Flerskala Finite Element-metode

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 13. februar 2019; verifikation kræver 1 redigering .

Multiscale finite element-metoden er en variation af finite element-metoden , der adskiller sig fra den klassiske i en speciel procedure til konstruktion af basisfunktioner.

Omfang

Multiskalametoden bruges til at løse problemer, hvor selve området er multiskala, det vil sige, at det kan repræsenteres som et vist stort område med de samme fysiske karakteristika (skelet) med mange små (relativt) indeslutninger med forskellige karakteristika. Næsten enhver naturlig struktur er multi-skala, for eksempel: et stykke jord har mange forskellige små udsving indeni, som vil være indeslutninger.

Essensen af metoden

Essensen af metoden er, at der vælges et særligt grundlag, som tager højde for tilstedeværelsen af indeslutninger. Grundlaget vælges efter Grønnes funktionsprincip , det vil sige, at ligningen med samme operator, men med en særlig højreside og særlige randbetingelser [1] løses . Variationsformulering kan udføres både på basis af Bubnov-Galyorkin-metoden og på basis af Petrov-Galyorkin-metoden.
Lad for eksempel en stationær varmeligning være givet med nogle randbetingelser:

$-\nabla \cdot (\lambda \nabla u)=f(\mathbf {r} ),~i~\Omega$
$u=g,~on~\partial \Omega$

Og et gitter er bygget på det beregningsmæssige domæne, lad os betegne et vilkårligt gitterelement og introducere en lokal basis på dette element, betegne det . Derefter kan de lokale multiskala basisfunktioner beregnes som: $K$ ${\displaystyle {\Bigl .}\{\phi _{i}^{0}\}{\Bigr |}_{i=1}^{n))$

$-\nabla \cdot (\lambda \nabla \phi _{i})=0,~i~K$
$\phi _{i}=\phi _{i}^{0},~on~\partial K$

For at løse denne ligning kan man også bruge FEM (evt. multiscale), i forbindelse hermed kaldes elementet et makroelement , og de elementer i gitteret, som basisfunktionerne søges på, er mikroelementer . Disse randbetingelser for multiskala-grundlaget kaldes førsteordens randbetingelser . For dem er der en begrænsning: inklusion må ikke krydse grænsen for elementet. Som allerede nævnt er det muligt at bruge formuleringerne af Bubnov-Galyorkin og Petrov-Galyorkin, forskellen er, at projektorsystemet af funktioner i den anden metode ikke tages som en multiskala, men som et indledende grundlag. For Petrov-Galyorkin-metoden kan elementerne i stivhedsmatricen beregnes ved hjælp af følgende formel (for Bubnov-Galyorkin-metoden skal du blot erstatte med ): $K$
${\displaystyle \phi _{i}^{0))$ $\phi_i$

${\displaystyle G_{ij}={\overline {\lambda ))\int _{K}{\nabla \phi _{i}\cdot \nabla \phi _{i}^{0}dx))$

Her er den gennemsnitlige værdi af diffusionskoefficienten på makroelementet, gennemsnittet udføres (hvis det udføres) i overensstemmelse med funktionerne i det problem, der skal løses. Selve integralet kan beregnes numerisk, herunder ved at udvide funktionerne i form af mikroelementer. ${\overline {\lambda ))$

Heterogen flerskalametode

En modifikation af multiskalametoden anvendes, når integraler for lokale matricer beregnes numerisk ved hjælp af kvadraturformler. Ideen med metoden er at søge efter en fuldt multiskala basisfunktion ikke på hele elementet, men kun i nærheden af integrationspunkterne [1] . Dette giver dig mulighed for at fremskynde beregningen af matricer.

Litteratur

Efendiev YR , Hou TY Multiscale finite element-metode. Teori og anvendelse.. - 2009. - Vol. 4. - ISBN 978-0-387-09496-0 .

Noter

↑ 1 2 Yu. I. Shokin , E. P. Shurina , N. B. Intkina. Moderne multigrid metoder. - NSTU, 2012. - 98 s. - ISBN 978-5-7782-2119-2 .

Metoder til løsning af differentialligninger

Gittermetoder

Finite element metoder	Finite element metode Galerkin metode Diskontinuerlig Galerkin-metode Flerskala Finite Element-metode Multigrid metode
Andre metoder	Endelig forskelsmetode Endeligt volumen metode Godunovs metode Grænseelementmetode