Finite element metode

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 5. marts 2021; checks kræver 9 redigeringer .

Finite element- metoden ( FEM ) er en numerisk metode til løsning af partielle differentialligninger , såvel som integralligninger, der opstår ved løsning af problemer inden for anvendt fysik . Metoden er meget udbredt til at løse problemer med faststofmekanik , varmeoverførsel, hydrodynamik , elektrodynamik og topologisk optimering.

Metode idé

Essensen af metoden ligger i dens navn. Området, hvori løsningen af differentialligninger søges, er opdelt i et endeligt antal underdomæner (elementer). I hvert af elementerne er typen af tilnærmelsesfunktion valgt vilkårligt . I det simpleste tilfælde er dette et polynomium af første grad. Uden for dets element er den tilnærmede funktion lig med nul. Værdierne af funktioner ved elementernes grænser (ved knudepunkter) er løsningen på problemet og er ikke kendt på forhånd. Koefficienterne for tilnærmelsesfunktioner søges normalt ud fra betingelsen om lighed mellem værdierne af nabofunktioner på grænserne mellem elementer (ved knudepunkter). Derefter udtrykkes disse koefficienter i form af værdierne af funktionerne ved elementernes noder. Et system af lineære algebraiske ligninger er kompileret . Antallet af ligninger er lig med antallet af ukendte værdier i de noder, hvorpå løsningen af det originale system søges, er direkte proportional med antallet af elementer og er kun begrænset af computerens muligheder. Da hvert af elementerne er forbundet med et begrænset antal tilstødende, har systemet med lineære algebraiske ligninger en sparsom form , hvilket i høj grad forenkler dets løsning.

I matrix-termer indsamles de såkaldte stivhedsmatricer (eller Dirichlet-matricen) og masser . Ydermere pålægges disse matricer grænsebetingelser (for eksempel under Neumann-betingelserne ændres intet i matricerne, og under Dirichlet-betingelserne slettes rækkerne og kolonnerne svarende til grænseknuderne fra matricerne, da pga. grænsebetingelser, er værdien af de tilsvarende komponenter i opløsningen kendt). Derefter samles et system af lineære ligninger og løses ved en af de kendte metoder.

Fra beregningsmatematikkens synspunkt er ideen om finite element-metoden, at minimeringen af det funktionelle af et variationsproblem udføres på et sæt funktioner, som hver er defineret på sit eget underdomæne.

Metoden har været meget brugt i design af konstruktioner, såvel som i modellering af bevægelsesmodeller, for eksempel af jorden. I udlandet begyndte metoden næsten øjeblikkeligt at blive brugt overalt, og i Rusland erstattede den variationsforskel, finit-difference og andre metoder først i 2000'erne. .

Blandt manglerne ved metoden er det værd at bemærke, hvilken indflydelse gitterstørrelsen har på de endelige resultater.

En illustration af metoden på et endimensionelt eksempel

Lad det være nødvendigt at løse følgende en-dimensionelle differentialligning i det en-dimensionelle rum P1 for at finde funktionen på intervallet fra 0 til 1. På grænserne af regionen er værdien af funktionen 0: $u$ $u$

{\mbox{ P1 }}:{\begin{cases}u''(x)=f(x){\mbox{ in }}(0,1),\\u(0)=u(1)= 0,\end{cases}}

hvor er en kendt funktion, en ukendt funktion af . anden afledning af til . Løsningen af problemet ved den endelige elementmetode vil blive opdelt i 2 faser: $f$ $u$ $x$ $du''$ $u$ $x$

Lad os omformulere grænseværdiproblemet til den såkaldte svage (variationelle) form. På dette stadium kræves der næsten ingen beregninger.
På det andet trin opdeler vi den svage form i endelige segmenter-elementer.

Derefter opstår problemet med at finde et system af lineære algebraiske ligninger, hvis løsning tilnærmer den ønskede funktion.

Hvis der er en løsning, så for enhver glat funktion , der opfylder grænsebetingelserne ved punkterne og , kan vi skrive følgende udtryk: $u$ $v$ $v=0$ $x=0$ $x=1$

(en) $\int _{0}^{1}f(x)v(x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}u''(x)v(x) \,\mathrm {d} x.$

Ved at bruge integration af dele transformerer vi udtryk (1) til følgende form:

(2) ${\textstyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}f(x)v(x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}u''( x)v(x)\,\mathrm {d} x\\=u'(x)v(x){\bigg |}_{0}^{1}-\int _{0}^{1} u'(x)v'(x)\,\mathrm {d} x\\=-\int _{0}^{1}u'(x)v'(x)\,\mathrm {d} x =-\phi(u,v).\end{aligned}}}$

Den blev opnået under hensyntagen til, at . $v(0)=v(1)=0$

Lad os opdele det område, hvor løsningen søges

u\i H_{0}^{1}

sådan at

\forall v\in H_{0}^{1},\;-\phi (u,v)=\int _{0}^{1}f(x)v(x)\mathrm {d }x

til endelige intervaller, og vi får et nyt mellemrum : $V$

(3) sådan, at

u\i V

\forall v\in V,\;-\phi (u,v)=\int _{0}^{1}f(x)v(x)\mathrm {d} x

hvor er rummets stykkevise domæne . Der er mange måder at vælge grundlag på . Vi vælger som basisfunktioner, så de er repræsenteret af rette linjer (polynomier af første grad): $V$ $H_{0}^{1}$ $V$ $v_{{k}}$

v_{k}(x)={\begin{cases}{x-x_{k-1} \over x_{k}\,-x_{k-1}}&{\mbox{, }} x\in [x_{k-1},x_{k}],\\{x_{k+1}\,-x \over x_{k+1}\,-x_{k))&{\mbox {, }}x\in [x_{k},x_{k+1}],\\0&{\mbox{, }}x\ikke \i [x_{k-1},x_{k+1} ]\end{sager}}

for (i dette eksempel ) $k=1,\ldots,n-1$ $n=5$

Hvis nu den ønskede omtrentlige løsning er repræsenteret som , og funktionen er tilnærmet som , så ved hjælp af (3) kan vi opnå følgende ligningssystem for de ønskede : $u(x)=\sum _{{k=1}}^{{n-1}}u_{k}v_{k}(x)$ $f(x)$ $f(x)=\sum _{{k=0}}^{n}f_{k}v_{k}(x)$ $u_{k}$

-\sum _{k=1}^{n-1}u_{k}\phi (v_{k},v_{j})=\sum _{k=0}^{n}f_{ k}\int v_{k}v_{j}\mathrm {d} x

hvor . $j=1,\ldots,n-1$

Fordele og ulemper

Finite element metoden er sværere at implementere end finite difference metoden . FEM har imidlertid en række fordele, der manifesteres i reelle problemer: en vilkårlig form af det behandlede område; gitteret kan gøres sparsommere steder, hvor der ikke er behov for særlig nøjagtighed.

I lang tid blev den udbredte brug af FEM hindret af manglen på algoritmer til automatisk at opdele et område i "næsten ligesidede" trekanter (fejlen, afhængigt af variationen af metoden, er omvendt proportional med sinus for enten de skarpeste eller den mest stumpe vinkel i skillevæggen). Dette problem blev dog løst med succes (algoritmerne er baseret på Delaunay-triangulering ), hvilket gjorde det muligt at skabe fuldautomatiske finite element CAD-systemer .

Historien om udviklingen af metoden

Den endelige element metode opstod fra behovet for nye måder at løse problemer i strukturel mekanik og teorien om elasticitet i 1930'erne . En af grundlæggerne af ideerne bag FEM er Alexander Khrennikov og Richard Courant . Deres arbejde blev udgivet i 1940'erne . Effektiviteten af FEM blev først demonstreret i 1944 af Ioannis Argyris , som implementerede metoden ved hjælp af en computer.

I Kina i 1950'erne foreslog Kang Feng en numerisk metode til løsning af partielle differentialligninger til beregning af dæmningsstrukturer. Denne metode er blevet kaldt finite difference-metoden baseret på variationsprincippet, som kan betragtes som en anden selvstændig måde at implementere finite element-metoden på.

Selvom de anførte tilgange adskiller sig i detaljer, har de én ting til fælles: diskretiseringen af et sammenhængende område af et gitter til et sæt af diskrete underdomæner, almindeligvis omtalt som elementer.

Yderligere udvikling af finite element-metoden er også forbundet med løsningen af rumforskningsproblemer i 1950'erne .

I USSR er udbredelsen og den praktiske implementering af FEM i 1960'erne forbundet med navnet Leonard Oganesyan .

FEM fik et betydeligt skub i sin udvikling i 1963 , efter at det blev bevist, at det kan betragtes som en af varianterne af Rayleigh-Ritz-metoden , der er almindelig inden for strukturmekanik , som ved at minimere potentiel energi reducerer problemet til et lineært system. ligevægtsligninger. Efter at forbindelsen mellem FEM og minimeringsproceduren var etableret, begyndte den at blive anvendt på problemer beskrevet af Laplace- eller Poisson - ligningerne . Anvendelsesområdet for FEM udvidedes betydeligt, da det blev fastslået (i 1968 ), at ligningerne, der bestemmer elementerne i problemer, let kan opnås ved hjælp af varianter af metoden med vægtede residualer , såsom Galerkin- metoden eller metoden med mindste kvadrater . Dette spillede en vigtig rolle i den teoretiske underbygning af FEM, da det tillod dens anvendelse til at løse mange typer differentialligninger. Således er den endelige element metode blevet en generel metode til numerisk løsning af differentialligninger eller systemer af differentialligninger.

Med udviklingen af computerværktøjer udvides metodens muligheder konstant, og klassen af problemer, der skal løses, udvides også. På nuværende tidspunkt er et stort antal implementeringer af finite element-metoden blevet foreslået i modellering af processerne for diffusion [1] , varmeledning [2] , hydrodynamik [3] , mekanik [4] , elektrodynamik [5] osv.

Se også

Litteratur

Gallagher R. Finite Element Method. Grundlæggende: Pr. fra engelsk. — M.: Mir, 1984
Deklu J. Finite element metode: Pr. fra fransk — M.: Mir, 1976
Zenkevich O. Finite element method in engineering - M.: Mir, 1975.
Zenkevich O., Morgan K. Finite elementer og tilnærmelse: Pr. fra engelsk. — M.: Mir, 1986
Segerlind L. Anvendelse af finite element-metoden - M.: Mir, 1979. - 392 s.
P. Austrell, O. Dahlblom, J. Lindemann, A. Olsson, K.-G. Olsson, K. Persson, H. Pettersson, M. Ristinmaa, G. Sandberg og P.-A. Wernberg. CALFEM: A Finite Element Toolbox: Version 3.4. Structural Mechanics, LTH, 2004. isbn: 91-8855823-1

Noter

↑ Analyse af multigrid-metoden til konvektions-diffusionsligninger med Dirichlet-grænsebetingelser
↑ Anvendelse af finite element-metoden til at løse problemet med varmeledning . Hentet 30. september 2017. Arkiveret fra originalen 13. april 2016. (ubestemt)
↑ Fundamentals of Computational Heat Transfer and Fluid Dynamics . Hentet 18. november 2013. Arkiveret fra originalen 10. juni 2015. (ubestemt)
↑ Brug af finite element-metoden til designberegninger af flishuggere . Hentet 18. november 2013. Arkiveret fra originalen 10. juni 2015. (ubestemt)
↑ Finite element-metode til løsning af en klasse af tredimensionelle eksterne problemer inden for elektrodynamik

Metoder til løsning af differentialligninger

Gittermetoder

Finite element metoder	Finite element metode Galerkin metode Diskontinuerlig Galerkin-metode Flerskala Finite Element-metode Multigrid metode
Andre metoder	Endelig forskelsmetode Endeligt volumen metode Godunovs metode Grænseelementmetode

Ikke-grid metoder