Aksial vektor

Aksialvektor , eller pseudovektor , er en størrelse, hvis komponenter transformeres som komponenter af en almindelig (sand) vektor, når koordinatsystemet roteres , men ændrer deres fortegn modsat, hvordan vektorkomponenterne opfører sig med enhver inversion (tegnvending) af koordinater, der ændrer orienteringen af ​​grundlaget (i tredimensionelt rum fra højre til venstre eller omvendt; en sådan transformation kan for eksempel være et spejlbillede, i det enkleste tilfælde et spejlbillede af en koordinatakse). [1] Det vil sige, at pseudovektoren vender retningen, mens den bibeholder den absolutte værdi (multipliceret med "-1") for enhver sådan inversion af koordinatsystemet.

Den grafisk afbildede pseudovektor med en sådan ændring i koordinater ændrer retning til det modsatte.

For at understrege forskellen mellem en reel vektor, hvis koordinater altid transformeres på samme måde som koordinaterne for en forskydningsvektor, kaldes en reel vektor en sand eller polær vektor .

Det enkleste eksempel på en aksial vektor i tredimensionelt rum er krydsproduktet af to polære vektorer, for eksempel i mekanik  - impulsmoment og kraftmoment , i firedimensionalt rum  - aksial strøm .

Inden for rammerne af ekstern algebra er en pseudovektor repræsenteret af en (n-1)-vektor i et n-dimensionelt rum. En geometrisk simpel (n-1)-vektor er et orienteret underrum vinkelret på en eller anden akse. I tredimensionelt rum er en pseudovector således en bivector , som igen kan repræsenteres som et orienteret plan.

Grundlæggende information

Ved transformation af koordinater ganges koordinaterne for den aksiale vektor med en ekstra faktor (-1) sammenlignet med koordinattransformationen af ​​sande (ellers kaldet polære) vektorer, hvis basisen ændrer orientering (f.eks. hvis basisen udsættes for spejl afspejling). Således er den aksiale vektor, ligesom den pseudoskalære , et særligt tilfælde af pseudotensoren . Den grafisk afbildede pseudovektor med en sådan ændring i koordinater ændrer retning til det modsatte.

• I geometri kan den mest almindelige brug af en pseudovektor være at repræsentere en tredimensionel infinitesimal rotation med dens hjælp . Sandsynligvis (?), kommer udtrykket aksial vektor netop herfra, da pseudovektoren bestemmer rotationsaksen (dens retning), men kun op til en faktor (±1), hvor rotationsretningen er forbundet med et betinget vilkårligt valg af det rigtige grundlag ud fra et matematisk synspunkt. [2] I modsætning til den sande (polære) vektor, som repræsenterer et rettet segment (eller parallel translation ) helt bestemt og utvetydigt givet af start- og slutpunkterne.
• I mekanik - i kinematik - i direkte forbindelse med den ovennævnte repræsentation af en infinitesimal rotation - er den mest almindelige pseudo-vektor størrelse vinkelhastighedsvektoren . Den sande hastighedsvektor opnås fra vinkelhastighedspseudovektoren ved en pseudovektoroperation . I statik og dynamik er disse først og fremmest det ovennævnte kraftmoment og impulsmoment.

Den sædvanlige måde at generere pseudo-vektorer på er pseudo-vektor-operationer, den mest almindelige, hvis ikke den eneste, der bruges i det tredimensionelle tilfælde, er vektorproduktet (da det inkluderer Levi-Civita-pseudotensoren i den sædvanlige koordinatnotation ) og operationer, der indeholder vektorproduktet (f.eks. rotor osv.) n.) [3] eller et ulige antal af dem. Pseudovektoroperationen genererer pseudovektorer og pseudoskalare fra sande vektorer og skalarer.

Så når man multiplicerer en sand vektor med en sand vektor, opnås en sand skalar i skalarproduktet og en pseudovektor i vektorproduktet. Når man multiplicerer en sand vektor med en pseudovektor, opnås en pseudoskalær i skalarproduktet og en sand vektor i vektorproduktet. Ved multiplikation af to pseudovektorer opnås henholdsvis en ægte skalar i skalarproduktet og en pseudovektor i vektorproduktet.

I fysiske teorier, med undtagelse af dem, hvor der er en eksplicit og i princippet observerbar krænkelse af rummets spejlsymmetri, kan pseudovektorer være til stede i mellemværdier, men i endelige, observerbare, faktorerne (-1) i tilfælde af spejl skal refleksioner af koordinater ødelægges, der forekommer i produkter af lige antal gange (et lige antal pseudovektor + pseudoskalær + andre pseudotensorfaktorer).

• For eksempel i klassisk elektrodynamik er magnetfeltinduktionen  en pseudovektor, da den genereres af en pseudovektor-operation, for eksempel i Biot-Savart-loven , men selve denne værdi (pseudovektor) er defineret i princippet op til en betinget faktor , som kan vælges +1 eller -1. Imidlertid indeholder den faktisk observerede værdi - accelerationen af ​​en ladning under påvirkning af et magnetfelt - i sin beregning endnu en pseudovektoroperation i udtrykket for Lorentz-kraften , hvilket giver en mere betinget faktor ±1, lig med den første. , mens vilkårligheden forsvinder i svaret, da produktet ±1 (±1) kun giver 1.

Se også

• Symmetri
• Skalar

Noter

1. ↑ Vi taler om transformation af basisvektorer med en transformationsmatrix, der har en negativ determinant. Dette er et vigtigt punkt for at forstå sagens essens, da for eksempel når fortegnet for alle koordinater ændres, er transformationen ækvivalent med en rotation (med 180°) og ikke ændrer orienteringen af ​​grundlaget, hhv. , og pseudovektoren med en sådan koordinattransformation vil blive transformeret på samme måde som en sand vektor, den vil ikke ændre fortegn sammenlignet med med ham.
2. ↑ Det betyder, at fra et matematisk synspunkt er det højre grundlag ikke til at skelne fra det venstre (mens man ud fra et fysiksynspunkt kan finde forskelle i den virkelige fysiske verden - men fra et matematisk synspunkt er dette den virkelige fysiske verden er ikke udskilt i forhold til den hypotetiske anti-verden med en spejlrefleksion, så hvis den ene blev erstattet af en anden, ville vi simpelthen ikke mærke noget. Det samme gælder for at knytte det rigtige grundlag til biologisk asymmetri (hjertet) er til venstre hos de fleste mennesker, de fleste er højrehåndede osv. Det matematiske synspunkt kommer således ned på, at vi i starten udskiller et eller andet grundlag, så at sige vilkårligt, kalder det betinget rigtigt, og så alle andre baser kan klassificeres i højre og venstre i forhold til det.
3. ↑ I nogle tilfælde kan nogle af definitionerne af sådanne operationer implicit indeholde vektorproduktoperationen, men dens formelle tilstedeværelse er normalt let at opdage, når den omformuleres. Og det er selvfølgelig muligt at vise dens pseudo-vektor natur direkte uden at involvere konceptet om et vektorprodukt.