }}}\cdot {\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial {\ vec{v}}}}=0,

og Poisson-ligningerne for et selvkonsistent elektrisk felt:

\nabla \cdot {\vec {E}}=-\Delta \phi =4\pi \rho .

Her er den elektriske ladning og er massen af plasmapartikler, er det selvkonsistente elektriske felt, er potentialet for det selvkonsistente elektriske felt, og er den elektriske ladningstæthed . ${\displaystyle q_{\alpha ))$ $m_{\alpha }$ ${\vec {E}}({\vec {x}},t)$ $\phi ({\vec {x)),t)$ $\rho$

Noter

↑ A. A. Vlasov. Om vibrationsegenskaber af elektrongas // Journal of Experimental and Theoretical Physics . - 1938. - T. 8 (3) . - S. 291 . Arkiveret fra originalen den 22. juli 2018.
↑ A. A. Vlasov. Teori om vibrationsegenskaber af elektrongas og dens anvendelser // Uch. app. Moskva statsuniversitet. - 1945. - Udgave. 75. Bog. 2. Del 1 .
↑ Rayleigh, Phil. Mag. 11, 117 (1906).
↑ I. Langmuir og L. Tonks, Phys. Rev. 33, 195 (1929).
↑ HJ Merrill og HW Webb. Elektronspredning og plasmaoscillationer (engelsk) // Fysisk anmeldelse : tidsskrift. - 1939. - Bd. 55 , nr. 12 . — S. 1191 . - doi : 10.1103/PhysRev.55.1191 . - .

Litteratur

Kotelnikov IA- forelæsninger om plasmafysik. Bind 1: Fundamentals of Plasma Physics. - 3. udg. - Sankt Petersborg. : Lan , 2021. - 400 s. - ISBN 978-5-8114-6958-1 .
I. P. Bazarov, P. N. Nikolaev. Anatoly Alexandrovich Vlasov . — Fysisk fakultet, Moskvas statsuniversitet. - M. , 1999. - S. 19-26. - (fremragende videnskabsmænd fra fakultetet for fysik ved Moskvas statsuniversitet). — En detaljeret diskussion af Vlasov-ligningerne.
F. Pegoraro, F. Califano, G. Manfredi, PJ Morrison. Teori og anvendelser af Vlasov-ligningen (engelsk) // Eur. Phys. J.D. _ - 2015. - Bd. 69 . — S. 68 . - doi : 10.1140/epjd/e2015-60082-y . - arXiv : 1502.03768 .