Indledende og randbetingelser

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 26. maj 2021; verifikation kræver 1 redigering .

I teorien om differentialligninger er begyndelses- og randbetingelser  en tilføjelse til den grundlæggende differentialligning ( almindelig eller partiel differentialligning ), som specificerer dens opførsel i det indledende tidspunkt af tid eller ved grænsen af ​​det pågældende område.

Normalt har en differentialligning ikke én løsning, men en hel familie af dem. Start- og grænsebetingelserne giver dig mulighed for at vælge en, der svarer til en virkelig fysisk proces eller fænomen. I teorien om almindelige differentialligninger bevises en sætning om eksistensen og unikheden af ​​en løsning på et problem med en begyndelsestilstand (det såkaldte Cauchy-problem ). For partielle differentialligninger opnås nogle eksistens- og unikkesætninger for løsninger for visse klasser af begyndelses- og grænseværdiproblemer.

Terminologi

Nogle gange omtales startbetingelserne i ikke-stationære problemer, såsom løsningen af ​​hyperbolske eller parabolske ligninger , også som grænsebetingelser .

For stationære problemer er der en opdeling af randbetingelser i principielle og naturlige .

De vigtigste betingelser har normalt formen , hvor  er grænsen for regionen .

De naturlige forhold indeholder også derivatet af opløsningen i forhold til normalen til grænsen.

Eksempel

Ligningen beskriver et legemes bevægelse i jordens gravitationsfelt . Det er opfyldt af enhver andengradsfunktion af formen, hvor  er vilkårlige tal. For at isolere en specifik bevægelseslov er det nødvendigt at angive den indledende koordinat af kroppen og dens hastighed, det vil sige startbetingelserne .

Korrekthed af indstilling af grænsebetingelser

Problemer med matematisk fysik beskriver virkelige fysiske processer, og derfor skal deres udsagn opfylde følgende naturlige krav:

  1. Løsningen skal eksistere i en eller anden funktionsklasse;
  2. Løsningen skal være unik i enhver klasse af funktioner;
  3. Løsningen skal løbende afhænge af dataene (initial- og randbetingelser, intercept, koefficienter osv.).

Kravet om en kontinuerlig afhængighed af løsningen skyldes, at fysiske data som udgangspunkt bestemmes tilnærmelsesvist ud fra forsøget, og derfor skal man være sikker på, at løsningen af ​​problemet inden for rammerne af den valgte matematiske model vil ikke væsentligt afhængig af målefejlen. Matematisk kan dette krav for eksempel skrives som følger (for uafhængighed af det frie udtryk):

Lad to differentialligninger være givet: med de samme differentialoperatorer og de samme randbetingelser, så vil deres løsninger kontinuerligt afhænge af det frie led, hvis:

, hvor , - løsninger af de tilsvarende ligninger.

Det sæt funktioner, for hvilke de anførte krav er opfyldt, kaldes korrekthedsklassen . Den forkerte indstilling af grænsebetingelser er godt illustreret af Hadamards eksempel .

Se også

Litteratur