Elliptisk koordinatsystem

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 4. februar 2018; verifikation kræver 1 redigering .

Elliptiske koordinater er et todimensionalt ortogonalt koordinatsystem, hvor koordinatlinjerne er konfokale ellipser og hyperbler . For to fokuserer og er normalt taget punkter og på akserne af det kartesiske koordinatsystem . $F_{1}$ $F_{2}$ $-c$ $+c$ $x$

Grundlæggende definition

Elliptiske koordinater er normalt defineret af reglen: $(\mu ,\;\nu )$

\left\{{\begin{matrix}x=c\,\mathrm {ch} \,\mu \cos \nu \\y=c\,\mathrm {sh} \,\mu \sin \ nu \end{matrix}}\right.

hvor ,. _ $\mu \geqslant 0$ $\nu \i [0,\;2\pi )$

Dette definerer en familie af konfokale ellipser og hyperbler. Trigonometrisk identitet

{\frac {x^{2}}{c^{2}\,\mathrm {ch} ^{2}\,\mu }}+{\frac {y^{2}}{c^ {2}\,\mathrm {sh} ^{2}\,\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1

viser, at niveaulinjer er ellipser og en identitet fra hyperbolsk geometri $\mu$

{\frac {x^{2}}{c^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {y^{2}}{c^{2}\sin ^{ 2}\nu }}=\mathrm {ch} ^{2}\,\mu -\mathrm {sh} ^{2}\,\mu =1

viser, at niveaulinjerne er hyperbler . $\nu$

Lame koefficienter

Lame-koefficienterne for elliptiske koordinater er $(\mu ,\;\nu )$

H_{\mu }=H_{\nu}=c{\sqrt {(\mathrm {ch} \,\mu \,\sin \,\nu )^{2}+(\mathrm {sh} \,\mu \,\cos \,\nu )^{2}}}=c{\sqrt {\mathrm {sh} ^{2}\,\mu +\sin ^{2}\nu }}.

Identiteterne for dobbeltvinklen giver os mulighed for at bringe dem til formen

H_{\mu }=H_{\nu}=c{\sqrt {{\frac {1}{2}}(\mathrm {ch} \,2\mu -\cos 2\nu }}) .

Arealelementet er:

dS=c^{2}(\mathrm {sh} ^{2}\,\mu +\sin ^{2}\nu )\,d\mu \,d\nu ,

og Laplacianen er

\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{c^{2}(\mathrm {sh} ^{2}\,\mu +\sin ^{2}\nu ))) \left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2))}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2} }}\ret).

Andre differentialoperatorer kan opnås ved at substituere Lamé-koefficienterne i generelle formler for ortogonale koordinater. For eksempel skrives gradienten af et skalarfelt : $\Phi (\mu ,\;\nu )$

\mathrm {grad} \,\Phi ={\frac {1}{H_{\mu }}}{\frac {\partial \Phi}{\partial \mu }}\mathbf {e} _{ \mu }+{\frac {1}{H_{\nu }}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\mathbf {e} _{\nu},

hvor

\mathbf {e} _{\mu }=c(\mathrm {sh} \,\mu \cos \nu ,\,\mathrm {ch} \,\mu \sin \nu )

\mathbf {e} _{\nu }=c(-\mathrm {ch} \,\mu \sin \nu ,\,\mathrm {sh} \,\mu \cos \nu )

Anden definition

Nogle gange bruges en anden mere geometrisk intuitiv definition af elliptiske koordinater : $(\sigma ,\;\tau )$

\left\{{\begin{matrix}\sigma =\mathrm {ch} \,\mu \\\tau =\cos \nu \end{matrix}}\right.

Så niveaulinjer er ellipser og niveaulinjer er hyperbler. Hvori $\sigma$ $\tau$

\tau \in [-1,\;1],\quad \sigma \geqslant 1.

Koordinaterne har et simpelt forhold til afstandene til brændpunkterne og . Til ethvert punkt på flyet $(\sigma ,\;\tau )$ $F_{1}$ $F_{2}$

\left\{{\begin{matrix}d_{1}+d_{2}=2c\sigma \\d_{1}-d_{2}=2c\tau \end{matrix}}\right.

hvor er afstandene til brændpunkterne hhv. ${\displaystyle d_{1},\;d_{2))$ $F_{1},\;F_{2}$

På denne måde:

\left\{{\begin{matrix}d_{1}=c(\sigma +\tau )\\d_{2}=c(\sigma -\tau )\end{matrix}}\right.

Husk at og er placeret på punkterne og hhv. $F_{1}$ $F_{2}$ $x=-c$ $x=+c$

Ulempen ved dette koordinatsystem er, at det ikke kortlægger en-til-en til kartesiske koordinater:

\left\{{\begin{matrix}x=c\sigma \tau \\y^{2}=c^{2}(\sigma ^{2}-1)(1-\tau ^{ 2})\end{matrix}}\right.

Lame koefficienter

Lame-koefficienterne for alternative elliptiske koordinater er: $(\sigma ,\;\tau )$

h_{\sigma }=c{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2)){\sigma ^{2}-1))};

h_{\tau }=c{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}.

Arealelementet er

dA=c^{2}{\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2)){\sqrt {(\sigma ^{2}-1)(1-\tau ^{2 })}}}\,d\sigma \,d\tau ,

og Laplacianen er

\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{c^{2}(\sigma ^{2}-\tau ^{2})))\venstre[{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial \Phi }{\ partial \sigma }}\right)+{\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\sqrt {1-\tau ^{ 2))}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right].

Andre differentialoperatorer kan opnås ved at substituere Lamé-koefficienterne i generelle formler for ortogonale koordinater.

Litteratur

Korn G., Korn T. Håndbog i matematik (for videnskabsmænd og ingeniører). - M. : Nauka, 1974. - 832 s.

Se også

Apollonius' omkreds

Koordinatsystemer
Navn på koordinater	Abscisse Ordinere Applikation
Typer af koordinatsystemer	Retlineært koordinatsystem Kurvilineært koordinatsystem
2D koordinater	Tokantede koordinater Bicentriske koordinater Hyperbolske koordinater Polære koordinater Bipolære koordinater Parabolske koordinater Elliptiske koordinater Tetracykliske koordinater Trilineære koordinater
3D koordinater	Cylindriske koordinater Kugleformede koordinater Bisfæriske koordinater Toroidale koordinater Cylindriske parabolske koordinater Bicylindriske koordinater Ellipsoide koordinater Koniske koordinater Pentasfæriske koordinater Dipolært koordinatsystem
$n$ -dimensionelle koordinater	Cartesiske koordinater Affine koordinater Projektive koordinater Plücker koordinater barycentriske koordinater
Fysiske koordinater	Rindler koordinater Fødte koordinater Himmelsk koordinatsystem Geografiske koordinater Hovedortodromiske koordinatsystem
Relaterede definitioner	Koordinat metode Oprindelse Koordinatakse Vektor Orth referencesystem Benchmark Lamme koefficienter Metrisk tensor