Dirac ligning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 2. februar 2022; checks kræver 13 redigeringer .

Dirac-ligningen er en relativistisk invariant bevægelsesligning for et klassisk bispinor- elektronfelt , også anvendelig til at beskrive andre punktfermioner med spin 1/2; etableret af Paul Dirac i 1928 .

Dirac-ligningen, sammen med Maxwell-ligningerne, gør det muligt at forklare frie elektroners interaktion med et elektromagnetisk felt, spredningen af lys fra en elektron (Compton-effekten), skabelsen af et elektron-positron-par af en foton, osv. [1] Den generaliserer signifikant de klassiske Newton-ligninger, de relativistiske klassiske ligninger for partikelbevægelse og Schrödinger-ligningen [2] .

For opdagelsen af denne ligning modtog P. Dirac Nobelprisen i fysik i 1933 [3] [4] .

Ligningstype

Dirac-ligningen skrives som

\left(mc^{2}\alpha _{0}+c\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}p_{j}\right)\psi (\mathbf { x} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t))(\mathbf {x} ,t),

hvor er massen af en elektron (eller en anden fermion beskrevet af ligningen), er lysets hastighed , er de tre operatorer af momentumkomponenterne (i x, y, z ), , er Plancks konstant , x =( x, y, z ) og t er henholdsvis de rumlige koordinater og tid og er den fire-komponent komplekse bølgefunktion (bispinor). $m\$ $c\$ $p_j = - i \hbar \partial_j$ $\hbar = {h \over 2 \pi}$ $h$ $\psi(\mathbf{x},t)$

$\alpha _{0},\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}\$ er lineære operatorer over rummet af bispinorer , der virker på bølgefunktionen ( Pauli-matricer ). Disse operatorer er valgt således, at hvert par af sådanne operatorer antipendler, og kvadratet af hver er lig med én:

\alpha _{i}\alpha _{j}=-\alpha _{j}\alpha _{i}\,

hvor og indekser varierer fra 0 til 3,

i\neq j

jeg, j\

\alpha _{i}^{2}=1

for 0 til 3.

jeg\

I den repræsentation, der diskuteres, er disse operatorer 4 × 4 matricer (dette er minimumsstørrelsen af matricer, for hvilke antikommutationsbetingelserne er opfyldt), kaldet Dirac alfa-matricer

Hele operatoren i parentes i venstre side af ligningen kaldes Dirac-operatoren (mere præcist, i moderne terminologi skal den kaldes Dirac Hamiltonian, da Dirac-operatoren nu normalt kaldes den kovariante operator D , med hvilken Dirac-ligningen skrives som DΨ = 0, som beskrevet i den følgende bemærkning).

I moderne fysik bruges den kovariante skriftform [5] i Dirac-ligningen ofte (for detaljer, se nedenfor):

\venstre(i\hbar c \, \gamma^\mu \, \partial_\mu - mc^2 \right) \psi = 0.

Fysisk betydning

Elektron, positron

Det følger af Dirac-ligningen, at elektronen har sit eget mekaniske momentum - spin lig med ħ/2, samt sit eget magnetiske moment lig (uden at tage højde for det gyromagnetiske forhold) med Bohr-magnetonen eħ/2mc, hvilket blev tidligere (1925) opdaget eksperimentelt (e og m er ladningen og massen af elektronen, c er lysets hastighed, ħ er Dirac-konstanten eller den reducerede Planck-konstant). Ved hjælp af Dirac-ligningen blev der opnået en mere nøjagtig formel for energiniveauerne for brintatomet og brintlignende atomer (ioner) , inklusive den fine struktur af niveauerne, og Zeeman-effekten blev forklaret . Baseret på Dirac-ligningen blev der fundet formler for sandsynligheden for fotonspredning af frie elektroner ( Compton-effekten ) og elektronstråling under dens deceleration ( bremsstrahlung ), som modtog eksperimentel bekræftelse. Imidlertid er en konsekvent relativistisk beskrivelse af en elektrons bevægelse givet af kvanteelektrodynamik .

Et karakteristisk træk ved Dirac-ligningen er tilstedeværelsen blandt dens løsninger af dem, der svarer til tilstande med negative energiværdier for en partikels frie bevægelse (hvilket svarer til en negativ partikelmasse ). Dette gav en vanskelighed for teorien, da alle mekaniske love for partikler i sådanne tilstande ville være ukorrekte, mens overgange til disse tilstande er mulige i kvanteteorien. Den faktiske fysiske betydning af overgange til niveauer med negativ energi blev tydelig senere, da muligheden for indbyrdes omdannelse af partikler blev bevist. Det fulgte af Dirac-ligningen, at der skulle være en ny partikel (antipartikel i forhold til elektronen) med elektronens masse og den elektriske ladning af det modsatte fortegn; sådan en partikel blev faktisk opdaget i 1932 af K. Anderson og fik navnet positronen . Dette var en stor succes for Diracs teori om elektronen. En elektrons overgang fra en tilstand med negativ energi til en tilstand med positiv energi og den omvendte overgang tolkes som processen med dannelse af et elektron-positron-par og udslettelse af et sådant par.

Ansøgninger om andre partikler

Dirac-ligningen gælder ikke kun for elektroner, men også for andre elementarpartikler med spin 1/2 (i enheder af ħ) - fermioner (for eksempel myoner , neutrinoer ).

I dette tilfælde opnås god overensstemmelse med erfaringen ved direkte anvendelse af Dirac-ligningen på simple (snarere end sammensatte) partikler.

For protonen og neutronen (sammensatte partikler bestående af kvarker bundet af et gluonfelt , men som også har spin 1/2), fører det, når det påføres direkte (som på simple partikler), til forkerte værdier af magnetiske momenter: den magnetiske moment af "Dirac"-protonen "bør være » er lig med kernemagnetonen eħ/2Mc (M er massen af protonen), og neutronen (da den ikke er ladet) er lig nul. Erfaring viser, at protonens magnetiske moment er cirka 2,8 gange større end kernemagnetonen, og neutronens magnetiske moment er negativt og i absolut værdi er cirka 2/3 af protonens magnetiske moment. Dette fænomen kaldes det unormale magnetiske moment af protonen og neutronen.

Det unormale magnetiske moment af disse partikler indikerer deres indre struktur og er en af de vigtige eksperimentelle bekræftelser af deres kvarkstruktur.

Faktisk er denne ligning anvendelig for kvarker, som også er elementære partikler med spin 1/2. Den modificerede Dirac-ligning kan bruges til at beskrive protoner og neutroner , som ikke er elementære partikler (de består af kvarker).

Dirac-ligningen og kvantefeltteorien

Dirac-ligningen beskriver ikke sandsynlighedsamplituden for en elektron, som det kunne se ud, men mængden forbundet med ladningen og strømtætheden af Dirac-partiklen: på grund af bevarelsen af ladningen, den mængde, der blev betragtet som den samlede sandsynlighed for at finde partiklen er bevaret. Således er Dirac-ligningen mange-partikel lige fra begyndelsen.

En teori, der kun inkluderer Dirac-ligningen, der interagerer med et klassisk eksternt elektromagnetisk felt, tager ikke helt korrekt højde for skabelsen og udslettelse af partikler. Den forudsiger godt elektronens magnetiske moment og den fine struktur af linjer i atomspektret. Det forklarer elektronens spin, fordi to af de fire løsninger til ligningen svarer til to spin-tilstande af elektronen. De to resterende opløsninger med negativ energi svarer til elektron-antipartiklen ( positron ), forudsagt af Dirac ud fra hans teori og opdaget eksperimentelt næsten umiddelbart efter.

På trods af disse succeser har en sådan teori den ulempe, at den ikke beskriver samspillet mellem et kvantiseret elektronfelt og et kvantiseret elektromagnetisk felt, herunder skabelse og udslettelse af partikler – en af de grundlæggende processer i den relativistiske teori om interagerende felter. Denne vanskelighed er løst i kvantefeltteori . I tilfælde af elektroner tilføjes et kvantiseret elektromagnetisk felt, en kvantisering af selve elektronfeltet og vekselvirkningen mellem disse felter, og den resulterende teori kaldes kvanteelektrodynamik .

Afledning af Dirac-ligningen

Dirac-ligningen er en relativistisk generalisering af Schrödinger-ligningen :

H\venstre| \psi (t) \right\rangle = i \hbar {d\over dt} \venstre| \psi (t) \right\range.

For nemheds skyld vil vi arbejde i koordinatrepræsentationen, hvor systemets tilstand er givet af bølgefunktionen ψ ( x , t ). I denne fremstilling kan Schrödinger-ligningen skrives i formen

H\psi (\mathbf {x} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi (\mathbf {x} ,t)}{\partial t)),

hvor Hamiltonian H nu virker på bølgefunktionen.

Vi skal definere Hamiltonian, så den beskriver systemets samlede energi. Overvej en fri elektron (der ikke interagerer med noget, isoleret fra alle uvedkommende felter). For en ikke-relativistisk model ville vi tage en Hamiltonianer svarende til den kinetiske energi i klassisk mekanik (uden hensyntagen til hverken relativistiske korrektioner eller spin i dette tilfælde):

H = \sum_{j=1}^3 \frac{p_j^2}{2m},

hvor p j er momentumprojektionsoperatorer, og indeks j =1,2,3 angiver kartesiske koordinater. Hver sådan operator virker på bølgefunktionen som en rumlig afledt:

p_j \psi(\mathbf{x},t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ - i \hbar \, \frac{\partial\psi (\mathbf{x},t)}{ \partial x_j}.

For at beskrive en relativistisk partikel skal vi finde en anden Hamiltonianer. Samtidig er der grund til at antage, at momentumoperatoren bevarer den netop angivne definition. Ifølge den relativistiske relation udtrykkes systemets samlede energi som

E = \sqrt{(mc^2)^2 + \sum_{j=1}^3 (p_jc)^2}.

Dette fører til udtrykket

\sqrt{(mc^2)^2 + \sum_{j=1}^3 (p_jc)^2} \ \psi = i \hbar \frac{d\psi}{dt}.

Dette er ikke en fuldstændig tilfredsstillende ligning, da der ikke er nogen eksplicit Lorentz-kovarians synlig (som udtrykker den formelle lighed af tid og rumlige koordinater, som er en af hjørnestenene i den særlige relativitetsteori ), og desuden er den skrevne rod af operatoren ikke skrevet eksplicit. Kvadring af venstre og højre side resulterer imidlertid i en eksplicit Lorentz-kovariant Klein-Gordon-ligning . Dirac foreslog, at da højre side af ligningen indeholder den første afledede med hensyn til tid, så skulle venstre side også kun have førsteordens afledede med hensyn til rumlige koordinater (med andre ord, momentumoperatorer i første grad). Så, hvis man antager, at koefficienterne foran derivaterne, uanset hvilken natur de måtte have, er konstante (på grund af rummets homogenitet), er det kun tilbage at skrive:

i\hbar \frac{d\psi}{dt} = \venstre[ c \sum_{i=1}^3 \alpha_i p_i + \alpha_0 mc^2 \right] \psi

— dette er Dirac-ligningen (for en fri partikel).

Vi har dog endnu ikke fastlagt koefficienterne . Hvis Diracs formodning er korrekt, så burde den firkantede højre side give $\alpha_i\$

(mc^{2})^{2}+\sum _{j=1}^{3}(p_{j}c)^{2},

det er

\left( mc^2 \alpha_0 + c \sum_{j=1}^3 \alpha_j p_j \,\right)^2 = (mc^2)^2 + \sum_{j=1}^3 (p_jc) ^2.

Ved blot at udvide parenteserne på venstre side af den resulterende ligning opnår vi følgende betingelser på α:

\alpha _{i}\alpha _{j}+\alpha _{j}\alpha _{i}=0

for alle

i,j = 0, 1, 2, 3 (i \ne j),

\alpha _{i}^{2}=1

for alle

i=0,1,2,3\ ,

eller kort sagt skrive det hele sammen:

\alpha_i \alpha_j + \alpha_j \alpha_i = 2 \delta_{ij}\

til

\ i,j = 0, 1, 2, 3,

eller, endnu kortere, ved at bruge krøllede seler til at betegne antikommutatorer:

\venstre\{\alpha_i , \alpha_j\right\} = 2\delta_{ij}\

til

\i,j = 0, 1, 2, 3.

hvor {,} er antikommutatoren defineret som { A,B } ≡ AB + BA , og δ ij er Kronecker-symbolet , som tager værdien 1, hvis de to indekser er ens og 0 ellers. Se Clifford algebra .

Da sådanne relationer ikke kan holde for almindelige tal (tal pendler trods alt, men α gør det ikke), forbliver det - den nemmeste måde - at antage, at α er en slags lineære operatorer eller matricer (så enere og nuller til højre side af relationerne kan betragtes som henholdsvis identitet og nuloperator eller matrix), og man kan forsøge at finde et specifikt sæt α ved hjælp af disse relationer (og det lykkes).

Det er her, at det for første gang bliver helt klart, at bølgefunktionen ikke skal være enkeltkomponent (det vil sige ikke skalar), men vektor, hvilket betyder vektorerne i et abstrakt "indre" rum, der ikke er direkte relateret til almindelig fysisk rum eller rum-tid.

Matricerne skal være Hermitian , for at Hamiltonian også kan være en Hermitian-operator. Den mindste dimension af matricer, der opfylder ovenstående kriterier, er komplekse 4×4-matricer, selvom deres specifikke valg (eller repræsentation ) ikke er unikt. Disse matricer med driften af matrixmultiplikation danner en gruppe. Selvom valget af repræsentationen af denne gruppe ikke påvirker egenskaberne af Dirac-ligningen, påvirker det den fysiske betydning af bølgefunktionskomponenterne. Bølgefunktionen skal naturligvis være et firedimensionalt komplekst abstrakt (ikke direkte relateret til de sædvanlige rum-tidsvektorer) vektorfelt (det vil sige et bispinorfelt).

I indledningen har vi givet den repræsentation, som Dirac bruger. Denne fremstilling kan korrekt skrives som

\alpha _{0}={\begin{bmatrix}I&0\\0&-I\end{bmatrix)),\quad \alpha _{j}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{j }\\\sigma _{j}&0\end{bmatrix}},

hvor 0 og I er henholdsvis 2×2 nul og identitetsmatricer, og σ j ( j = 1, 2, 3) er Pauli-matricer , som i øvrigt er matrixrepræsentationen af kvaternioner , som længe har været kendt for at anti-pendling.

Hamiltonianeren i denne ligning

{\displaystyle H=\,mc^{2}\alpha _{0}+c\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}p_{j))

kaldes Dirac Hamiltonian .

For den sædvanlige Dirac-ligning i todimensionelt rum eller i tredimensionelt rum, men med m = 0, er det i stedet for alfamatricer blot tilstrækkeligt med Pauli-matricer; i stedet for et fire-komponent bispinorfelt, vil rollen som bølgefunktionen blive spillet af et to-komponent spinorfelt.

Også Dirac-ligningen

\venstre(i\hbar c \, \gamma^\mu \, \partial_\mu - mc^2 \right) \psi = 0.

kan udledes af gruppeteoretiske overvejelser som en ligning, der er invariant under Poincaré-transformationerne og beskriver bølgefunktionen af en elementarpartikel med masse , spin , positiv energi, fast P-paritet. [6] $m$ $1/2$

Karakteren af bølgefunktionen

Da bølgefunktionen ψ påvirkes af 4×4 matricer, skal den være et fire-komponent objekt. Det vil nedenfor blive vist, at bølgefunktionen har to frihedsgrader, hvoraf den ene svarer til positive energier og den anden til negative. Hver af dem har yderligere to frihedsgrader forbundet med projektionen af spindet i en valgt retning, betinget ofte betegnet med ordene "op" eller "ned".

Vi kan skrive bølgefunktionen som en kolonne:

\psi ({\mathbf {x)),t)\ {\stackrel ({\mathrm {def))}{=}}\ {\begin{bmatrix}\psi _{1}({\mathbf {x} },t)\\\psi _{2}({\mathbf {x)),t)\\\psi _{3}({\mathbf {x)),t)\\\psi _{4} ({\mathbf {x}},t)\end{bmatrix}}.

Dobbeltbølgefunktionen er skrevet som en streng:

{\bar {\psi }}\ {\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}{\bar {\psi }}({\mathbf {x}},t)\ {\stackrel {{ \mathrm {def}}}{=}}\ \psi ^{\dolk }\alpha ^{0},

hvor

\psi ^{\dolk }={\begin{bmatrix}\psi _{1}^{*}({\mathbf {x)),t)&\psi _{2}^{*}({\mathbf {x)),t)&\psi _{3}^{*}({\mathbf {x)),t)&\psi _{4}^{*}({\mathbf {x)),t )\end{bmatrix}}

(symbolet * angiver den sædvanlige komplekse konjugation ).

Som med den sædvanlige en-komponent bølgefunktion kan man indføre kvadratet af modulus af bølgefunktionen, som giver sandsynlighedstætheden som funktion af x -koordinaten og tiden t . I dette tilfælde spilles rollen som kvadratet af modulet af det skalære produkt af bølgefunktionen og dens dual, det vil sige kvadratet af den hermitiske norm for bispinor:

\bar{\psi} \psi = \bar{\psi}(\mathbf{x},t) \psi \, (\mathbf{x},t) = \sum_{a, b = 1}^4 \ psi_a^*(\mathbf{x},t) (\alpha^0)_{ab} \psi_b(\mathbf{x},t).

Bevarelse af sandsynlighed sætter normaliseringsbetingelsen

\int \bar{\psi} \psi \; d^3x = 1.

Ved at påberåbe Dirac-ligningen kan man få den "lokale" sandsynlighedsstrøm :

\frac{\partial}{\partial t} \bar{\psi} \psi \, (\mathbf{x},t) = - \nabla \cdot \mathbf{J}.

Sandsynlighedsstrømmen J er givet som

J_j = c \bar{\psi} \alpha_j \psi.

Multiplicerer vi J med elektronladningen e , når vi frem til den elektriske strømtæthed j for elektronen.

Værdien af bølgefunktionskomponenterne afhænger af koordinatsystemet. Dirac viste, hvordan ψ transformeres efterhånden som koordinatsystemet ændrer sig, herunder rotationer i tredimensionelt rum og transformationer mellem referencerammer (hurtigt), der bevæger sig i forhold til hinanden. ψ transformerer ikke som en vektor af almindeligt rum (eller rum-tid) under rotationer af rum eller Lorentz-transformationer (hvilket i sig selv ikke er overraskende, da dets komponenter i starten ikke er direkte relateret til retninger i det almindelige rum). Et sådant objekt blev kaldt en firekomponent Dirac-spinor (ellers kaldet en bispinor - sidstnævnte navn skyldes det faktum, at kun to-komponent komplekse objekter blev betragtet som spinorer, hvoraf et par kan danne en bispinor). Bispinoren kan tolkes som en vektor i et særligt rum, normalt kaldet "indre rum", som ikke skærer det almindelige ("ydre") rum. Men som nævnt ovenfor ændres komponenterne i spinorbølgefunktionerne på en ganske bestemt måde, når koordinaterne i det ydre rum transformeres, selvom det adskiller sig fra transformationen af komponenterne i de almindelige rumvektorer.

For nøjagtighedens skyld skal det siges, at alle ændringer forbundet med rotationer af koordinater i det ydre rum kan overføres til matricerne α (som så vil se anderledes ud for forskellige eksterne koordinatsystemer, men vil bevare deres hovedegenskaber - antikommutativitet og lighed med enhedskvadraten for hver matrix). I dette tilfælde vil komponenterne i (bi-)spinorerne slet ikke ændre sig, når det ydre rum roterer.

Løsning af ligningen

For at løse ligningen i tilfælde af en fri partikel bruges spinoren $\chi$

\chi^{(1)} = \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}, \quad \quad \chi^{(2)} = \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix} } ,

hvor svarer til back up , og svarer til back down . ${\displaystyle \chi ^{(1)))$ ${\displaystyle \chi ^{(2)))$

For antipartikler gælder det modsatte:

\chi^{*(1)} = \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}, \quad \quad \chi^{*(2)} = \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end {bmatrix} .

Lad os også introducere Pauli-matricerne ,

\sigma_1 = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}, \quad \quad \sigma_2 = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix}, \quad \quad \sigma_3 = \ start{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}.

For partikler

Løsningen af Dirac-ligningen for frie partikler kan skrives som

\psi =u(\mathbf {p} )e^{ip\cdot x},

hvor

{\mathbf {p}}

er en almindelig tredimensionel vektor, og p og x er 4-vektorer .

Bispinor u er en funktion af momentum og spin,

u^{(s)}(\mathbf {p} )={\sqrt {E+m}}{\begin{bmatrix}\chi ^{(s)}\\{\frac {\mathbf { \sigma } \cdot \mathbf {p} }{E+m}}\chi ^{(s)}\end{bmatrix}}.

For antipartikler

\psi =v(\mathbf {p} )e^{ip\cdot x}

Med

v^{(s)}(\mathbf {p} )={\sqrt {|E|+m}}{\begin{bmatrix}{\frac {-\mathbf {\sigma } \cdot \mathbf {p} }{|E|+m}}\chi ^{*(s)}\\\chi ^{*(s)}\end{bmatrix}}.

Bispinors

Fuldstændighedsrelationerne for u og v bispinorerne er:

\sum _{s=1,2}{u_{p}^{(s)}{\bar {u}}_{p}^{(s)}}=p\!\!\! /+m,

\sum _{s=1,2}{v_{p}^{(s)}{\bar {v))_{p}^{(s)))=p\!\!\! /-m,

hvor

{\displaystyle p\!\!\!/=\gamma ^{\mu }p_{\mu ))

(definition - se nedenfor).

\gamma ^{\mu }

Energispektrum

Det er nyttigt at finde energiegenværdierne for Dirac Hamiltonian. For at gøre dette skal vi løse den stationære ligning:

H\psi _{0}(\mathbf {x} )=E\psi _{0}(\mathbf {x} ),

hvor ψ 0 er den tidsuafhængige del af den totale bølgefunktion

\psi (\mathbf{x}, t) = \psi_0 (\mathbf{x}) e^{- i E t / \hbar},

erstatter hvilken i den ikke-stationære Dirac-ligning, vi får den stationære.

Vi vil lede efter en løsning i form af plane bølger. For nemheds skyld vil vi vælge z -aksen som bevægelsesakse . På denne måde

\psi _{0}=we^{\frac {ipz}{\hbar )),

hvor w er en konstant fire-komponent spinor og p er momentum af partiklen, som det kan vises ved at fungere som momentum operator på denne bølgefunktion. I Dirac-repræsentationen er ligningen for ψ 0 reduceret til et egenværdiproblem:

\begin{bmatrix} mc^2 & 0 & pc & 0 \\ 0 & mc^2 & 0 & -pc \\ pc & 0 & -mc^2 & 0 \\ 0 & -pc & 0 & -mc^ 2 \end{bmatrix} w = E w.

For hver værdi af p er der to todimensionelle egenværdirum. Det ene egenværdirum indeholder positive egenværdier og det andet indeholder negative egenværdier i formen

E_\pm (p) = \pm \sqrt{(mc^2)^2 + (pc)^2}.

Rummet med positive egenværdier genereres af egentilstandene:

\left\{ \begin{bmatrix}pc \\ 0 \\ \epsilon \\ 0 \end{bmatrix} \,,\, \begin{bmatrix}0 \\ pc \\ 0 \\ - \epsilon \end{ bmatrix} \right\} \times \frac{1}{\sqrt{\epsilon^2+(pc)^2))

og for negative:

\left\{{\begin{bmatrix}-\epsilon \\0\\pc\\0\end{bmatrix}}\,,\,{\begin{bmatrix}0\\\epsilon \\0 \\pc\end{bmatrix}}\right\}\time {\frac {1}{\sqrt {\epsilon ^{2}+(pc)^{2)))),

hvor

\epsilon \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ |E| - mc^2.

Den første genererende egentilstand i hvert egenrum har en positiv spinprojektion på z -aksen ("spin op"), og den anden egentilstand har et spin, der peger i den modsatte retning − z ("spin ned").

I den ikke-relativistiske grænse falder ε -komponenten af spinoren til partiklens kinetiske energi, hvilket er ubetydeligt sammenlignet med pc :

\epsilon \sim \frac{p^2}{2m} \ll stk.

I denne grænse kan fire-komponent bølgefunktionen fortolkes som den relative amplitude af (i) spin op med positiv energi, (ii) spin ned med positiv energi, (iii) spin op med negativ energi og (iv) spin ned med negativ energi. Denne beskrivelse er ikke nøjagtig i det relativistiske tilfælde, hvor ikke-nul-komponenterne af spinoren er af samme størrelsesorden.

Hulteori

De negative energiløsninger fundet i det foregående afsnit er problematiske, fordi partiklen blev antaget at have positiv energi. Matematisk set synes der dog ikke at være nogen grund for os til at afvise negative energiløsninger. Da de eksisterer, kan vi ikke bare ignorere dem, når vi først tænder for interaktionen mellem elektronen og det elektromagnetiske felt, vil enhver elektron placeret i en positiv energitilstand gå ind i en negativ energitilstand og med held sænke energien ved at udsende den overskydende energi i form for fotoner . Rigtige elektroner opfører sig åbenbart ikke på denne måde.

For at håndtere dette problem introducerede Dirac hypotesen, kendt som hulteorien , at vakuumet er en kvantetilstand med mange partikler, hvor alle negative energitilstande er optaget. Denne beskrivelse af vakuum som et "hav" af elektroner kaldes Dirac havet . Fordi Pauli-udelukkelsesprincippet forbyder elektroner at indtage den samme tilstand, ville enhver yderligere elektron blive tvunget til at indtage en positiv energitilstand, og positiv energielektroner ville ikke gå i negative energitilstande.

Dirac ræsonnerede yderligere, at hvis de negative energitilstande ikke var fuldstændigt fyldte, ville hver ubesat tilstand - kaldet et hul - opføre sig som en positivt ladet partikel. Hullet har en "positiv" energi, da energien er nødvendig for at skabe et partikel-hul-par fra et vakuum. Som nævnt ovenfor troede Dirac oprindeligt, at et hul kunne være en proton, men Weyl påpegede, at et hul skulle opføre sig, som om det havde samme masse som en elektron, mens en proton er over 1800 gange tungere. Hullet blev til sidst identificeret som positronen , opdaget eksperimentelt af Carl Anderson i 1932 .

Beskrivelsen af et "vakuum" gennem et endeløst hav af negativ energielektroner er ikke helt tilfredsstillende. De uendeligt negative bidrag fra havet af elektroner med negativ energi skal annulleres med den uendelige positive "bare" energi og ladningstæthedsbidrag, og strømmen, der kommer fra havet af elektroner med negativ energi, annulleres nøjagtigt med den uendelige positive "gelé " baggrund, så den samlede elektriske ladningstæthed af vakuumet var lig med nul. I kvantefeltteorien tillader Bogolyubov-transformationen af skabelses- og udslettelsesoperatørerne (at omdanne en besat negativ energi elektronisk tilstand til en ubesat positiv energi positron tilstand og en ubesat negativ energi elektronisk tilstand til en besat positiv energi positron tilstand) at omgå Dirac-søformalismen, selv om disse tilgange formelt set er ækvivalente.

I visse anvendelser inden for faststoffysik er de grundlæggende begreber for "hulteori" imidlertid korrekte. Havet af ledningselektroner i en leder, kaldet Fermihavet , indeholder elektroner med energier op til systemets kemiske potentiale . De ufyldte tilstande i Fermihavet opfører sig som positivt ladede elektroner, selvom det er et "hul" og ikke en "positron". Fermihavets negative ladning balanceres af materialets positivt ladede iongitter [7] .

Dirac-ligningen i quaternion-repræsentation

Dirac-ligningen kan simpelthen skrives i en repræsentation ved hjælp af kvaternioner . Vi skriver det i form af en tofeltsrepræsentation over kvaternioner for højre (Ψ) og venstre (Φ) elektroner:

\partial_t\psi i + i \partial_x \psi+j \partial_y \psi + k\partial_z \psi= m_e \phi j,

\partial_t\phi i - i \partial_x \phi-j \partial_y \phi-k\partial_z \phi = m_e \psi j.

Her er det vigtigt fra hvilken side enhedsquaternionerne ganges. Bemærk, at masse- og tidsleddene ganges med quaternionerne til højre. Denne repræsentation af Dirac-ligningen bruges i computersimuleringer.

Relativistisk kovariant form

Den kovariante repræsentation af Dirac-ligningen for en fri partikel ser sådan ud:

\venstre(i\hbar c \, \sum_{\mu=0}^3 \; \gamma^\mu \, \partial_\mu - mc^2 \right) \psi = 0,

eller ved at bruge Einsteins regel om summering over et gentaget indeks, som følger:

\venstre(i\hbar c \, \gamma^\mu \, \partial_\mu - mc^2 \right) \psi = 0.

Forklaringer

Det er ofte nyttigt at bruge Dirac-ligningen i en relativistisk kovariant form, hvor rumlige og tidsmæssige koordinater formelt behandles ens.

For at gøre dette skal du først huske, at momentumoperatoren p fungerer som en rumlig afledt:

\mathbf{p} \psi(\mathbf{x},t) = - i \hbar \nabla \psi(\mathbf{x},t).

Hvis vi multiplicerer Dirac-ligningen på hver side med α 0 (husk at α 0 ²=I ) og substituerer den med definitionen for p , får vi

\left[ i\hbar c \left(\alpha_0 \frac{\partial}{c \partial t} + \sum_{j=1}^3 \alpha_0 \alpha_j \frac{\partial}{\partial x_j} \ højre) - mc^2 \right] \psi = 0.

Nu definerer vi fire gammamatricer :

\gamma^0 \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \alpha_0 \,,\quad \gamma^j \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \alpha_0 \alpha_j.

Disse matricer har den egenskab, at

\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu}\right\}=2\eta ^{\mu \nu}\cdot I\,,\quad \mu ,\nu =0,1,2,3,

hvor η er den flade rummetrik. Disse relationer definerer Clifford-algebraen , kaldet Dirac-algebraen .

Dirac-ligningen kan nu skrives ved hjælp af fire-vektoren x = ( ct , x ) som

\venstre(i\hbar c \, \sum_{\mu=0}^3 \; \gamma^\mu \, \partial_\mu - mc^2 \right) \psi = 0.

I denne form kan Dirac-ligningen fås ved at finde handlingens ekstremum

{\mathcal {S}}=\int {\bar {\psi }}(i\hbar c\,\sum _{\mu }\gamma ^{\mu}\partial _{\mu}- mc^{2})\psi \,d^{4}x,

hvor

\bar\psi \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \psi^\dolk \gamma_0

kaldes Dirac adjoint matrix for ψ . Dette er grundlaget for at bruge Dirac-ligningen i kvantefeltteori .

I denne form kan den elektromagnetiske interaktion simpelthen tilføjes ved at udvide den partielle afledte til en måle-kovariant afledte :

\partial_\mu \rightarrow D_\mu = \partial_\mu - dvs. A_\mu.

Optaget med "Feynman skråstreg"

Nogle gange bruges en notation med "overstregede matricer" ("Feynman skråstreg"). Ved at vedtage betegnelsen

a\!\!\!/\leftrightarrow \sum _{\mu }\gamma ^{\mu }a_{\mu },

ser vi, at Dirac-ligningen kan skrives som

(i \hbar c \, \partial\!\!\!/ - mc^2) \psi = 0

og udtrykket for handlingen skrives som

\mathcal{S} = \int \bar\psi(i \hbar c \, \partial \!\!\!/ - mc^2)\psi \, d^4 x.

Dirac-ligningen for komponenterne i bølgefunktionen

Ved at substituere værdierne af gamma-matricerne i den relativistiske kovariante ligning præsenteret ovenfor, kan man opnå et ligningssystem for de individuelle komponenter i psi-funktionen

$i\hbar c{\Biggl (}{\frac {1}{c))\partial _{t}{\begin{bmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\\ -\psi _{3}\\-\psi _{4}\end{bmatrix}}+\partial _{x}{\begin{bmatrix}\psi _{4}\\\psi _{3}\ \-\psi _{2}\\-\psi _{1}\end{bmatrix}}+i\partial _{y}{\begin{bmatrix}-\psi _{4}\\\psi _{ 3}\\\psi _{2}\\-\psi _{1}\end{bmatrix}}+\partial _{z}{\begin{bmatrix}\psi _{3}\\-\psi _ {4}\\-\psi _{1}\\\psi _{2}\end{bmatrix}}{\Biggr )}-mc^{2}{\begin{bmatrix}\psi _{1}\ \\psi _{2}\\\psi _{3}\\\psi _{4}\end{bmatrix}}=0$

Du kan også udtrykke derivater med hensyn til tid

${\begin{cases}{\begin{matrix}\partial _{t}\psi _{1}=-i{\frac {mc^{2}}{\hbar }}\psi _{1 }+c(-\partial _{x}\psi _{4}+i\partial _{y}\psi _{4}-\partial _{z}\psi _{3})\\\partial _ {t}\psi _{2}=-i{\frac {mc^{2}}{\hbar }}\psi _{2}+c(-\partial _{x}\psi _{3}- i\partial _{y}\psi _{3}+\partial _{z}\psi _{4})\\\partial _{t}\psi _{3}=i{\frac {mc^{ 2}}{\hbar }}\psi _{3}+c(-\partial _{x}\psi _{2}+i\partial _{y}\psi _{2}-\partial _{z }\psi _{1})\\\partial _{t}\psi _{4}=i{\frac {mc^{2}}{\hbar }}\psi _{4}+c(-\ partial _{x}\psi _{1}-i\partial _{y}\psi _{1}+\partial _{z}\psi _{2})\end{matrix}}\end{cases} }$

Når naturlige enheder bruges, forenkles ligningen til

$\partial _{t}{\begin{bmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\\-\psi _{3}\\-\psi _{4}\end{ bmatrix}}+\partial _{x}{\begin{bmatrix}\psi _{4}\\\psi _{3}\\-\psi _{2}\\-\psi _{1}\end {bmatrix}}+i\partial _{y}{\begin{bmatrix}-\psi _{4}\\\psi _{3}\\\psi _{2}\\-\psi _{1} \end{bmatrix}}+\partial _{z}{\begin{bmatrix}\psi _{3}\\-\psi _{4}\\-\psi _{1}\\\psi _{2 }\end{bmatrix}}+im{\begin{bmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\\\psi _{3}\\\psi _{4}\end{bmatrix} }=0$

${\begin{cases}{\begin{matrix}\partial _{t}\psi _{1}=-im\psi _{1}-\partial _{x}\psi _{4}+ i\partial _{y}\psi _{4}-\partial _{z}\psi _{3}\\\partial _{t}\psi _{2}=-im\psi _{2}- \partial _{x}\psi _{3}-i\partial _{y}\psi _{3}+\partial _{z}\psi _{4}\\\partial _{t}\psi _ {3}=im\psi _{3}-\partial _{x}\psi _{2}+i\partial _{y}\psi _{2}-\partial _{z}\psi _{1 }\\\partial _{t}\psi _{4}=im\psi _{4}-\partial _{x}\psi _{1}-i\partial _{y}\psi _{1} +\partial _{z}\psi _{2}\end{matrix}}\end{cases}}$

Dirac bilineære former

Der er fem forskellige (neutrale) Dirac bilineære former uden derivater:

(S) scalar : (scalar, P-lige) $\bar{\psi}\psi$
(P) pseudoskalær : (skalær, P-ulige) $\bar{\psi} \gamma^5 \psi$
(V) vektor : (vektor, P-lige) $\bar{\psi} \gamma^\mu \psi$
(A) aksial vektor : (vektor, P-ulige) $\bar{\psi} \gamma^\mu \gamma^5 \psi$
(T) tensor : (anden rang antisymmetrisk tensor) $\bar{\psi} \sigma^{\mu\nu} \psi$

hvor og . $\sigma^{\mu\nu}=\frac{i}{2} \venstre[\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}\right]_{-}$ $\gamma^{5}=\gamma_{5}=\frac{i}{4!}\epsilon_{\mu\nu\rho\lambda}\gamma^{\mu}\gamma^{\nu}\gamma ^{\rho}\gamma^{\lambda}=i\gamma^{0}\gamma^{1}\gamma^{2}\gamma^{3}$

Elektromagnetisk interaktion

Hidtil har vi overvejet en elektron, der ikke er påvirket af nogen ydre felter. I analogi med Hamiltonian af en ladet partikel i klassisk elektrodynamik kan vi ændre Dirac Hamiltonian til at inkludere effekten af et elektromagnetisk felt . Den omskrevne Hamiltonian vil have formen (i SI- enheder ):

H=\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}\left[p_{j}-eA_{j}(\mathbf {x} ,t)\right]c+e\varphi (\mathbf {x} ,t),

hvor e er elektronens elektriske ladning (her aftales det, at tegnet for e er negativt), og A og φ er henholdsvis den elektromagnetiske vektor og skalarpotentialer.

Ved at indstille φ = 0 og arbejde i den ikke-relativistiske grænse, fandt Dirac for de to øvre komponenter i den positive energiregion bølgefunktionerne (som, som diskuteret tidligere, er de dominerende komponenter i den ikke-relativistiske grænse):

\left( \frac{1}{2m} \sum_j |p_j - e A_j(\mathbf{x}, t)|^2 - \frac{\hbar e}{2mc} \sum_j \sigma_j B_j(\mathbf{ x}) \right) \begin{bmatrix}\psi_1 \\ \psi_2 \end{bmatrix}

=(E-mc^{2}){\begin{bmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{bmatrix)),

hvor B = × A er det magnetiske felt, der virker på partiklen. Dette er Pauli-ligningen for ikke-relativistiske partikler med et halvt heltals spin, med et magnetisk moment (det vil sige, at g-faktoren er 2). Det faktiske magnetiske moment af elektronen er større end denne værdi, dog kun med omkring 0,12 %. Uoverensstemmelsen skyldes kvanteudsving i det elektromagnetiske felt, som er blevet negligeret (se vertexfunktion ). $\nabla$ $\hbar e/2mc$

I flere år efter opdagelsen af Diracs ligning troede de fleste fysikere, at den også beskrev protonen og neutronen , som er fermioner med et halvt heltals spin. Startende med Stern og Frischs eksperimenter i 1933 blev det imidlertid klart, at de magnetiske momenter af disse partikler adskiller sig væsentligt fra værdierne forudsagt af Dirac-ligningen. Protonens magnetiske moment viste sig at være 2,79 gange større end forudsagt (med protonmassen erstattet af m i formlerne ovenfor), det vil sige, at g-faktoren er 5,58. Neutronen, som er elektrisk neutral, har en g-faktor på -3,83. Disse "anomale magnetiske momenter" var den første eksperimentelle indikation af, at protonen og neutronen ikke er elementære, men sammensatte (med en vis indre struktur) partikler. Efterfølgende viste det sig, at de kan anses for at være sammensat af mindre partikler kaldet kvarker , menes det, forbundet med et gluonfelt . Quarks har et halvt heltals spin og er kendt for at være nøjagtigt beskrevet af Dirac-ligningen.

Interaktion Hamiltonian

Bemærkelsesværdigt er det faktum, at Hamiltonian kan skrives som summen af to led:

H=H_{\mathrm {gratis} }+H_{\mathrm {int} },

hvor H fri er Dirac Hamiltonian for en fri elektron, og H int er Hamiltonian for interaktionen mellem en elektron og et elektromagnetisk felt. Sidstnævnte skrives som

H_{\mathrm{int}} = e \varphi(\mathbf{x}, t) - ec \sum_{j=1}^3 \alpha_j A_j(\mathbf{x}, t).

Det har en matematisk forventning (gennemsnit)

\langle H_{\mathrm {int} }\rangle =\int \,\psi ^{\dolk }H_{\mathrm {int} }\psi \,d^{3}x=\int \, \left(\rho \varphi -\sum _{i=1}^{3}j_{i}A_{i}\right)\,d^{3}x,

hvor ρ er den elektriske ladningstæthed, og j er den elektriske strømtæthed, defineret som ψ . Integranden i det sidste integral, interaktionsenergitætheden, er en Lorentz-invariant skalarstørrelse, som let kan ses ved at skrive i form af den firedimensionelle strømtæthed j = ( ρc , j ) og det firedimensionale elektromagnetiske potentiale A = ( φ/c , A ), som hver er en 4-vektor og derfor er deres indre produkt invariant. Interaktionsenergien er skrevet som et rumintegral af denne invariant:

\langle H_{\mathrm {int} }\rangle =\int \,\left(\sum _{\mu ,\nu =0}^{3}\eta ^{\mu \nu }j_{ \mu }A_{\nu}\right)\;d^{3}x,

hvor η er metrikken for det flade Minkowski-rum (Lorentz-metrikken for rum-tid):

\eta^{00} = 1,\

\eta^{ii} \;= -1 \quad\, (i=1,2,3),

\eta^{\mu\nu} = 0 \ \ \ \ (\mu, \nu = 0,1,2,3; \mu \ne \nu).

Derfor vil den tidsintegrerede interaktionsenergi give Lorentz invariante led i aktion (da rotationer og Lorentz transformationer ikke ændrer det firedimensionelle volumen).

Lagrangian

Den klassiske tæthed af Lagrangian af en fermion med massen m er givet ved

{\mathcal {L}}={\overline {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu}-m\right)\psi ,

hvor ${\overline {\psi }}=\psi ^{\dolk }\gamma ^{0}.$

For at opnå bevægelsesligningerne kan denne Lagrangian erstattes med Euler-Lagrange-ligningerne :

\partial _{\mu}\left({\frac {\partial L}{\partial (\partial _{\mu}\psi _{\sigma )))))\right)-{\frac { \partial L}{\partial \psi _{\sigma }}}=0.

Efter at have evalueret to udtryk:

{\frac {\partial L}{\partial (\partial _{\mu }\psi _{\sigma )))))={\overline {\psi}}_{\sigma ^{\prime } }\left(i\gamma ^{\mu}\right)_{\sigma ^{\prime }\sigma },

{\frac {\partial L}{\partial \psi _{\sigma }}}=-m{\overline {\psi}}_{\sigma },

Sætter vi begge resultater sammen, får vi ligningen

i\partial _{\mu }{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu}+m{\overline {\psi }}=0,

som er identisk med Dirac-ligningen :

i\gamma ^{\mu}\partial _{\mu}\psi -m\psi =0.

Se også

Noter

↑ Walter E. Thirring Principles of Quantum Electrodynamics. - M., Højere Skole, 1964. - s. 136-198
↑ Ivanenko D. D. Elementærpartikler // otv. udg. Grigoryan A. T. , Polak L. S. Essays om udvikling af grundlæggende fysiske ideer. - M., USSR Academy of Sciences , 1959. - Oplag 5000 eksemplarer. - Med. 437;
↑ Nobelprisen i fysik 1933 Paul A.M. Dirac . Hentet 26. oktober 2019. Arkiveret fra originalen 31. august 2019. (ubestemt)
↑ Dirac P.A.M. Erindringer fra en ekstraordinær æra. - M., Nauka , 1990. - 208 s. - ISBN 5-02-014344-8
↑ Da formen med alfamatricer også er Lorentz-kovariant, er det mere korrekt at kalde formen med gammamatricer blot firedimensionel (og når man erstatter almindelige afledte med kovariante, vil det give en generelt kovariant repræsentation af Dirac-ligningen) .
↑ Lyakhovsky V.D. , Bolokhov, A.A. Symmetrigrupper og elementarpartikler. - L., Leningrad State University , 1983. - s. 323
↑ Zee, 2009 , s. 6.

Litteratur

Björken JD , Drell S.D. Relativistisk kvanteteori. - M. : Nauka, 1978. - T. 1. - 296 s.
Dyson F. Relativistisk kvantemekanik. - Izhevsk: RHD, 2009. - 248 s.
Dirac P. A. M. Kvantemekaniks principper. — M .: Nauka, 1979. — 440 s.
Dirac P. A. M. Relativistisk bølgeligning for en elektron // Uspekhi fizicheskikh nauk. - 1979. - T. 129 , no. 4 . - S. 681-691 . (Russisk)
Zee E. Kvantefeltteori i en nøddeskal. - Izhevsk: Regular and Chaotic Dynamics, 2009. - 632 s. — ISBN 978-5-93972-770-9 .
Peskin M., Schroeder D. Introduktion til kvantefeltteori. - Izhevsk: RHD, 2001. - 784 s.
Schiff L. Kvantemekanik. - M. : IL, 1959. - 476 s.
Shankar R. Principper for kvantemekanik. - Plenum, 1994.
Thaller B. Dirac-ligningen. - Springer, 1992.
Diracs ligning i " Physical Encyclopedia "

Udvalgte artikler

PAM Dirac "The Quantum Theory of the Electron", Proc. R. Soc. A117 610 (1928) , doi: http://doi.org/10.1098/rspa.1928.0023 - link til bindet af Proceedings of the Royal Society of London, der indeholder artiklen på side 610
PAM Dirac "A Theory of Electrons and Protons", Proc. R. Soc. A126 360 (1930) link til bindet af Proceedings of the Royal Society of London, der indeholder artiklen på side 360
CD Anderson, fys. Rev. 43 , 491 (1933)
R. Frisch og O. Stern, Z. Phys. 854 (1933)

Links

Forelæsninger om kvantefysik

Matematisk fysik

Typer af ligninger

Grænsebetingelser

Matematisk fysiks ligninger

Diffusion og konvektion	Varme ligning Diffusionsligning Mason-Weaver ligning
Hydrodynamik	Overførselsligning Navier-Stokes ligninger Euler ligning Gromeka-lam ligning Vortex ligning Burgers ligning Lavt vand ligninger Korteweg-de Vries ligning
Elektromagnetisme	Maxwells ligninger Helmholtz ligning Landau-Lifshitz ligning Screenet Poisson-ligning
Kvantemekanik	Schrödinger ligning Heisenberg ligning Rarita-Schwinger ligning Hartrees ligning Dirac ligning Klein-Gordon ligning
Generelle modeller	Kontinuitetsligning bølgeligning Fokker-Planck ligning Poisson ligning

Løsningsmetoder

Metoder til løsning af differentialligninger

Gittermetoder

Finite element metoder	Finite element metode Galerkin metode Diskontinuerlig Galerkin-metode Flerskala Finite Element-metode Multigrid metode
Andre metoder	Endelig forskelsmetode Endeligt volumen metode Godunovs metode Grænseelementmetode

Ikke-grid metoder

Studie af ligninger

relaterede emner

Dirac ligning

Ligningstype

Fysisk betydning

Elektron, positron

Ansøgninger om andre partikler

Dirac-ligningen og kvantefeltteorien

Afledning af Dirac-ligningen

Karakteren af ​​bølgefunktionen

Løsning af ligningen

For partikler

For antipartikler

Bispinors

Energispektrum

Hulteori

Dirac-ligningen i quaternion-repræsentation

Relativistisk kovariant form

Forklaringer

Optaget med "Feynman skråstreg"

Dirac-ligningen for komponenterne i bølgefunktionen

Dirac bilineære former

Elektromagnetisk interaktion

Interaktion Hamiltonian

Lagrangian

Se også

Noter

Litteratur

Udvalgte artikler

Links

Karakteren af bølgefunktionen