Sfærisk koordinatsystem

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 25. december 2020; verifikation kræver 1 redigering .

Et sfærisk koordinatsystem er et tredimensionelt koordinatsystem, hvor hvert punkt i rummet er defineret af tre tal , hvor er afstanden til origo (radial afstand), og og er henholdsvis zenit- og azimutvinklerne . $(r,\;\theta ,\;\varphi )$ $r$ $\theta$ $\varphi$

Begreberne zenit og azimut er meget brugt i astronomi . Zenith - retningen af den lodrette stigning over et vilkårligt valgt punkt (observationspunkt), der hører til grundplanet . Som grundplan i astronomi kan der vælges det plan, som ækvator ligger i, eller det plan, som horisonten ligger i, eller ekliptikkens plan osv., hvilket giver anledning til forskellige himmelkoordinater. Azimuth er vinklen mellem en vilkårligt valgt stråle af grundplanet med oprindelsen ved observationspunktet og en anden stråle i dette plan, der har en fælles oprindelse med den første.

Hvis vi betragter det sfæriske koordinatsystem i forhold til det kartesiske system , vil grundplanet være planet , zenitvinklen for punktet givet af radiusvektoren vil være vinklen mellem og aksen , og azimuten vil være vinklen mellem projektionen på planet og aksen . Dette forklarer navnene på vinklerne og at det sfæriske koordinatsystem kan tjene som en generalisering af mange slags himmelske koordinatsystemer . $Oxyz$ $xy$ $P$ $P$ $z$ $P$ $xy$ $x$

Definitioner

Positionen af et punkt i det sfæriske koordinatsystem bestemmes af det tredobbelte , hvor $P$ $(r,\;\theta ,\;\varphi )$

$r\geqslant 0$ er afstanden fra koordinaternes oprindelse til det givne punkt . $P$
$0^{\circ }\leqslant \theta \leqslant 180^{\circ }$ er vinklen mellem aksen og segmentet, der forbinder origo og punkt . $z$ $P$
$0^{\circ }\leqslant \varphi <360^{\circ }$ er vinklen mellem aksen og projektionen af segmentet, der forbinder oprindelsen af koordinater med punktet på planet (se fig. 1). $x$ $P$ $xy$

Vinklen kaldes zenit eller polær , den kan også kaldes inklination eller kolatitude , og vinklen er azimut . Vinklerne og er ikke defineret ved , og vinklen ved (det vil sige ved eller ) er heller ikke defineret. $\theta$ $\varphi$ $\theta$ $\varphi$ $r=0$ $\varphi$ $\sin(\theta )=0$ $\theta=0$ $\theta =180^{\circ }$

En sådan aftale er fastlagt i standarden ( ISO 31-11 ). Derudover kan konventionen bruges, når der i stedet for zenitvinklen bruges vinklen mellem punktets radiusvektor og planen , lig med . Det kaldes breddegrad og kan betegnes med samme bogstav . Breddegrad kan variere inden for . Under denne konvention er vinklerne og ligegyldige hvornår , ligesom i det første tilfælde, men ligegyldigt hvornår (det vil sige hvornår eller ). $\theta$ $P$ $xy$ $90^{\circ }-\theta$ $\theta$ $-90^{\circ }\leqslant \theta \leqslant 90^{\circ }$ $\theta$ $\varphi$ $r=0$ $\varphi$ $\cos(\theta )=0$ $\theta =-90^{\circ }$ $\theta =90^{\circ }$

Overgang til andre koordinatsystemer

Kartesisk koordinatsystem

Hvis punktets sfæriske koordinater er givet , udføres overgangen til kartesisk i henhold til formlerne: $(r,\;\theta ,\;\varphi )$

{\begin{cases}x=r\sin \theta \cos \varphi ,\\y=r\sin \theta \sin \varphi ,\\z=r\cos \theta .\end{cases))

Omvendt, fra kartesisk til sfærisk:

{\begin{cases}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\\\theta =\arccos {\dfrac {z}{\ sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2))))=\mathrm {arctg} {\dfrac {\sqrt {x^{2}+y^{2))}{z )),\\\varphi =\mathrm {arctg} {\dfrac {y}{x}}.\end{cases}}

Jacobian af transformationen til sfæriske koordinater er

{\begin{alignedat}{2}J&={\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )))={\begin{vmatrix}\ sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &r\sin \ theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{vmatrix}}=\\&=\cos \theta (r^{2}\cos \varphi ^{2}\cos \theta \sin \theta +r^{2}\sin ^{2}\varphi \cos \theta \sin \theta )+r\sin \theta (r\sin ^{2}\theta \cos ^{2 }\varphi +r\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\varphi )=\\&=r^{2}\cos ^{2}\theta \sin \theta +r^{2} \sin ^{2}\theta \sin \theta =\\&=r^{2}\sin \theta .\end{aligned}}

Således vil volumenelementet i overgangen fra kartesiske til sfæriske koordinater se sådan ud:

\mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=J(r,\theta ,\varphi )\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \, \mathrm {d} \varphi

Cylindrisk koordinatsystem

Hvis punktets sfæriske koordinater er givet, udføres overgangen til cylindriske i henhold til formlerne:

{\begin{cases}\rho =r\sin \theta ,\\\varphi =\varphi ,\\z=r\cos \theta .\end{cases))

Tilbage fra cylindrisk til sfærisk:

{\begin{cases}r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2))},\\\theta =\mathrm {arctg} {\dfrac {\rho }{z} },\\\varphi =\varphi .\end{cases}}

Jacobiansk transformation fra sfærisk til cylindrisk . $J=r$

Differentielle egenskaber

Vektoren tegnet fra punkt til punkt er lig med $\mathrm {d} \mathbf {r}$ $(r,\theta,\varphi)$ $(r+\mathrm {d} r,\,\theta +\mathrm {d} \theta ,\,\varphi +\mathrm {d} \varphi )$

\mathrm {d} \mathbf {r} =\mathrm {d} r\,{\boldsymbol {\hat {r}}}+r\,\mathrm {d} \theta \,{\boldsymbol {\hat { \theta ))}+r\sin {\theta }\,\mathrm {d} \varphi \,\mathbf {\boldsymbol {\hat {\varphi }}} ,

hvor

{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {r))}=\sin \theta \cos \varphi {\boldsymbol {\hat {\imath ))}+\sin \theta \sin \varphi {\boldsymbol {\hat {\jmath ))}+\cos \theta {\boldsymbol {\hat {k))))

{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}=\cos \theta \cos \varphi {\boldsymbol {\hat {\imath }}}+\cos \theta \sin \varphi {\boldsymbol {\ hat {\jmath ))}-\sin \theta {\boldsymbol {\hat {k))))

{\boldsymbol {\hat {\varphi ))}=-\sin \varphi {\boldsymbol {\hat {\imath ))}+\cos \varphi {\boldsymbol {\hat {\jmath ))}

ortogonale enhedsvektorer af sfæriske koordinater i henholdsvis stigningsretningen og er enhedsvektorer af kartesiske koordinater. Sfæriske koordinater er ortogonale, så den metriske tensor har en diagonal form i dem: $r,\theta ,\varphi$ ${\boldsymbol {\hat {\imath }}},{\boldsymbol {\hat {\jmath }}},{\boldsymbol {\hat {k}}}$

g_{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{pmatrix)),\quad g^{ij}= {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\dfrac {1}{r^{2}}}&0\\0&0&{\dfrac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }} \end{pmatrix}}

$\det(g_{ij})=r^{4}\sin ^{2}\theta .\$
Buelængde differential i kvadrat:

ds^{2}=dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}.

Lam koefficienter :

H_{r}=1,\quad H_{\theta }=r,\quad H_{\varphi }=r\sin \theta .

Christoffel symboler : $\{r,\;\theta ,\;\varphi \}$

\Gamma _{22}^{1}=-r,\quad \Gamma _{33}^{1}=-r\sin ^{2}\theta ,

\Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{13}^{3}=\Gamma _{31}^{3}={\frac {1} {r}},

\Gamma _{33}^{2}=-\cos \theta \sin \theta ,\quad \Gamma _{23}^{3}=\Gamma _{32}^{3}=\mathrm {ctg} \,\theta .

Resten er nul.

Matematisk modellering af jorden

Sfærisk geografisk koordinatsystem

Det sfæriske geografiske koordinatsystem er konstrueret som følger [1] :

dens begyndelse er placeret i Jordens centrum ;
den polære akse er rettet langs jordens rotationsakse ;
koordinaten måles langs radiusvektoren tegnet fra Jordens centrum; $r$
den polære vinkel er kolatituden (komplementet af geografisk breddegrad til ); $\theta$ $90^{\cirkel }$
azimutvinklen falder sammen med geografisk længdegrad (øst). $\varphi$

Den magnetiske induktionsvektor af Jordens magnetfelt har komponenter $\mathbf {B}$

B_{r}=-B\sin I,\;B_{\theta }=-B\cos I\cos D,\;B_{\varphi }=B\cos I\sin D,

hvor er den magnetiske hældning ; - magnetisk deklination . $jeg$ $D$

Komponenterne i fritfaldsaccelerationsvektoren er ${\mathbf {g}}$

g_{r}=-g,\;g_{\theta }=g_{\varphi }=0.

Endelig er komponenterne i Jordens vinkelhastighedsvektor : $\mathbf {\Omega }$

\Omega _{r}=\Omega \cos \theta ,\;\Omega _{\theta }=-\Omega \sin \theta ,\;\Omega _{\varphi }=0.

I sfæriske geografiske koordinater er det optimalt at løse ligninger, der beskriver opførselen af neutrale partikler i det nære Jord-rum [1] .

Sfærisk geomagnetisk koordinatsystem

Det sfæriske geomagnetiske koordinatsystem er konstrueret som følger [1] :

dens begyndelse er placeret i Jordens centrum ;
den polære akse er rettet langs aksen af Jordens magnetiske dipol (geomagnetisk akse), der passerer gennem de magnetiske poler ;
koordinaten måles langs radiusvektoren tegnet fra Jordens centrum; $r$
den polære vinkel er den geomagnetiske colatitude (komplementet af den magnetiske breddegrad til ); $\Theta$ $\Phi$ $90^{\circ }\colon \;\Theta =\pi /2-\Phi$
azimutvinklen falder sammen med den geomagnetiske længdegrad målt øst for det plan på den vestlige halvkugle , der indeholder de geografiske og geomagnetiske poler. $\lambda$

De geografiske koordinater for den nordmagnetiske pol er

\theta _{0}=4.6^{\circ },\;\varphi _{0}=43.0^{\circ }\;(2012).

I det sfæriske geomagnetiske koordinatsystem er deklination og $D=0$

B_{r}=-B\sin I,\;B_{\Theta }=-B\cos I,\;B_{\Lambda }=0,

g_{r}=-g,\;g_{\Theta }=g_{\Lambda }=0.

\Omega _{r}=\Omega (\cos \theta _{0}\cos \Theta -\sin \theta _{0}\sin \Theta \cos \Lambda ),

\Omega _{\Theta }=-\Omega (\cos \theta _{0}\sin \Theta +\sin \theta _{0}\cos \Theta \cos \Lambda ),

\Omega _{\Lambda }=\Omega \sin \theta _{0}\sin \Lambda .

Formler vedrørende geografiske og geomagnetiske sfæriske koordinater [1] :

\cos \Theta =\cos \theta _{0}\cos \theta +\sin \theta _{0}\sin \theta \cos(\varphi -\varphi _{0}),

\cos \Lambda ={\frac {-\sin \theta _{0}\cos \theta +\cos \theta _{0}\sin \theta \cos(\varphi -\varphi _{0} )}{\sin \Theta )),

\cos \theta =\cos \theta _{0}\cos \Theta -\sin \theta _{0}\sin \Theta \cos \Lambda ,

\cos(\varphi -\varphi _{0})={\frac {\sin \theta _{0}\cos \Theta +\cos \theta _{0}\sin \Theta \cos \Lambda }{\sin \theta )).

I sfæriske geomagnetiske koordinater er det nemmere end i sfæriske geografiske koordinater at beskrive effekten af det geomagnetiske felt på ladede partikler i jordens nærområde [1] .

Se også

Noter

↑ 1 2 3 4 5 Bryunelli B. E., Namgaladze A. A. Ionosfærens fysik. Moskva: Nauka, 1988. § 3.5, s. 172-173. ISBN 5-02-000716-1

Links

Weisstein, Eric W. Sfæriske koordinater hos Wolfram MathWorld .

Koordinatsystemer
Navn på koordinater	Abscisse Ordinere Applikation
Typer af koordinatsystemer	Retlineært koordinatsystem Kurvilineært koordinatsystem
2D koordinater	Tokantede koordinater Bicentriske koordinater Hyperbolske koordinater Polære koordinater Bipolære koordinater Parabolske koordinater Elliptiske koordinater Tetracykliske koordinater Trilineære koordinater
3D koordinater	Cylindriske koordinater Kugleformede koordinater Bisfæriske koordinater Toroidale koordinater Cylindriske parabolske koordinater Bicylindriske koordinater Ellipsoide koordinater Koniske koordinater Pentasfæriske koordinater Dipolært koordinatsystem
$n$ -dimensionelle koordinater	Cartesiske koordinater Affine koordinater Projektive koordinater Plücker koordinater barycentriske koordinater
Fysiske koordinater	Rindler koordinater Fødte koordinater Himmelsk koordinatsystem Geografiske koordinater Hovedortodromiske koordinatsystem
Relaterede definitioner	Koordinat metode Oprindelse Koordinatakse Vektor Orth referencesystem Benchmark Lamme koefficienter Metrisk tensor

Himmelsk mekanik

Love og opgaver	Newtons love Tyngdeloven Keplers love To kropsproblem Tre kropsproblem Gravitationelt N-legeme problem Bertrands problem Keplers ligning
Himmelsfære	Himmelsk koordinatsystem galaktisk vandret ækvatorial ekliptik Internationalt himmelsk koordinatsystem Sfærisk koordinatsystem verdens akse Himmelsk ækvator højre opstigning deklination Ekliptik Equinox Solhverv grundplan
Baneparametre _	Kepleriske elementer i kredsløbet excentricitet semi-hovedakse betyder anomali stigende node længdegrad periapsis argument Apocenter og periapsis Orbital hastighed Orbit node Epoke
Bevægelse af himmellegemer	Solens og planeternes bevægelse i himmelsfæren Ephemeris Planet konfigurationer konfrontation sammensatte kvadratur forlængelse parade af planeter Formørkelse solformørkelse måneformørkelse saros Metonisk cyklus Belægning Går igennem klimaks siderisk periode synodisk periode Rotationsperiode orbital resonans Equinox præludium Tilnærmelse librering Tyngdekraftens omfang Kozai effekt Yarkovsky effekt Dzhanibekov effekt

Astrodynamik

Rumfart	rumhastighed første (cirkulær) anden (parabolsk) tredje fjerde Tsiolkovskys formel Tyngdekraftsmanøvre Hohmanns bane Metode til at oskulere elementer Tidevandsacceleration Orbital hældningsændring Interplanetarisk transportnetværk Docking Lagrange punkter Pioneer effekt
SC -kredsløb	geostationær bane Heliocentrisk bane geosynkron bane geocentrisk bane geotransfer kredsløb Lav kredsløb om jorden polar bane Orbit "Tundra" Solsynkron bane Orbit "Lyn" Oskulerende kredsløb