Galerkin metode

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 5. marts 2021; checks kræver 2 redigeringer .

Galerkin -metoden ( Bubnov -Galyorkin- metoden) er en metode til den omtrentlige løsning af et grænseværdiproblem for en differentialligning . Her kan operatoren indeholde delvise eller komplette afledte af den ønskede funktion. $L[u]=f(x)$ $L[\cdot]$

Grundlaget for metoden

Det første trin i implementeringen af Galerkin-metoden er at vælge et sæt basisfunktioner , der:

opfylder grænsebetingelserne .
på grænsen af et uendeligt antal basiselementer danner et komplet system .

Den specifikke type basisfunktioner bestemmes ud fra problemets detaljer og bekvemmeligheden ved arbejdet. Ofte bruges trigonometriske funktioner , ortogonale polynomier (polynomier af Legendre , Chebyshev , Hermite , etc.).

Løsningen er repræsenteret som en udvidelse i forhold til grundlaget:

$\psi(x) = \sum_{k=1}^n \alpha_k \phi_k(x).$

, hvor er de valgte basisfunktioner, er de ukendte vægtkoefficienter. $\phi _{k}(x)$ ${\displaystyle \alpha _{k))$

Derefter erstattes den omtrentlige løsning i den oprindelige differentialligning, og dens uoverensstemmelse beregnes . For en homogen ligning vil uoverensstemmelsen se ud som: $L[u]=0$

$L\venstre[\psi (x)\right]=N(x).$

For en inhomogen ligning vil uoverensstemmelsen se ud som . $L[u]=f(x)$ $N(x)=L[\psi(x)]-f(x)$

Yderligere fremsættes kravet om ortogonalitet af residualfunktionerne til basisfunktionerne, det vil sige:

$\int\limits_a^b{N(x) \phi_k(x) dx} = 0.$

Herfra opnås et homogent ligningssystem for koefficienterne i udvidelsen, og det er muligt tilnærmelsesvis at finde problemets egenværdier . ${\displaystyle \alpha _{k))$

Eksempel

Betragt, som en illustration , en almindelig differentialligning :

$\psi'' + \lambda \psi = 0,$

med grænsebetingelser:

$\psi(0) = \psi(1) = 0.$

Løsningen til denne ligning er kendt:

$\psi(x) = \sin \pi nx, \quad \lambda = \pi^2 n^2, \qquad n = 1,2..$

For den første ikke-trivielle løsning er egenværdien . $(n=1)$ $\lambda = \pi^2 \ca. 9.869...$

Lad os nu anvende Galerkin-metoden. Lad os først vælge en basisfunktion:

$\phi_0(x) = x(1-x), \qquad \psi(x) = a_0 \phi_0(x).$

Substituerer vi i ligningen, får vi uoverensstemmelsen:

$N(x) = a(\phi'' + \lambda \phi),$

og kravet om resterende ortogonalitet vil blive omskrevet i formen:

$\int\limits_0^1{\phi'' \phi dx} + \lambda \int\limits_0^1{\phi^2 dx}=0.$

Herfra er det tydeligt:

$\lambda = - {\int\limits_0^1{\phi''\phi dx}\over \int\limits_0^1{\phi^2 dx)) = {\int\limits_0^1{(\phi') ^2 dx}\over \int\limits_0^1{\phi^2 dx}}.$

I eksemplet givet her viser det sig , at det afviger med mindre end 1,5 % fra den nøjagtige løsning. Angivelse af et større antal basisfunktioner gør det muligt at forfine den allerede kendte værdi af λ, samt at opnå en første tilnærmelse for den næste (svarende til n=2). $\lambda = 10$

Vi repræsenterer løsningen som en lineær kombination af n funktioner:

$\psi(x)=\sum_{k=1}^n \alpha_k \phi_k(x).$

Så uoverensstemmelsen:

$N = \sum_{k=1}^n N_k(x)$ .

Ligningssystem for ekspansionskoefficienter:

$\sum_{k=1}^n \alpha_k \int\limits_a^b{\phi_j N_k dx} = 0, \quad j=1..n.$

I dette tilfælde findes egenværdierne ud fra betingelsen om systemets løselighed (lighed med nul af dets determinant ):

$\operatorname{det} \left( A_{jk} \right) = 0, \quad A_{jk} = \int\limits_a^b{\phi_j N_k dx}$

Det er vigtigt at huske, at konvergensen af Galerkin-metoden ikke altid opnås hurtigt. Vellykket ansøgning er kun mulig for den såkaldte. selvtilknyttede problemer, det vil sige invariant i forhold til den hermitiske konjugation .

Sorter

Galerkin-metoden har flere forbedrede muligheder:

Galerkin-Petrov-metoden - løsningen udvides på én basis, og ortogonaliteten af resten er påkrævet til en anden.
Galerkin-Kantorovich-metoden gør det muligt at reducere partielle differentialligninger til almindelige differentialligninger. For eksempel, i et todimensionelt problem, er løsningen repræsenteret som: og Galerkin-proceduren anvendes kun på én funktion (her eller ). Som et resultat opnås et system af ODE'er, til hvis løsning der er effektive numeriske metoder. Denne teknik ligner den velkendte Hartree-Fock metode inden for kvantemekanik . $\psi(x,y)=\sum_n b_n X_n(x) Y_n(y),$ $X_n(x)$ $Y_n(y)$

Ansøgning

Galerkins metoder har længe været brugt både til at løse partielle differentialligninger og til at danne grundlag for den endelige elementmetode .

Anvendelsen af metoden til undersøgelse af problemer med stabilitet af hydrodynamiske strømme blev implementeret af G. I. Petrov , som beviste konvergensen af Galerkin-metoden til at finde egenværdier af en bred klasse af ligninger, herunder ligninger for ikke-konservative systemer, såsom som for eksempel oscillationsligninger i en viskøs væske.

Inden for hydrodynamik virker Galerkin-metoden mest effektivt i problemer med konvektion , på grund af deres selvtilknytning. Problemer med strømme er ikke sådanne problemer, og metodens konvergens med et mislykket valg af grundlag kan være meget vanskeligt.

Navnets oprindelse

Metoden vandt popularitet efter Boris Galerkins ( 1915 ) forskning. Det blev også brugt af Ivan Bubnov ( 1913 ) til at løse problemer i elasticitetsteorien . Derfor kaldes denne metode nogle gange Bubnov-Galyorkin-metoden . Teoretisk blev metoden underbygget af den sovjetiske matematiker Mstislav Keldysh i 1942 .

Se også

Weisstein, Eric W. Galerkin Method (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .

Litteratur

Vorovich II Om Bubnov-Galyorkin-metoden i den ikke-lineære teori om svingninger af lavvandede skaller. - Rapporter fra USSR's Videnskabsakademi, 1956. - T. 110. - Nr. 5. - S. 723-726.
A. D. Lyashko . Om konvergensen af metoder af Galerkin-typen // Doklady AN SSSR. 1958. bind 120, nr. 2;
Galerkin B. G. Stænger og plader. Serie i nogle spørgsmål om elastisk ligevægt af stænger og plader. // Bulletin for ingeniører. - 1915. - T. 1. - S. 897-908.
Kantorovich L. V. , Krylov V. I. Tilnærmede metoder til højere analyse. - 5. udg. - L.-M., 1962.
Mikhlin S. G. Variationelle metoder i matematisk fysik. - 2. udg. — M.-L. - 1970.
Fletcher K. Numeriske metoder baseret på Galerkin-metoden. - M.-Mir - 1988.
Itô, K. (Red.). "Andre metoder end forskelsmetoder." § 303I i Encyclopedic Dictionary of Mathematics, 2. udg., Bd. 2. Cambridge, MA: MIT Press, s. 1139, 1980.
Ritz W. , Neue Methode zur Lösung gewisser Randwertaufgaben, "Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Matematik.-fysik. klasse. Nachrichten, Göttingen, 1908.
Ritz W., Über eine neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik, "Journal für die reine und angewandte Mathematik", 1909, Bd 135.
Gulyaev V.I. , Bazhenov V.A. , Popov S.L .,. Anvendte problemer i teorien om ikke-lineære svingninger af mekaniske systemer. - M . : Højere skole, 1989. - 383 s. - ISBN 5-06-000091-5 .

Metoder til løsning af differentialligninger

Gittermetoder

Finite element metoder	Finite element metode Galerkin metode Diskontinuerlig Galerkin-metode Flerskala Finite Element-metode Multigrid metode
Andre metoder	Endelig forskelsmetode Endeligt volumen metode Godunovs metode Grænseelementmetode

Ikke-grid metoder