Spinor

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 9. august 2022; verifikation kræver 1 redigering .

En spinor ( eng. spin - rotate) er en særlig generalisering af begrebet en vektor , der bruges til bedre at beskrive gruppen af rotationer i et euklidisk eller pseudo- euklidisk rum.

Essensen af spinorbeskrivelsen af rummet V er konstruktionen af et hjælpekompleks lineært rum S , så V er indlejret i (i tensorproduktet af rummet S ved det komplekse konjugat til sig selv). $S\otimes S^{*}$

Elementerne i rummet S og kaldes "spinorer"; ofte (men ikke nødvendigvis) mangler de nogen direkte geometrisk betydning.

På spinorer er det dog muligt "næsten" at definere handlingen af en gruppe af rotationer, nemlig: en rotation virker på en spinor op til en ubestemt kompleks faktor lig med modulo 1 (i simple tilfælde op til ±1). kan repræsenteres som almindelige komplekse vektorer, men i et rum med en antisymmetrisk metrisk, for eksempel:

g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}

Spinorindekser kan være prikkede og ikke-prikkede, da spinoren for nogle indekser transformeres som et komplekst konjugat.

Hvis det oprindelige rum V blev betragtet over feltet af reelle tal , vil vektorerne fra V blive beskrevet i S ved hjælp af hermitiske matricer . $\mathbb {R}$

En matematisk streng begrundelse for en sådan konstruktion er lavet ved hjælp af Clifford-algebraen konstrueret ud fra det rum V , der er under undersøgelse .

Spinorer blev først betragtet i matematik af E. Cartan i 1913 . De blev genopdaget i 1929 af B. van der Waerden i forbindelse med forskning i kvantemekanik .

Definition

En spinor af første rang er en vektor i et todimensionelt komplekst rum, som transformeres i henhold til formlerne: $a=(a_{1},a_{2})$

a_{1}^{'}=\alpha _{11}a_{1}+\alpha _{12}a_{2}

a_{2}^{'}=\alpha _{21}a_{1}+\alpha _{22}a_{2}

med transformationsdeterminant lig med én:

{\begin{vmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{12}\\\alpha _{21}&\alpha _{22}\end{vmatrix}}=1

Spinoren er også betegnet som . $-en$ $a_{k},(k=1,2)$

Koefficienterne er komplekse tal. $\alpha _{rs},(r=1,2;s=1,2)$

For hver spinor er der en cospinor i det todimensionelle komplekse rum, som transformeres af formlerne: $b=(b_{\dot {1)),b_{\dot {2)))$

b_{\dot {1}}^{'}={\bar {\alpha _{11}}}b_{\dot {1}}+{\bar {\alpha _{12}}}b_{\dot {2}}

b_{\dot {2}}^{'}={\bar {\alpha _{21}}}b_{\dot {1}}+{\bar {\alpha _{22}}}b_{\dot {2}}

hvor tankestreger markerer komplekse konjugerede mængder. Indeksene for cospinorer er markeret med prikker. [en]

Spinorer af højere rang er mængder, der transformeres som produkter af spinorer af første rang. For eksempel transformeres en spinor af anden rang som et produkt af spinorer af første rang . En blandet spinor af anden rang transformeres som et produkt af spinorer af første rang . $a_{kl}(k,l=1,2)$ $a_{{k}}b_{{l}}$ $a_{{\dot {k}}l}({\dot {k}},l=1,2)$ $a_{\dot {k}}b_{l}$

I spinoralgebra, som i tensoralgebra, er reglen om summering over indekser, der gentages over og under, gyldig, og der er en metrisk spinor af anden rang og er defineret som følger: $e^{{kl}}$

a^{{k}}=e^{{kl}}a_{{l}}

a_{{k}}=e_{{kl}}a^{{l}}

e_{kl}=e_{lk}=e_{{\dot {k}}{\dot {l}}}=e_{{\dot {l}}{\dot {k}}}={\begin{ pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}

e^{kl}=e^{lk}=e^{{\dot {k}}{\dot {l}}}=e^{{\dot {l}}{\dot {k}}}= {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}

Egenskaber

Koordinaterne for spinorer og cospinorer er forbundet med følgende relationer:

a^{1}=a_{2}

... _

b^{\dot {1}}=b_{\dot {2}}

a^{2}=-a_{1}

... _

b^{\dot {2}}=-b_{\dot {1}}

Den absolutte værdi af enhver spinor af ulige rang er nul:

a_{{l}}a^{{l}}=0

a_{{lmn}}a^{{lmn}}=0

a^{{l}}b_{{l}}c_{{m}}+a_{{l}}b_{{m}}c^{{l}}+a_{{m}}b^{{ l}}c_{{l}}=0

[2] .

Spinorer bruges til at introducere differentielle operatorer, der er invariante under binære transformationer.

Komponenterne i en firedimensionel gradient svarer til operatørerne:

\partial _{1}^{1}=\partial _{{\dot {2}}1}={\frac {\partial }{\partial x^{1}}}+i{\frac {\partial }{\partial x^{2))}

-\partial _{2}^{\dot {2}}=\partial _{{\dot {1}}2}={\frac {\partial }{\partial x^{1}}}-i{ \frac {\partial }{\partial x^{2}}}

-\partial _{1}^{\dot {2}}=\partial _({\dot {1}}{\dot {1}}}={\frac {\partial }{\partial x^{3 ))}-{\frac {\partial }{\partial x^{4))}

-\partial _{2}^{\dot {1}}=\partial _{{\dot {2}}2}={\frac {\partial }{\partial x^{3}}}+{\ frac {\partial }{\partial x^{4}}}

[1] .

Tredimensionelt rum

For at repræsentere et 3-dimensionelt rum som S er det nødvendigt at tage et 2-dimensionelt komplekst rum $S={\mathbb {C} }^{2}.$

Vektorer af tredimensionelt rum vil svare til matricer med nul spor .

Spinorer i det 3-dimensionelle euklidiske rum har en algebra tæt på algebraerne for indre og vektorprodukter . Denne algebra indrømmer en bekvem beskrivelse i form af Hamiltonske kvaternioner . Nemlig, med hver vektor x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) fra reelle (eller komplekse ) tal, kan du associere en kompleks matrix :

{\mathbf {x} }\rightarrow X=x_{1}\sigma _{1}+x_{2}\sigma _{2}+x_{3}\sigma _{3}=\left( {\begin{matrix}x_{3}&x_{1}-ix_{2}\\x_{1}+ix_{2}&-x_{3}\end{matrix}}\right),

hvor er Pauli-matricerne (de er forbundet med basisvektorerne e 1 , e 2 , e 3 ). $\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix)),\quad \sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end {pmatrix}},\quad \sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

Matricer X af denne form, forbundet med vektorer x , har følgende egenskaber, der internt relaterer dem til geometrien af 3-dimensionelt rum:

det X = −(længde x ) 2 .
X 2 = (længde x ) 2 I , hvor I er identitetsmatrixen.
${\frac {1}{2}}(XY+YX)=({\mathbf {x} }\cdot {\mathbf {y} })I.$
${\frac {1}{2}}(XY-YX)=iZ,$ hvor Z er matrixen forbundet med krydsproduktet z = x × y .
Hvis u er en enhedsvektor, så er UXU den matrix, der er forbundet med vektoren opnået fra x ved refleksion i planet ortogonalt på u .
Ifølge lineær algebra er enhver rotation i 3-dimensionelt rum repræsenteret som to refleksioner. (Tilsvarende er enhver omvendt ortogonal transformation enten en refleksion eller et produkt af tre (generelt et ulige tal) refleksioner.) Hvis R således er en rotation, der kan repræsenteres som to successive refleksioner i planer vinkelret på enhedsvektorerne u 1 og u 2 , så repræsenterer matrixen U 2 U 1 XU 1 U 2 rotationen R af vektoren x .

Med en effektiv måde at repræsentere hele geometrien af rotationer af 3-dimensionelt rum som et sæt af komplekse 2×2-matricer, er det naturligt at spekulere på, hvilken rolle, om nogen, 2×1-matricerne spiller. Lad os midlertidigt kalde en kolonnevektor for en spinor:

\xi =\venstre[{\begin{matrix}\xi _{1}\\\xi _{2}\end{matrix}}\right],

med komplekse komponenter ξ 1 og ξ 2 . Det er klart, at komplekse 2×2-matricer virker i spinorrummet. Desuden definerer produktet af to refleksioner (for et givet par enhedsvektorer) en 2x2 matrix, hvis virkning på euklidiske vektorer er en rotation, så den roterer spinorerne. Men der er en vigtig egenskab her - faktoriseringen af rotation er ikke unik. Det er klart, at hvis X → RXR −1 er en repræsentation af en rotation, så vil erstatning af R med − R give den samme rotation. Faktisk kan det nemt påvises, at det er den eneste usikkerhed, der opstår. Virkningen af en rotationsoperation på en spinor har altid to værdier.

Minkowski space

Hvis vi tilføjer identitetsmatrixen (nummereret 0) til de tre Pauli-matricer , får vi en spinorrepræsentation af Minkowski-rummet M :

X=\sigma _{\mu }x^{\mu},\ \mu =0,\ 1,\ 2,\ 3.

I dette tilfælde vil lyslignende vektorer (af længden nul) svare til degenererede matricer af formen , hvor . $\pm {\bar {\psi }}\nogle gange \psi$ $\psi \i S$

Korrespondancen mellem Minkowski-rummet og 2×2 hermitiske matricer: M ≈Herm(2) vil være en-til-en .

Spinorer i fysik

Spinorer er på ingen måde en rent abstrakt konstruktion, der på ingen måde viser sig i forhold til virkelighedens geometri. Mange mængder, man støder på i kvantemekanikken, er spinorer (se spin , Dirac-ligning ). I den relativistiske betragtning anvendes ovenstående spinor-repræsentation af Minkowski-rummet. For eksempel er der en ret simpel spinor-repræsentation af Maxwells ligninger .

Ved lave hastigheder anvendes 3-dimensionelle spinorer.

Se også

Noter

↑ 1 2 Van der Werden B. L. Metode til gruppeteori i kvantemekanik , M., Editorial URSS, 2004, ISBN 5-354-00700-3
↑ Grundlæggende formler for fysik, red. D. Menzela, M., IL, 1957

Litteratur

Dirac P. Spinors i Hilbert space / Per. fra engelsk. — M.: Mir, 1978. — 126 s.
Zhelnorovich VA Teorien om spinorer og dens anvendelse i fysik og mekanik. — M.: Nauka, 1982. — 272 s.
Zhelnorovich VA Teorien om spinorer og dens anvendelser. — M.: August-Print, 2001. — 400 s. — ISBN 5-94681-001-4
Cartan E. Theory of spinors / Pr. fra fransk — M.: GIIL, 1947.
Penrose R. , Rindler W. Spinors og rum-tid. Bind 2 / Oversættelse fra engelsk. — M.: Mir, 1988. — 584 s.
Rashevsky P. K. Teori om spinorer. - Ed. 2. - M .: KomKniga, 2006. - 112 s. — ISBN 5-484-00348-2
Rumer Yu. B. Spinor-analyse. - M.-L.: ONTI, 1936. - 104 s.
Yappa Yu. A. Introduktion til teorien om spinorer og dens anvendelser i fysik: Lærebog / Ed. V. A. Franke. - Sankt Petersborg. : St. Petersburg State University, 2004. - 256 s. — ISBN 978-5-288-01951-7 .