Euler ligning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 24. oktober 2021; checks kræver 2 redigeringer .

Euler-ligningen er en af de grundlæggende ligninger for en ideel væskes hydrodynamik . Opkaldt efter L. Euler , der modtog denne ligning i 1752 (udgivet i 1757 ). I bund og grund er det ligningen for flydende bevægelse. Det er stadig ukendt, om der findes en glat løsning af Euler-ligningen i det tredimensionelle tilfælde, startende fra et givet tidspunkt. [en]

Den klassiske Euler-ligning

Overvej bevægelsen af en ideel væske . Lad os allokere noget volumen V inde i det . Ifølge Newtons anden lov er accelerationen af dette volumens massecenter proportional med den samlede kraft, der virker på det. I tilfælde af en ideel væske reduceres denne kraft til trykket af væsken, der omgiver volumenet og muligvis til påvirkning af eksterne kraftfelter . Lad os antage, at dette felt repræsenterer inertikræfterne eller tyngdekraften , så denne kraft er proportional med feltstyrken og volumenelementets masse. Derefter

\int \limits _{V}{\frac {d\mathbf {v} }{dt))\,dm=\int \limits _{V}\mathbf {g} \,dm-\oint \ grænser _{S}p\,d\mathbf {S} ,

hvor er overfladen af det valgte volumen, er feltstyrken. Ved at passere, ifølge Gauss-Ostrogradsky-formlen , fra overfladeintegralet til volumenet en og under hensyntagen til , hvor er væskens tæthed på et givet punkt, opnår vi: $\mathbf {S}$ ${\mathbf {g}}$ $dm=\rho \,dV$ $\rho$

\int \limits _{V}\rho \,{\frac {d\mathbf {v} }{dt))\,dV=\int \limits _{V}\rho \,\mathbf {g } \,dV-\int \limits _{V}\nabla p\,dV.

På grund af volumenets vilkårlighed skal integranderne være ens på et hvilket som helst tidspunkt: $V$

\rho {\frac {d\mathbf {v} }{dt))=\rho \mathbf {g} -\nabla s.

At udtrykke den samlede afledte i form af den konvektive afledte og den partielle afledte :

{\frac {d\mathbf {v} }{dt))={\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t))+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\ mathbf {v} ,

vi får Euler-ligningen for bevægelsen af en ideel væske i et gravitationsfelt :

${\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t))+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =\mathbf {g} -{\frac {1 }{\rho }}\nabla p,$

hvor

\rho \venstre(x,y,z,t\højre)

er væskens massefylde,

p\venstre(x,y,z,t\højre)

er trykket i væsken,

{\mathbf {v}}\venstre(x,y,z,t\right)

er væskehastighedsvektoren,

{\mathbf {g}}\venstre(x,y,z,t\right)

er kraftfeltstyrkevektoren,

\nabla

er nabla-operatøren for tredimensionelt rum .

Særlige tilfælde

Stationært endimensionelt flow

For tilfældet med en stationær en-dimensionel strøm af væske eller gas, tager Euler-ligningen formen

v{\frac {dv}{dx}}=-{\frac {1}{\rho }}\cdot {\frac {dp}{dx}}.

I denne form bruges ligningen ofte til at løse forskellige anvendte problemer inden for fluiddynamik og gasdynamik . Især ved at integrere denne ligning ved en konstant væsketæthed opnås den velkendte Bernoulli-ligning for en inkompressibel væske: $x$ $\rho$

{\frac {\rho v^{2}}{2}}+p={\text{const}}.

Inkompressibel væske

Lad . Ved hjælp af den velkendte formel $\rho ={\text{const))$

{\frac {1}{2}}\operatørnavn {grad} v^{2}=[\mathbf {v} \operatørnavn {rot} \mathbf {v} ]+(\mathbf {v\nabla } )\mathbf {v} ,

omskriv forholdet i skemaet

{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t))+{\frac {1}{2))\operatørnavn {grad} v^{2}=[\mathbf {v} \ operatørnavn {rot} \mathbf {v} ]-\operatørnavn {grad} {\frac {p}{\rho )).

Tager rotoren og overvejer det

\operatørnavn {rot} \operatørnavn {grad} \phi =0,

og de partielle derivater pendler , det får vi

${\frac {\partial }{\partial t))\operatørnavn {rot} \mathbf {v} =\operatørnavn {rot} [\mathbf {v} \operatørnavn {rot} \mathbf {v} ].$

Adiabatisk flow

Hvis der er en adiabatisk bevægelse af væsken, kan Euler-ligningen omskrives ved hjælp af den termiske funktion som følger: $w$

dw=V\,dp+T\,ds=V\,dp

skyldes, at i en adiabatisk proces er entropien konstant.

s

Følgelig:

{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t))+\left(\mathbf {v\nabla} \right)\mathbf {v} =-\operatørnavn {grad} w.

Bruger den kendte relation

{\frac {1}{2}}\operatørnavn {grad} v^{2}=[\mathbf {v} \operatørnavn {rot} \mathbf {v} ]+(\mathbf {v\nabla } )\mathbf {v}

og ved at anvende rotoroperationen på Euler-ligningen opnår vi den ønskede repræsentation i formen

{\frac {\partial }{\partial t))\operatørnavn {rot} \mathbf {v} =\operatørnavn {rot} [\mathbf {v} \operatørnavn {rot} \mathbf {v} ].

Se også

Lagrange ligninger
Euler-ligning i Gromeka-Lamb form
Bevægelsesligninger af en viskøs væske
Konforme transformationer er en metode til at finde formen for inviscid flows, løsninger af Euler-ligningen.
Vortex ligning
Liste over objekter opkaldt efter Leonhard Euler

Noter

↑ Stuart, 2015 , s. 315.

Litteratur

Landau L. D. , Lifshits E. M. Hydrodynamics. - M. , 1986. - (" Teoretisk fysik ", bind VI).
Falkovich G. Fluid Mechanics (Et kort kursus for fysikere) Cambridge University Press 2011
Stewart, Ian. De største matematiske problemer. — M. : Alpina faglitteratur, 2015. — 460 s. - ISBN 978-5-91671-318-3 .

Links

Russisk oversættelse af Eulers memoirer, hvor bevægelsesligningerne for en ideel væske først blev offentliggjort

Matematisk fysik

Typer af ligninger

Grænsebetingelser

Matematisk fysiks ligninger

Diffusion og konvektion	Varme ligning Diffusionsligning Mason-Weaver ligning
Hydrodynamik	Overførselsligning Navier-Stokes ligninger Euler ligning Gromeka-lam ligning Vortex ligning Burgers ligning Lavt vand ligninger Korteweg-de Vries ligning
Elektromagnetisme	Maxwells ligninger Helmholtz ligning Landau-Lifshitz ligning Screenet Poisson-ligning
Kvantemekanik	Schrödinger ligning Heisenberg ligning Rarita-Schwinger ligning Hartrees ligning Dirac ligning Klein-Gordon ligning
Generelle modeller	Kontinuitetsligning bølgeligning Fokker-Planck ligning Poisson ligning

Løsningsmetoder

Metoder til løsning af differentialligninger

Gittermetoder

Finite element metoder	Finite element metode Galerkin metode Diskontinuerlig Galerkin-metode Flerskala Finite Element-metode Multigrid metode
Andre metoder	Endelig forskelsmetode Endeligt volumen metode Godunovs metode Grænseelementmetode

Ikke-grid metoder

Studie af ligninger

relaterede emner