Neumann problem

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 5. december 2019; checks kræver 5 redigeringer .

Neumann-problemet , det andet grænseværdiproblem - i differentialligninger, et grænseværdiproblem med givne randbetingelser for den afledte af den ønskede funktion på grænsen af regionen - de såkaldte randbetingelser af den anden slags. Alt efter områdets type kan Neumann-problemet opdeles i to typer: internt og eksternt . Opkaldt efter Carl Neumann .

Udtalelse af problemet

Neumanns interne problem er stillet som følger: find en funktion i domænet , der opfylder følgende betingelser: $\Omega$ $u\in C^2(\Omega)\cap C^1(\overline{\Omega})$

\Delta u = 0

i området ved

\Omega

\frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}}\Bigg|_{\partial \Omega}=u_1(\mathbf{x}),\ u_1\i C(\partial \Omega),

hvor er Laplace-operatoren , er den ydre enhed normal på grænsen af domænet . $\Delta$ $\mathbf {n}$ $\Omega$

På uafgrænsede domæner ( eksternt Neumann-problem ) tilføjes en yderligere betingelse for afgrænsning ved uendelighed af den ønskede funktion i problemformuleringen . Løsningen af det ydre Neumann-problem i et dimensionsrum er unik, hvis funktionen er uendelig . I det todimensionale tilfælde kan løsningen findes op til en konstant, hvis betingelsen (*) er opfyldt. $\Omega$ $u$ $n>2$ $u \højrepil 0$

I det generelle tilfælde er det andet grænseværdiproblem problemet med at løse en partiel differentialligning med en given opførsel af den afledte på grænsen.

Opløselighedsbetingelse

Det vides fra potentialteorien, at en nødvendig betingelse for løseligheden af det interne Neumann-problem er opfyldelsen af ligheden.

$\int \limits _{\;\partial \Omega }u_{1}(\mathbf {x} )dS=0,\qquad \qquad (*)$

i dette tilfælde kan løsningen af det interne Neumann-problem kun findes op til en konstant. [en]

Fysisk fortolkning

For ligninger af forskellige processer er de anden grænseværdiproblemer, i modsætning til de første , givet og fortolket på forskellige måder, for eksempel:

For varmeledningsligningen er givet på formen , som tolkes som en varmeflux ved grænsen af området. $\Bigl. -\lambda \frac{\partial u}{\partial \mathbf{n)) \Bigr|_{\partial \Omega_2} = u_1(\mathbf{x})$
For ligninger afledt af Maxwells ligninger, for eksempel, fortolkes ligningen for en vektor som et magnetfelt ved grænsen. Sådanne forhold kaldes magnetiske randbetingelser . For en vektor tolkes som et elektrisk felt ved grænsen og kaldes elektriske randbetingelser . I tilfælde af en skalarligning er de givet som: , i vektortilfældet: [2] . $\mathbf {E}$ $\mathbf {H}$ $\Bigl. -\mu^{-1} \frac{\partial E}{\partial \mathbf{n)) \Bigr|_{\partial \Omega_2} = u_1(\mathbf{x})$ $\Bigl. \venstre ( \mu^{-1} \nabla \times \mathbf{E} \right ) \times \mathbf{n} \Bigr|_{\partial \Omega_2} = \mathbf{u_1}(\mathbf{x })$

Analytisk løsning

En analytisk løsning på Neumann-problemet kan udtrykkes ved hjælp af den grønne funktion :

{\displaystyle u(\mathbf {y} )=\int _{\partial \Omega }{u_{1}(\mathbf {x} )G(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )dx))

hvor er den grønnes funktion for Laplace-operatøren i domænet . $G(\mathbf{x},\mathbf{y})$ $\Omega$

Anden grænsebetingelser i numeriske metoder

Når man løser problemet ved hjælp af forskellige numeriske metoder, tages de andre grænsebetingelser i betragtning på forskellige måder:

I den endelige differensmetode tilnærmes den afledte af et særligt differensskema på det samme gitter, og den resulterende ligning føjes til det generelle system $\frac{\partial u}{\partial \mathbf{n))$
I finite element-metoden tages der hensyn til de anden grænseværdier i variationsformuleringen og er tilføjelser til højre side af ligningen : $\mathbf{b}_i = \int_{\Omega}{f(\mathbf{x})\varphi_i(\mathbf{x})dx} + \int_{\partial \Omega_2}{u_1(\mathbf{x} )\varphi_i(\mathbf{x})dx}$ $f(\mathbf{x})$ $\delvis \Omega_2$ $\varphi_i(\mathbf{x})$ $jeg$

Se også

Litteratur

V.M. Uroev. Matematisk fysiks ligninger. - M .: IF Yauza, 1998. - ISBN 5-88923-026-3 .

Noter

↑ M. M. Smirnov. Anden ordens partielle differentialligninger. - Moskva: Nauka, 1964.
↑ 1 2 Soloveichik Yu.G. , Royak M.E. , Persova M.G. Finite element-metode til skalar- og vektorproblemer. - Novosibirsk: NGTU, 2007. - 896 s. - ISBN 978-5-7782-0749-9 .

Matematisk fysik

Typer af ligninger

Grænsebetingelser

Matematisk fysiks ligninger

Diffusion og konvektion	Varme ligning Diffusionsligning Mason-Weaver ligning
Hydrodynamik	Overførselsligning Navier-Stokes ligninger Euler ligning Gromeka-lam ligning Vortex ligning Burgers ligning Lavt vand ligninger Korteweg-de Vries ligning
Elektromagnetisme	Maxwells ligninger Helmholtz ligning Landau-Lifshitz ligning Screenet Poisson-ligning
Kvantemekanik	Schrödinger ligning Heisenberg ligning Rarita-Schwinger ligning Hartrees ligning Dirac ligning Klein-Gordon ligning
Generelle modeller	Kontinuitetsligning bølgeligning Fokker-Planck ligning Poisson ligning

Løsningsmetoder

Metoder til løsning af differentialligninger

Gittermetoder

Finite element metoder	Finite element metode Galerkin metode Diskontinuerlig Galerkin-metode Flerskala Finite Element-metode Multigrid metode
Andre metoder	Endelig forskelsmetode Endeligt volumen metode Godunovs metode Grænseelementmetode

Ikke-grid metoder

Studie af ligninger

relaterede emner