Lavt vand ligninger

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 26. december 2019; checks kræver 5 redigeringer .

Lavtvandsligningerne (også kendt som Saint-Venant-ligningernei lineær form) er et system af hyperbolske partielle differentialligninger, der beskriver strømninger under overfladen af en væske.

Ligningerne opnås [1] ved at integrere Navier-Stokes-ligningerne over dybden , forudsat at den vandrette skala er meget større end den lodrette. Under denne betingelse følger det af kontinuitetsloven, at de lodrette hastigheder i væsken er små, de lodrette trykgradienter er tæt på nul, og de vandrette gradienter er forårsaget af ruheden af væskeoverfladen, og de vandrette hastigheder er samme i hele dybden. Ved integration langs lodret forlader de lodrette hastigheder ligningerne.

Selvom lodrette hastigheder er fraværende i lavvandsligningerne, er de ikke nul. Når de vandrette hastigheder opnås, udledes de lodrette hastigheder fra kontinuitetsligningen.

Situationer, hvor dybden af vandområdet er meget mindre end de vandrette dimensioner, er ret almindelige, så lavvandsligningerne er meget brugte. De bruges under hensyntagen til Coriolis-kræfterne i modelleringen af atmosfæren og havet som en forenkling af systemet af primitive ligninger , der beskriver strømmene i atmosfæren.

Lavtvandsligningerne tager kun højde for ét lodret niveau, så de kan ikke beskrive faktorer, der varierer med dybden. Men når dynamikken af strømninger i lodret retning er relativt enkel, kan lodrette ændringer adskilles fra vandrette, og tilstanden af et sådant system kan beskrives af flere ligningssystemer for lavt vand.

Ligninger

Konservativ form

Lavtvandsligningerne er afledt af masse- og momentumbevarelsesligningerne ( Navier-Stokes-ligningerne ), som er gyldige for det generelle tilfælde, herunder situationer, hvor lavtvandsbetingelserne ikke er opfyldt. Uden at tage højde for Coriolis-kræfterne , friktion og viskositet , har ligningerne formen:

{\begin{aligned}{\frac {\partial \eta }{\partial t))+{\frac {\partial (\eta u)}{\partial x))+{\frac {\partial (\eta v)}{\partial y))&=0\\[3pt]{\frac {\partial (\eta u)}{\partial t))+{\frac {\partial }{\partial x }}\left(\eta u^{2}+{\frac {1}{2}}g\eta ^{2}\right)+{\frac {\partial (\eta uv)}{\partial y }}&=0\\[3pt]{\frac {\partial (\eta v)}{\partial t}}+{\frac {\partial (\eta uv)}{\partial x}}+{\ frac {\partial }{\partial y}}\left(\eta v^{2}+{\frac {1}{2}}g\eta ^{2}\right)&=0.\end{aligned }}

Ikke-konservativ form

Ligninger kan skrives for hastigheder. Fordi hastigheder ikke er en del af de grundlæggende bevarelseslove, beskriver disse ligninger ikke fænomener som vandhammer eller hydraulisk spring .

{\begin{aligned}{\frac {Du}{Dt}}-fv&=-g{\frac {\partial \eta}{\partial x}}-bu,\\[3pt]{\frac {Dv}{Dt))+fu&=-g{\frac {\partial \eta }{\partial y))-bv,\\[3pt]{\frac {\partial \eta }{\partial t)) &=-{\frac {\partial }{\partial x)){\Bigl (}u\left(H+\eta \right){\Bigr )}-{\frac {\partial }{\partial y)) {\Bigl (}v\left(H+\eta \right){\Bigr )},\end{aligned))

hvor

$u$	er hastigheden langs x -aksen ;
$v$	er hastigheden langs y -aksen ;
$H$	er den gennemsnitlige højde af væskeoverfladen;
$\eta$	— trykafvigelse i det vandrette plan fra middelværdien;
$g$	- tyngdeacceleration;
$f$	er Coriolis-parameteren lig på Jorden $2\Omega \sin \varphi ;$
$\Omega$	er vinkelhastigheden af Jordens rotation omkring sin akse ( radianer /time); $\pi /12$
$\varphi$	- geografisk breddegrad;
$b$	er koefficienten for viskøs modstand.

Simuleringsapplikationer

Lavtvandsligninger kan anvendes til at simulere Rossby- og Kelvin -bølgeri atmosfæren, floder, søer, oceaner og mindre vandområder såsom bassiner. For at anvendelsen af lavtvandsligningerne skal være korrekt, skal vandområdets vandrette dimensioner være væsentligt større end dybden. Lavtvandsligningerne er også velegnede til modellering af tidevand. Tidevandsbevægelse, som har vandrette skalaer på hundreder af kilometer, kan betragtes som lavvandede fænomener, selvom de forekommer over mange kilometers havdybder.

Se også

Wolzingers metode

Noter

↑ David A. Randall. The Shallow Water Equations (engelsk) (utilgængeligt link) (6. juli 2006). Hentet 17. december 2011. Arkiveret fra originalen 6. september 2012.

Litteratur

Temam R. Navier-Stokes ligninger. Teori og numerisk analyse. - 2. udg. — M .: Mir, 1981. — 408 s.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Hydrodynamics. - 4. udgave, stereotypisk. — M .: Nauka , 1988. — 736 s. - (" Teoretisk fysik ", bind VI).
Kutepov A. M., Sterman L. S., Styushin N. G. Hydrodynamik og varmeoverførsel under fordampning. - 3. udg., Rev. - M . : Højere skole, 1986. - 448 s.
Kutepov A. M., Polyanin A. D., Zapryanov Z. D., Vyazmin A. V., Kazenin D. A. Kemisk hydrodynamik. - M. : Quantum, 1996. - 336 s. - 1500 eksemplarer.

Bulatov O. V., Elizarova T. G. Regulariserede lavvandsligninger og en effektiv metode til numerisk simulering af strømme i lavvandede områder // Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 2011. - T. 51 , nr. 1 . — S. 170–184 .

Elizarova T. G., Zlotnik A. A., Nikitina O. V. Modellering af endimensionelle lavvandede vandstrømme baseret på regulariserede ligninger . M. V. Keldysh. 2011. nr. 33. 36 s.

ZI Fedotova, GS Khakimzyanov Hierarki af lavvandede ligninger: Afledning, undersøgelse, beregningsalgoritmer . International konference "Mathematical and Information Technologies, MIT-2011".

AS Petrosyan Yderligere kapitler om hydrodynamikken af en tung væske med en fri grænse . IKI RAN, M., 2010, 128 s.

Links

Originale værker af Navier, Poisson, Saint-Venant, Stokes, viet til udledning af bevægelsesligningerne for en viskøs væske
https://web.archive.org/web/20120216051853/http://physics.nmt.edu/~raymond/classes/ph332/notes/shallowgov/shallowgov.pdf - udledning af lavtvandsligninger fra generelle principper (i stedet for forenkling af Navier-Stokes-ligninger), nogle analytiske løsninger.

Matematisk fysik

Typer af ligninger

Grænsebetingelser

Matematisk fysiks ligninger

Diffusion og konvektion	Varme ligning Diffusionsligning Mason-Weaver ligning
Hydrodynamik	Overførselsligning Navier-Stokes ligninger Euler ligning Gromeka-lam ligning Vortex ligning Burgers ligning Lavt vand ligninger Korteweg-de Vries ligning
Elektromagnetisme	Maxwells ligninger Helmholtz ligning Landau-Lifshitz ligning Screenet Poisson-ligning
Kvantemekanik	Schrödinger ligning Heisenberg ligning Rarita-Schwinger ligning Hartrees ligning Dirac ligning Klein-Gordon ligning
Generelle modeller	Kontinuitetsligning bølgeligning Fokker-Planck ligning Poisson ligning

Løsningsmetoder

Metoder til løsning af differentialligninger

Gittermetoder

Finite element metoder	Finite element metode Galerkin metode Diskontinuerlig Galerkin-metode Flerskala Finite Element-metode Multigrid metode
Andre metoder	Endelig forskelsmetode Endeligt volumen metode Godunovs metode Grænseelementmetode

Ikke-grid metoder

Studie af ligninger

relaterede emner