D'Alembert operatør

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 14. januar 2020; checks kræver 4 redigeringer .

D'Alembert- operatoren ( d'Alembert-operator, bølgeoperator, d'Alembertian ) er en andenordens differentialoperator

\square u:=\Delta u-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}},

hvor er Laplace-operatoren , er en konstant. Nogle gange skrives operatøren med det modsatte fortegn. $\Delta$ $c$

Det har formen i kartesiske koordinater :

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2))}+{\frac { \partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^ {2}}},

at tillade en direkte generalisering til enhver finit rumdimension , både større end og mindre end tre (en sådan generalisering kaldes også d'Alembert-operatoren, med tilføjelsen, hvis det ikke fremgår klart af konteksten, " -dimensional"). $n$

I tilfælde af en vektor har d'Alembert-operatoren formen:

${\displaystyle \square \mathbf {A} :=\Delta \mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} } {\partial t^{2))))$ [1] , hvorer en vektor, $\mathbf {A}$ $\mathbf {A} =A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z}\mathbf {k}$

$\square \mathbf {A} :=\Delta A_{x}\mathbf {i} +\Delta A_{y}\mathbf {j} +\Delta A_{z}\mathbf {k} -{\ frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}(A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z}\mathbf {k} )$

$\square \mathbf {A} :={\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^ {2}A_{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial z^{2}}}{\Biggr )}\ mathbf {i} +{\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{y} }{\partial y^{2))}+{\frac {\partial ^{2}A_{y)){\partial z^{2))}{\Biggr )}\mathbf {j} +{\ biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial y^{ 2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {k} -{\frac {1}{c^ {2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}(A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z }\mathbf {k} )$

Opkaldt efter J. D'Alembert (1747), som overvejede dens enkleste form, når man løste en endimensionel bølgeligning .

Det bruges i elektrodynamik , akustik og andre problemer med bølgeudbredelse (hovedsagelig lineær). D'Alembert-operatoren (af den tilsvarende dimension) er inkluderet i bølgeligningen for enhver dimension, der danner dens grundlag, såvel som i Klein-Gordon-Fock-ligningen .

Det er let at se, at d'Alembert-operatoren er en generalisering af Laplace-operatoren til tilfældet med Minkowski-rummet .

Skrivning i krumlinjede koordinater

D'Alembert-operator i sfæriske koordinater :

{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\venstre(r^{2}{\frac {\partial u}{\partial r}}\ højre)+{\frac {1}{r^{2}\sin \Theta }}{\frac {\partial }{\partial \Theta }}\left(\sin \Theta {\frac {\partial u} {\partial \Theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\Theta }}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varphi ^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}};

i cylindriske koordinater :

{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial u}{\partial \rho }}\right )+{\frac {1}{\rho ^{2))}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varphi ^{2))}+{\frac {\partial ^{2 }u}{\partial z^{2))}-{\frac {1}{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2))} ;

generelt krumlinjede koordinater (for rum-tid):

\square u\equiv {\frac {1}({\sqrt {-g)))){\frac {\partial }{\partial x^{\nu ))}\venstre({\sqrt {-g} }\,g^{{\mu \nu}}{\frac {\partial u}{\partial x^{\mu }}}\right),

hvor er determinanten af matricen , sammensat af koefficienterne for den metriske tensor . $g$ $\|g_{{\mu \nu ))\|$ $g_{\mu \nu }$

Noter

↑ I.V. Savelyev "Course of General Physics" Bind II afsnit "Wave Equation" s. 398

Litteratur

V.G.Vodnev, A.F.Naumovich, N.F.Naumovich "Mathematical Dictionary of Higher Education". Forlaget MPI 1984.
I.V. Savelyev "Course of General Physics" bind II

Differentialregning

Hoved

private udsigter

Differentialoperatorer
( i forskellige koordinater )

Første ordre	Nabla operatør Gradient Divergens Rotor Helmholtzian
anden orden	Elliptisk operatør Laplace operatør Laplace vektor operatør D'Alembert operatør Laplace-Beltrami operatør
højere ordrer	Hypoelliptisk operatør

relaterede emner