Godunovs metode

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 9. april 2016; checks kræver 4 redigeringer .

Godunov -metoden er en implementering af gennemtællingsskemaer, der kan bruges til at beregne gasdynamiske strømme med diskontinuiteter i parametre inden for beregningsdomænet. Denne ordning blev foreslået af S. K. Godunov i 1959. Godunov-metoden er en variant af kontrolvolumenmetoden . Strømmene gennem sidefladerne bestemmes ud fra løsningen af problemet med henfaldet af en vilkårlig diskontinuitet . Lad os forklare med et eksempel.

Eksempel

Overvej konstruktionen af den numeriske Godunov-metode af den første rækkefølge af nøjagtighed ved at bruge eksemplet på løsning af ligningssystemet for endimensionel ustabil gasdynamik, skrevet i divergerende form :

{\begin{cases}{\begin{array}{lll}{\frac {\partial \rho }{\partial t))+{\frac {\partial \rho u}{\partial x))&=&0 \\{\frac {\partial (\rho u)}{\partial t))+{\frac {\partial (p+\rho u^{2})}{\partial x))&=&0\\{ \frac {\partial E}{\partial t}}+{\frac {\partial u(E+p)}{\partial x}}&=&0\end{array}}\end{cases}}

Her:

$\rho$ - tæthed
$s$ - tryk
$u$ - hastighed
$E$ er den samlede energi pr volumenhed

Læg mærke til det:

Den første ligning udtrykker loven om bevarelse af masse
Den anden ligning udtrykker momentumbevaringsloven
Den tredje ligning udtrykker loven om energibevarelse $E=e+{\frac {\rho u^{2}}{2}}$ $e=\rho \varepsilon ,$ $\varepsilon =\varepsilon (p,\rho ),$ $\varepsilon ={\frac {1}{\gamma -1}}\cdot {\frac {p}{\rho }}$ , hvor er den adiabatiske eksponent $\gamma$

Differentialform

Det indledende system kan skrives i en mere kompakt form:

{\frac {\partial q}{\partial t))+{\frac {\partial f}{\partial x))=0

hvor:

$q$ er vektoren af konservative variabler $q=\venstre({\begin{array}{c}\rho \\\rho \,u\\E\end{array}}\right)$
$f$ er strømningsvektoren $f=\venstre({\begin{array}{c}\rho \,u\\p+\rho \,u^{2}\\u(E+p)\end{array}}\right)$

Integral form

I stedet for ligningernes differentialform udleder vi en ny integralform af ligningerne, mere velegnet til at repræsentere en svag løsning . Her er en svag løsning en generaliseret funktion defineret af integralligheder opnået fra de tilsvarende differentialligninger og problemets begyndelsesbetingelser. For at gøre dette vælger vi en vis kontrolvolumen og integrerer ligningssystemet over dette volumen. Vi anvender den generaliserede Stokes-sætning på det opnåede integral af divergens (for to uafhængige variable vil dette være Greens sætning og Ostrogradsky-Gauss-formlen i tredimensionelt rum). I dette tilfælde introducerer vi retningen for at omgå konturen mod uret . $\Omega$

Separat, i betragtning af kontinuitetsligningen , får vi:

\iint \limits _{{\Omega }}\left({\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial \rho u}{\partial x}}\right)d \,xd\,t=\oint \limits _{{\partial \Omega }}\rho dx-\rho udt

For hele ligningssystemet

\iint \limits _{{\Omega }}\left({\frac {\partial q}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}\right)d\,xd \,t=0\Leftrightarrow \oint \limits _{{\partial \Omega }}(qdx-fdt)=0

At skrive systemet i udvidet form:

{\begin{cases}{\begin{array}{lll}\oint \limits _{{\partial \Omega }}(\rho \;d\,x-\rho u\;d\,t)&= &0\\\oint \limits _{{\partial \Omega }}(\rho u\;d\,x-(p+\rho u^{2})\;d\,t)&=&0\\\ oint \limits _{{\partial \Omega }}(E\;d\,xu(p+E)\;d\,t)&=&0\\\end{array}}\end{cases}}

Tilnærmelse

Overgangen fra differentialformen til at skrive det oprindelige ligningssystem til integralformen foretages. Integralformen skrives som lighed med nul af integralerne over konturen (grænsen for det valgte kontrolvolumen) fra vektorerne af konservative variabler og fluxer. Vi repræsenterer konturintegralet som summen af integraler over sektioner (intervaller) 1-2 , 2-3 , 3-4 , 4-1 af kontrolvolumenet i figuren (som endnu ikke er tilgængelig) og på hver sektion anslår vi integralet ved hjælp af metoden med rektangler som et produkt af integranden i midten af intervallet med længden af integrationsintervallet:

{\begin{array}{c}q_{{12}}\cdot (x_{{2}}-x_{{1}})-f_{{12}}\cdot (t_{{2}}-t_ {{1}})+\\\qquad q_{{23}}\cdot (x_{{3}}-x_{{2}})-f_{{23}}\cdot (t_{{3}} -t_{{2}})+\\\qquad \qquad q_{{34}}\cdot (x_{{4}}-x_{{3}})-f_{{34}}\cdot (t_{ {4}}-t_{{3}})+\\\qquad \qquad \qquad q_{{41}}\cdot (x_{{1}}-x_{{4}})-f_{{41} }\cdot (t_{{1}}-t_{{4}})=0\end{array}}\Rightarrow q_{{34}}=q_{{12}}-{\frac {\Delta t} {\Delta x}}(f_{{23}}-f_{{41}})

under hensyntagen til de ligheder, der er gyldige for kontrolvolumenet bygget på det kartesiske beregningsgitter:

$x_{3}-x_{2}=0$
$x_{1}-x_{4}=0$
$t_{2}-t_{1}=0$
$t_{4}-t_{3}=0$

I øvrigt:

$x_{2}-x_{1}=\Delta x$
$x_{4}-x_{3}=-\Delta x$
$t_{3}-t_{2}=\Delta t$
$t_{1}-t_{4}=-\Delta t$

find værdierne af vektoren af konservative variable i intervallet 3-4 , der tilhører det nye lag:

q_{{34}}=q_{{12}}-{\frac {\Delta t}{\Delta x}}(f_{{23}}-f_{{41}})\qquad \Rightarrow \qquad q_ {{j}}^{{n+1}}=q_{{j}}^{{n}}-{\frac {\Delta t}{\Delta x}}(f_{{j+{\frac { 1}{2))))-f_{{j-{\frac {1}{2)))))

I dette tilfælde angiver værdierne med halvheltalsindeks strømmene af lagrede værdier gennem grænserne for beregningscellen i løbet af tiden eller strømmene gennem sidefladerne ( 2-3 og 4-1 ) af kontrollen bind. Hvis strømningshastigheden er rettet i samme retning som den ydre normal på sidefladen, så er strømningen negativ , det vil sige, den strømmer ud af kontrolvolumenet og omvendt.

Udvidet:

{\begin{cases}{\begin{array}{lll}\rho _{{j}}^{{n+1}}&=&\rho _{{j}}^{{n}}-{ \frac {\Delta t}{\Delta x))((\rho u)_{{j+{\frac {1}{2))))-(\rho u)_{{j-{\frac { 1}{2}}}})\\(\rho u)_{{j}}^{{n+1}}&=&(\rho u)_{{j}}^{{n}} -{\frac {\Delta t}{\Delta x))((p+\rho u^{2})_{{j+{\frac {1}{2))))-(p+\rho u^{ 2})_{{j-{\frac {1}{2)))))\\E_{{j}}^{{n+1}}&=&E_{{j}}^{{n} }-{\frac {\Delta t}{\Delta x))((u(p+E))_{{j+{\frac {1}{2))))-(u(p+E)) _{{j-{\frac {1}{2}}}})\end{array}}\end{cases}}

Strømmene gennem sidefladerne og bestemmes ud fra løsningen af problemet med henfaldet af en vilkårlig diskontinuitet . $f_{{j+{\frac {1}{2))))$ $f_{{j-{\frac {1}{2))))$

Angivelse af grænsebetingelser

Et træk ved indstillingen og implementeringen af grænsebetingelser i kontrolvolumenmetoderne (inklusive Godunov-metoden) er behovet for at specificere eller beregne flows gennem kontrolvolumenfladen, der falder sammen med grænsen for beregningsdomænet. For de første og sidste celler i beregningslaget er det nødvendigt at bestemme massen, momentum og energi, der strømmer gennem ansigterne.

Ofte introduceres "virtuelle" beregningsceller for at sætte grænsebetingelserne. For at gøre dette indføres endnu en ekstra celle til venstre for den første celle og til højre for den sidste celle, i hver af hvilke sådanne flowparametre er specificeret, så de nødvendige flows modelleres på sidefladen ved løsning af Riemann problem .

Typer af grænseprocedurer

Alle antagelser er lavet i forhold til venstre kant

Fast stiv væg

Hovedbetingelsen er fraværet af flow af gasmassestrømmen gennem grænsen, hvilket svarer til betingelsen om nul flowhastighed på den givne flade . I den virtuelle celle skal følgende flowparametre derefter indstilles: $U=0$

{\begin{cases}{\begin{array}{lcl}p_{w}&=&p_{1}\\\rho _{w}&=&\rho _{1}\\u_{w}&= &-u_{1}\\\end{array}}\end{cases}}

"w" - parametre i en virtuel celle
"1" - parametre i den første celle

Strømningsparametrene opnået i diskontinuitetshenfaldsproblemet på sidefladen realiserer en massestrøm på nul gennem denne flade.

Reservoir med ubegrænset kapacitet

Matematisk svarer dette tilfælde til indstilling af trykværdien på ansigtet . Tilstrømningshastigheden kan bestemmes af formlen ${\tilde {P}}$

{\tilde {U}}=u_{1}+{\frac {{\tilde {P}}-p_{1}}{c_{1}}}

Hvori:

hvis , så ${\tilde {P}}>p_{1}$ $c_{1}={\frac {{\sqrt {\rho _{1}\cdot ((\gamma +1){\tilde {P))+(\gamma +1)p_{1})))} {2}}$
hvis , så ${\tilde {P}}<p_{1}$ $c_{1}={\frac {a_{1}\rho _{1}(\gamma -1)\left(1-{\frac {P}{p_{1))}\right)}{2\ gamma \left(1-\left({\frac {P}{p_{1))}\right)^{({\frac {\gamma -1}{2\gamma ))))\right)))$

Indstrømmende supersonisk flow

Lad understregningen angive parametrene for det supersoniske flow, så hvis , så ${\bar {U}}>{\bar {c}}={\sqrt {\frac {\gamma {\bar {P}}}{\bar {\rho }}}}$

{\begin{cases}{\begin{array}{lcl}p_{w}&=&{\bar {P}}\\\rho _{w}&=&{\bar {\rho }}\\ u_{w}&=&{\bar {U}}\\\end{array}}\end{cases}}

Undslipper supersonisk flow

I dette tilfælde indstilles følgende flowparametre i den virtuelle celle:

{\begin{cases}{\begin{array}{lcl}p_{w}&=&p_{1}\\\rho _{w}&=&\rho _{1}\\u_{w}&= &u_{1}\\\end{array}}\end{cases}}

Valg af mesh-indstillinger

Trinnet i beregningsgitteret langs tidskoordinaten i Godunov-metoden kan bestemmes ud fra Courant-Friedrichs-Levy stabilitetskriteriet . Med hensyn til den pågældende ordning er denne betingelse formuleret som følger:

De bølger, der opstår i problemet med henfaldet af en vilkårlig diskontinuitet på punktet, må ikke nå sidefladerne i tide og fordreje den selv-lignende løsning . $j+{\frac {1}{2}}$ $\Delta t$ $j+{\frac {3}{2}}$ $j-{\frac {1}{2}}$

Implementeringen af dette princip fører til følgende relationer:

\Delta t_{j}=r{\frac {\Delta x_{j}}{\max \left(|D_{{j+{\frac {1}{2}}}}^{{L}}|, |D_{{j-{\frac {1}{2}}}}^{{L}}|\right)))

hvor

$D_{{j+{\frac {1}{2}}}}^{{L}}$ er værdien af hastigheden af bølgen længst til venstre i henfaldet af diskontinuiteten;
$D_{{j-{\frac {1}{2}}}}^{{R}}$ er værdien af hastigheden af bølgen længst til højre i henfaldet af diskontinuiteten;

Som et resultat tager vi:

\Delta t=\min _{j}\Delta t_{j}

Litteratur

Numerisk løsning af multidimensionelle problemer med gasdynamik. Album / redaktør Godunov S. K. . — M .: Nauka, 1976. — 400 s. - 6500 eksemplarer.
Samarsky A.A., Popov Yu.P. Forskelsmetoder til løsning af problemer med gasdynamik. - M . : Nauka, 1992. - 2470 eksemplarer.

Links

Metoder til løsning af differentialligninger

Gittermetoder

Finite element metoder	Finite element metode Galerkin metode Diskontinuerlig Galerkin-metode Flerskala Finite Element-metode Multigrid metode
Andre metoder	Endelig forskelsmetode Endeligt volumen metode Godunovs metode Grænseelementmetode

Ikke-grid metoder