Handling (fysisk mængde)

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 16. oktober 2020; checks kræver 9 redigeringer .

Handling
$S=\int L(q,\;{\dot {q)],\;t)~\mathrm {d} t$
Dimension	L2MT -1 _ _
Enheder
SI	J s _
GHS	erg s _
Noter
skalar

Handling i fysik er en skalær fysisk størrelse , som er et mål for bevægelsen af et fysisk system . Handlingen er en matematisk funktion , der tager et fysisk systems bane som argument og returnerer et reelt tal som et resultat .

Handling er en af de fundamentale fysiske størrelser, som indgår i den moderne formulering af de fleste af de grundlæggende fysiske teorier i alle fundamentale dele af fysikken, mens de også har stor betydning i teoretisk fysik . Det kan være af mindre betydning i relativt mere anvendte områder, selvom det ofte også bruges der. Det bruges ligeligt i kvante, og i klassisk og i relativistisk fysik .

I klassisk mekanik postulerer princippet om mindste handling , at et fysisk system altid følger banen med mindst handling.

I kvantemekanikken , i formuleringen af teorien i form af sti-integraler , følger et fysisk system samtidig alle mulige baner, og amplituden af sandsynligheden for at følge en bestemt bane bestemmes af denne banes handling. Hvis den karakteristiske handling er meget større end Plancks konstant , så er amplituden af den klassiske bane med mindst handling dominerende - dermed bliver kvantemekanikken klassisk.

Handlingen har den fysiske dimension energi · tid = momentum · afstand , hvilket falder sammen med dimensionen momentum . Ifølge den fysiske betydning er handlingen fasen af kvante " sandsynlighedsbølgen ", mere præcist er den proportional med denne fase (på grund af en anden dimension i traditionelle systemer af fysiske enheder (inklusive SI )): - med en konstant dimensionskoefficient - Plancks konstant . $S = \hbar\varphi$

Hvis en handling er skrevet for et eller andet system , så bestemmer dette i princippet både dets klassiske adfærd (det vil sige systemets adfærd i den klassiske tilnærmelse) og dets kvanteadfærd. Den første er gennem princippet om stationær (mindst) handling, den anden er gennem Feynman-sti-integralet. Samtidig er selve handlingen skrevet på samme måde, i samme form, for både de klassiske og kvantetilfælde, hvilket gør den til et meget bekvemt værktøj (til kvantisering gennem Feynman-integralet behøver du i princippet kun at kende handlingen defineret for almindelige klassiske baner, det vil sige skrevet på samme måde som for den klassiske anvendelse).

Terminologi

Historisk har terminologien svinget ret meget, men det er nu sædvanligt at kalde kvantitetshandlingen

S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}L(q,\;{\dot {q)),\;t)\,dt

eller

S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\bigg (}\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}- H(q,\;p,\;t){\bigg )}\,dt,

hvor:

$t$ - tid,
${\displaystyle q=\{q_{1},\;q_{2},\;\ldots ,\;q_{N}\))$ er det komplette sæt af koordinater, der karakteriserer det dynamiske system (dets konfigurationsrum ),
${\dot {q}}=\{{\dot {q}}_{1},\;{\dot {q}}_{2},\;\ldots ,\;{\dot { q}}_{N}\}$ er et sæt af hastigheder ( tidsafledte), $q$
$L$ - Lagrangefunktion , afhængig af koordinater, hastigheder og nogle gange endda eksplicit på tid, i klassisk mekanik, der falder sammen med forskellen mellem kinetiske og potentielle energier; $N$ $N$
$H$ er Hamilton-funktionen , som er systemets samlede energi, udtrykt i form af koordinater, deres konjugerede momenta, og nogle gange endda eksplicit i form af tid. $N$ $N$

Begge størrelser falder i princippet sammen, men udtrykkes forskelligt - den første i overensstemmelse med den lagrangske formalisme , den anden i overensstemmelse med den Hamiltonske . $S$

En forkortet handling kaldes

S_{0}=\int \limits _{A}^{B}\sum _{i}p_{i}\,dq_{i}=\int \limits _{t_{1}}^{ t_{2}}\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}\,dt=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\ vec {p}}\cdot {\vec {v}}\,dt,

hvor notationen falder sammen med den ovenfor anvendte, og udtrykket i det sidste integral er skalarproduktet af impuls- og hastighedsvektorerne, som i tilfælde af en enkelt partikel kan betragtes i sædvanlig Newtonsk betydning.

Generelt mener vi i dette afsnit generaliserede koordinater (der ikke nødvendigvis falder sammen med kartesiske koordinater), generaliserede hastigheder svarende til disse koordinater og momenta kanonisk konjugeret til disse koordinater. I et bestemt tilfælde kan de vælges i form af kartesiske koordinater, så (i mekanik) er de tilsvarende impulser de sædvanlige komponenter af vektorimpulserne af systemets materielle punkter . $q_{i},\ {\dot {q}}_{i}$ $p_{i}$

For distribuerede systemer (for eksempel for felter eller elastiske kontinuumer ) kan handlingen normalt skrives som:

S=\int {\mathcal {L}}(q,\;{\dot {q)),\;x,\;t)\,dVdt

eller

S=\int {\bigg (}\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}-{\mathcal {H}}(q,\;p,\; x,\;t){\bigg )}\,dVdt,

hvor

${\mathcal {L)],\ {\mathcal {H))$ er tæthederne af henholdsvis Lagrange- og Hamilton-funktionerne,
$x$ - et punkt i rummet optaget af et medium eller felt (ofte - almindeligt tredimensionelt rum ),
$dV$ er volumenelementet i dette rum,
$q_{i},\ p_{i}$ er værdierne af generaliserede koordinater (for eksempel forskydninger af et elastisk medium eller, for et felt, en feltvariabel, såsom for eksempel elektromagnetisk potentiale) og generaliserede impulser for et givet punkt i et distribueret system (medium eller Mark). $x$

Integration udføres både i rum og tid. Det samlede antal koordinater og impulser , der beskriver systemet, er, som vi ser, uendeligt i dette tilfælde, da deres antal kun er begrænset for én , og selve mængden er uendelig. $q_{i},\ p_{i}$ $x$ $x$

Generel oversigt

Fra et moderne synspunkt har handlingen betydningen af bølgefunktionens fase (den er dog traditionelt udtrykt - for en mere direkte forbindelse med klassisk mekanik - i andre enheder, og specifikt , hvor - handling, - fase i radianer og - Plancks universelle konstant ). $S = \hbar\varphi$ $S$ $\varphi$ $\hbar$

Klassisk fysik (mekanik og feltteori) er en højfrekvent og kortbølgetilnærmelse af kvantefysikken, når bølgefaserne er meget store ( ), hvilket betyder, at under de givne (“klassiske”) eksperimentelle forhold (karakteristiske dimensioner, karakteristiske momenta og karakteristiske energier for problemet under overvejelse), vil kvantekorrektioner til den klassiske teori være ret små (i praksis er de oftest så små, at de ikke er eksperimentelt detekterbare). I dette tilfælde er kvanteproblemet som helhed meget forenklet, idet det går over i det klassiske, og man kan bruge princippet om mindste handling og/eller Hamilton-Jacobi-ligningen , hvor handlingen fortsat spiller en nøglerolle. $S/\hbar \gg 1$

I kvantefysikken på den anden side, når man løser det samme problem uden en betingelse , spiller handlingen en særlig stor rolle i formalismen af Feynman-stiintegralet. Derudover er nogle af resultaterne af den klassiske feltteori ret direkte overført i en vis forstand til kvantetilfældet, og da handlingen er et af de simpleste objekter, er manipulationer med den (og frem for alt selve skrivningen af handling for et givet dynamisk system - et felt, en partikel, interagerende felter eller partikler eller andre objekter) er ofte et af de mest effektive værktøjer til at formulere kvanteteorien for forskellige felter, selvom det ikke involverer skrivning og arbejde med stiintegral eksplicit. $S/\hbar \gg 1$

Historie

Maupertuis i værkerne 1740 (?) , 1741 - 1746 formulerede først princippet om mindste handling for mekanik og foreslog, at dette er en universel naturlov, der fortolker optik ( Fermats princip ) i form af handling (han brugte det, der nu almindeligvis kaldes forkortet handling ). Maupertuis var tilbøjelig til teologisk fortolkning af dette princip, som efter hans mening vidnede om en vis fuldkommenhed af den verden skabt af Gud.

Selv under Maupertuis' liv blev disse hans værker støttet og udviklet af Euler , som også udviklede variationsregningen , som gjorde det muligt mest effektivt at realisere fordelene ved princippet.

Lagrange udviklede derefter , i Mécanique analytique, udgivet i 1788 , anvendelsen af princippet om mindste handling i mekanik ved at bruge variationsregningen og introducere generaliserede koordinater. Han introducerede også i 1795 metoden med ubestemte multiplikatorer , som gør det muligt væsentligt at forbedre brugen af princippet om mindste handling i problemer med begrænsninger .

Handlingen for en hurtigt bevægende ("relativistisk") partikel blev korrigeret (sammenlignet med den gamle newtonsk-lagrangske version, hvis omfang er bevægelser, der er langsomme sammenlignet med lysets hastighed ) i begyndelsen af det 20. århundrede, for første gang dette blev gjort eksplicit, tilsyneladende af Planck i 1907 [1] , også i den forbindelse kan nævnes Minkowskis ( 1907 ) og Born ( 1909 ) [2] værker . For en fripunktspartikel tog den form af et interval (længde - egentlig tid - i Minkowski rum-tid ) langs verdenslinjen (rum-tids-bane) for en partikel med det modsatte fortegn, og erstattede det sædvanlige Newtonske udtryk i hurtig partikelmekanik. Derfor fører princippet om mindste handling for relativistiske partikler til den maksimalt mulige korrekte tid langs banen.

I 1915 Hilbert , ved hjælp af variationsmetoden med hensyn til Einstein-Hilbert-handlingen, modtog de korrekte ligninger for gravitationsfeltet i den generelle relativitetsteori . I dette tilfælde, måske for første gang, blev fordelen ved enkelheden af tilgangen brugt i en sådan fuldstændighed, idet den gik ud fra at skrive en skalar (invariant) handling ud fra generelle overvejelser (hvis eksplicitte form ikke er kendt på forhånd), og derefter opnå bevægelsesligningerne for feltet (feltligninger) ved at variere denne funktionelle .

I begyndelsen af det 20. århundrede brugte Planck , Bohr , Sommerfeld , Schwarzschild og andre handlingen (normalt en forkortet handling) til tidligt at formulere kvanteteori, som fra et moderne synspunkt er en slags semiklassisk tilnærmelse , hvilket viste sig bl.a. være ret velegnet til at beskrive sådanne nøgleproblemer som den harmoniske oscillator og et atom med cirkulære og elliptiske elektronbaner (i det mindste i det simpleste tilfælde brintatomet). Kvantiseringsreglen, som blev meget brugt på dette stadium i udviklingen af kvanteteori, blev reduceret til kvantiseringen af en forkortet handling på lukkede baner i overensstemmelse med betingelsen

\oint \sum p_{i}\,dq_{i}=n\hbar

eller (i kartesiske koordinater for en partikel): .

\oint {\vec p}\cdot {\vec {dr}}=n\hbar

Louis de Broglie ( 1923-1924 ) brugte denne formalisme til at formulere sine udsagn om elektronens bølgenatur og materielle partikler generelt.

En væsentlig rolle i at underbygge den moderne form for kvantemekanik (i betydningen at tydeliggøre dens forhold til den klassiske) blev spillet af Hamilton-Jacobi-ligningen , som omhandler handlingen som en funktion af koordinater og tid , der allerede har en form tæt på formen af kvantemekanikkens grundligning - Schrödinger-ligningen - og som er ved dette i det væsentlige er dens klassiske grænse.

Feynman udviklede stiintegrationsmetoden i kvantemekanikken ( 1938 ), som omformulerede kvantemekanikken på en sådan måde, at den organisk brugte den klassiske handlingsfunktion, og forskellen mellem den komplette kvantebeskrivelse og den klassiske blev reduceret til behovet for at opsummere mængde over alle tænkelige baner (og ikke kun én klassisk bane eller tæt på den). Denne formalisme er en af de mest populære i moderne teoretisk højenergifysik, der finder anvendelser (sammen med teknikken fra Feynman-diagrammer) inden for andre områder af fysik såvel som i ren matematik. Efterfølgende ( 1949 ) udviklede Feynman metoden til Feynman-diagrammer , der er tæt forbundet med vejintegration, selvom den kan omformuleres uden eksplicit at bruge denne tilgang, som blev en af de vigtigste inden for kvantefeltteori og gav en af måderne til at overvinde vanskeligheder ved kvanteelektrodynamik , som i Som et resultat er det blevet en af de mest nøjagtige fysiske teorier og en standardmodel for konstruktion af andre kvantefeltteorier. $e^{{iS}}$

Siden anden halvdel af det 20. århundrede er en række generaliseringer af handlingen for en punktpartikel blevet opfundet, for eksempel inden for strengteori - Nambu-Goto-handlingen(aktionsområde) og Polyakov-aktionen.

Afslutningsvis skal det siges, at i moderne abstrakte områder af teoretisk fysik er handling et af hovedredskaberne til at formulere en konkret teori allerede fra den indledende fase. For eksempel er en af de meget almindelige måder at formulere en ny teori på, at de for det system, der undersøges, først og fremmest forsøger at skrive en handling, hvilket begrænser de mulige muligheder ved at pålægge symmetribetingelser og ofte også ved overvejelser om enkelhed.

Handling i klassisk mekanik

Handling i klassisk mekanik er skrevet i to former, i sidste ende ækvivalente:

Lagrangian:

S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}L(q,\;{\dot {q)),\;t)\,dt

eller Hamiltonian:

S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\bigg (}\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}- H(q,\;p,\;t){\bigg )}\,dt.

(for en forkortet handling, se afsnittet "Terminologi" ovenfor ).

På trods af ækvivalensen i sidste ende har de lagrangske og hamiltonske notationsformer af handlingen forskellige tekniske og ideologiske fordele. Hver af dem kan betragtes som grundlaget for at konstruere (baseret på princippet om mindst eller stationær handling ), henholdsvis de lagrangske og hamiltonske former for mekanik. Nemlig ved direkte at variere den første handling for hver enkelt uafhængigt af de andre, eller tilsvarende ved at skrive Euler-Lagrange-ligningerne for denne funktionelle , for den anden form - varierende uafhængigt for hver og (ved at nedskrive Hamilton-ligningerne ), det er let at opnå bevægelsesligningerne, henholdsvis i lagrangske og hamiltonske former. I det særlige tilfælde med at bruge kartesiske koordinater, vil disse være newtonske bevægelsesligninger. $\delta q_{i}$ $\delta q_{i}$ $\delta p_{i}$

Ved at udlede bevægelsesligningerne med et passende valg af koordinater (generelt set ikke kartesiske) og ved at bruge metoden med ubestemte Lagrange-multiplikatorer , er det let at opnå bevægelsesligningerne for systemer med begrænsninger i en bekvem form , nogle gange med undtagelse af begrænsningen. reaktioner fra dem (hvilket kan forenkle ligningerne betydeligt).

Det skal bemærkes, at handlingsbegrebet trods al dets grundlæggende betydning ikke dækker visse tilfælde af makroskopisk mekanik; for eksempel tillader det ikke, at man skriver en handling i nærværelse af vilkårlige dissipative kræfter , og tillader derfor ikke, at man bruger princippet om mindste handling til at beskrive dem.

En klassisk handling fra et moderne synspunkt er en størrelse proportional med fasen af kvantebølgefunktionen af den tilsvarende partikel eller system (faktisk er dette fasen, kun målt i andre enheder; dog proportionalitetskoefficienten inden for klassisk mekanik er ukendt - dette er i det væsentlige en kvantestørrelse; fra den klassiske mekaniks synspunkt er det kun vigtigt, at det er meget lille). Den samme klassiske mekanik er kortbølgegrænsen for kvante og kan opnås fra den ved overgang . $\hbar /S\højrepil 0$

Handling for distribuerede systemer

For mekanisk distribuerede systemer (for eksempel for elastiske kontinuums) kan handlingen normalt skrives som følger:

S=\int {\mathcal {L}}(q,\;{\dot {q)),\;x,\;t)\,dVdt

eller

S=\int {\bigg (}\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}-{\mathcal {H}}(q,\;p,\; x,\;t){\bigg )}\,dVdt,

hvor er volumenelementet, tredimensionelt i tilfælde af at beskrive felter i tredimensionelt rum, er tæthederne af Lagrange-funktionen og Hamilton-funktionen, og er feltvariablerne (f.eks. potentialer), de tilsvarende hastigheder og kanonisk konjugeret momenta. Hver sådan feltvariabel, hastighed og momentum, er en funktion af "rumlige" variabler og tid, og repræsenterer således en uendelig-dimensionel (under hensyntagen til den fysiske idé om en mulig atomisk diskretisering af et distribueret system - bare et meget multidimensionelt) vektor. Valget af en separat koordinat kommer ned til udvidelse på et eller andet grundlag (dette kan f.eks. være en basis af deltafunktioner, som i det væsentlige reducerer alt til grænsen af et diskret problem, men måske bruges Fourier-transformationen endnu mere ofte på grund af dets bekvemmelighed ). $dV$ ${\mathcal {L)],\ {\mathcal {H))$ $q,\ {\dot {q))$ $s$ ${\dot q}=\partial q/\partial t$ $q=q(x,\;y,\;z,\;t),\ {\dot {q))={\dot {q))(x,\;y,\;z,\ ;t),\ p=p(x,\;y,\;z,\;t)$ $q_{i}\in \mathbb{R}$ $q$

For ikke-mekanisk distribuerede systemer er en sådan notation mulig på grundlag af en analogi med mekaniske. Især fungerer en lignende metode for fundamentale felter, som formelt set også passer til definitionen af distribuerede systemer (selvom dette også kun kan betragtes som en analogi, er spørgsmålet om det ene eller det andet valg her i det væsentlige terminologisk). Grundlæggende fysiske felter behandles i detaljer i et separat afsnit, selvom almindelige distribuerede systemer, især mekaniske, giver generelt gode nok modeller til at hjælpe med at forstå konstruktionen af dynamikken i disse felter og især spørgsmål relateret til handling.

Eksempler :

For en homogen isotrop kontinuerlig lineær (adlyder Hookes lov; i virkeligheden indebærer dette næsten altid begrænsningen af modellens anvendelighed til tilfælde af små deformationer) elastisk medium, der udfylder det tredimensionelle rum eller dets område, i det enkleste tilfælde handlingen kan skrives som

S=\int \left({\rho \over 2}({\dot {u)))^{2}-{E \over 2}(\nabla u)^{2}\right)\ ,dxdydzdt,

hvor er mediets tæthed, er elasticitetsmodulet, er afvigelsen af det elastiske medium på et givet tidspunkt på et givet tidspunkt fra den betingede ligevægtsposition, er en distribueret generaliseret koordinat (i denne opgave er det en tre -dimensional vektor, men det er under de formulerede betingelser, at hver af dens komponenter kan betragtes separat) , er ændringshastigheden med tiden - den fordelte hastighed er selvfølgelig også en funktion af . her er gradientoperatoren, som her kan betragtes som anvendt separat på hver komponent , når der derefter tilføjes kvadraterne af de tre komponenter.

\rho =\mathrm {konst}

E=\mathrm {const}

u=u(x,\;y,\;z,\;t)

{\dot u}

u

x,\ y,\ z,\ t

\nabla

u

Variationen af denne funktionelle giver bevægelsesligningen i form af en almindelig bølgeligning uafhængigt for hver komponent , det vil sige for .

u

u

{\displaystyle u_{x},\ u_{y},\ u_{z))

Den skrevne handling kan let bruges til et inhomogent medium, det vil sige for ikke-konstant og , og det kan også direkte generaliseres til anisotrope medier med tensor . I alle disse tilfælde vil mediets bevægelsesligning allerede afvige mærkbart fra den sædvanlige bølgeligning, men kan næsten lige så let opnås ved at variere denne handling.

\rho

E

E

Handling i klassisk feltteori

Handling i klassisk feltteori bruges til at udlede feltligninger (både frie og med kilder) fra princippet om stationær (mindst) handling (ved at variere i feltvariabler). Det bruges også til at få partiklers bevægelsesligninger, når de interagerer med et givet felt, også gennem princippet om stationær (mindst) virkning, men ved at variere partiklernes koordinater (og i Hamilton-versionen også momenta).

Selve handlingstypen for et felt (anvendt både i klassisk og kvanteforstand) er generelt meget lig handlingstypen for distribuerede systemer (især for mekaniske distribuerede systemer, såsom en streng, en membran osv.). ). Dette giver os mulighed for nogle gange at etablere en direkte, nogle gange betinget, analogi mellem det ene og det andet tilfælde, selvom begge i detaljer kan afvige markant (så at en direkte mekanisk analogi ikke altid er mulig, og nogle gange viser det sig simpelthen ikke at være for let at bygge og bruge).

Oftest (i tilfælde af lineære felter eller ved at studere dem i en lineær tilnærmelse) har handlingen en ret simpel form og opdeles i tre udtryk:

{\displaystyle S=S_{f}+S_{\mathrm {int} }+S_{s))

hvor er "det frie felts handling" - som er afgørende for at studere feltets adfærd uden dets interaktion med "stoffet" (andre felter), er det interaktionsbegreb, hvorfra "stoffets" handling (andre felter ) ) på det givne felt er afledt, er handlingen for de frie "stoffer" (andre felter), som bestemmer deres adfærd i fravær af dette felt, især sådanne egenskaber af "stoffet" som dets inerthed. Formen af det andet led definerer i feltligningerne de termer, der repræsenterer dens kilde(r) og bestemmer virkningen af det givne felt på "stoffet" (andre felter), for eksempel bevægelsesligningerne for en ladet partikel i en givet felt (mere specifikt de kræfter, der virker på det) er afledt af og . $S_{f}$ ${\displaystyle S_{\mathrm {int} ))$ $S_{s}$ ${\displaystyle S_{\mathrm {int} ))$ $S_{s}$

For i det væsentlige ikke-lineære felter mislykkes en sådan opdeling i tre separate termer generelt (og selv når man isolerer den lineære tilnærmelse, forbliver der ofte visse slags problemer, selvom det i sig selv ofte er meningsfuldt og muligt). For eksempel, i den generelle relativitetsteori (og andre metriske teorier om tyngdekraft ) falder gravitationsfeltet ind under udtrykket relateret til "substans" (og ikke-gravitationsfelter) i form af en metrik inkluderet i volumenelementet og i kovariante derivater. Denne kendsgerning sikrer tyngdekraftens interaktion med "substans" uden at kræve et separat udtryk (tilfældet med den såkaldte minimale forbindelse ), og det gør også ligningen for gravitationsfeltet i det væsentlige ikke-lineær. Et andet eksempel (omend relateret til kvantefeltteori, men har også analogier i klassisk): kvanteelektrodynamik - dens lineære tilnærmelse, når den beregnes i henhold til forstyrrelsesteori i sløjfediagrammer, fører til endeløse meningsløse resultater forbundet med den faktiske umulighed af at skelne bare (nøgne, ikke-interagerende) felter af en ladet partikel og et elektromagnetisk felt. Måden at løse dette problem på var renormaliseringsprogrammet, som genopretter Lagrangian af rigtige (interagerende) felter. ${\displaystyle S_{\mathrm {int} ))$

Skalært felt

Blandt de grundlæggende fysiske felter er skalarfelter , selvom de er til stede i teorien, indtil videre er deres eksistens i vid udstrækning hypotetisk af natur, og egenskaberne er derfor temmelig dårligt kendte. Dette er dog det simpleste tilfælde; Ud over fundamentale felter er sådanne makroskopiske felter desuden af interesse, som f.eks. gastrykfeltet i akustikken, der ved små (og jævne) ligevægtsafvigelser i en vis forstand kan være direkte sammenlignes med et abstrakt skalarfelt.

Den enkleste form for handling for et skalarfelt, der fører til en lineær feltligning, er formen: $\varphi$

S=S_{f}+S_{\mathrm {int} }+S_{s}=\int {\frac {1}{\alpha }}\left({\frac {1}{c^{ 2}}}(\partial _{t}\varphi )^{2}-(\nabla \varphi )^{2}-m^{2}\varphi ^{2}\right)\,dVdt+S_{ \mathrm {int} }+S_{s},

(skrevet på den form, der svarer til feltet i det tredimensionelle rum; her antages - "kraftkonstant", - udbredelseshastigheden af feltbølger , som for fundamentale felter normalt - for ikke at overtræde relativitetsprincippet - at være lig med lysets hastighed, - tredimensionel gradient, - feltmasse ( for masseløse felter), er et element med tredimensionelt volumen). Som du kan se, er det Lorentz invariant, og det er meget nemt at omskrive det i firedimensionel notation, hvor dette er endnu mere tydeligt. $\alfa$ $c$ $\varphi$ $\nabla$ $m$ $\varphi$ $m=0$ $dV$ $S_{f}$

Når den varieres i (for et frit felt, det vil sige for ), giver denne handling Klein-Gordon-ligningen , og når - bølgeligningen . Casen giver en variant af Klein-Gordon-ligningen for et tachyon skalarfelt, som også kan bruges i teorien (dette er et felt med ustabil ligevægt i uendeligt rum eller uden at pålægge grænsebetingelser, der fører til stabilitet). $\varphi$ $S_{\mathrm {int} }=S_{s}=0$ $m=0$ $m^{2}<0$ $\varphi=0$

Vi vil ikke specificere interaktionsbegrebet her, da vi ikke her betragter noget bestemt skalarfelt og dets interaktion med noget andet. Bemærk dog, at hvis vi ikke ønsker at overtræde relativitetsprincippet, skal dette udtryk også være Lorentz-invariant (samt ). For at interagere med et andet skalarfelt kan dette udtryk f.eks. være enten eller eller deres sum osv.). ${\displaystyle S_{\mathrm {int} ))$ $S_{f},\ S_{s}$ $u$ $\mathrm {const} \cdot \int \varphi u\,dVdt$ $\mathrm {const} '\cdot \int (\partial _{i}\varphi )(\partial ^{i}u)\,d^{4}x$

Elektromagnetisk felt

Standardhandlingen for et elektromagnetisk felt skrives som

S=S_{f}+S_{\mathrm {int} }+S_{s},

hvor

S_{f}=-{\frac {1}{2\alpha }}\int F_{ij}F^{ij}\,dxdydzdt={\frac {1}{\alpha }}\int ( E^{2}-H^{2})\,dxdydzdt

— handling for et frit felt ( her — elektromagnetisk felttensor, — en konstant afhængig af det anvendte system af enheder, menes summering i henhold til Einstein-reglen )

F_{{ij}}

\alfa

i,\j

Interaktionsudtrykket kan skrives på forskellige måder:

S_{\mathrm {int} }=-\int A_{i}j^{i}\,dxdydzdt

eller

S_{int}=-\int qA_{i}u^{i}\,d\tau =-{\frac {1}{c))\int qA_{i}\,dx^{i} =\int (-q\varphi +q{\vec {A}}\cdot {\vec {v}}/c)\,dt,

(den første form er praktisk til at udlede feltligningerne (med kilder), og den anden til at udlede bevægelsesligningen for en ladet partikel; her er det elektromagnetiske potentiale , er partikelladningen, er 4-hastigheden , er den korrekte tidsforskel (interval divideret med ), og - elektrisk og tredimensionelt vektorpotentiale, - tredimensionel hastighed, - lysets hastighed og - firedimensionale rum-tid-koordinater; for flere partikler, flere udtryk af denne formular skal tages - en for hver), $A_{i}$ $q$ $u^{i}$ $d\tau$ $c$ $\varphi$ ${\vec A}$ ${\vec {v}}$ $c$ $dx^{i}=(dx^{0},\;dx^{1},\;dx^{2},\;dx^{3})=(c\,dt,\;dx ,\;dy,\;dz)$

S_{s}

- en handling for "stof" (frie partikler), som sammen med bruges til at udlede bevægelsesligningerne for ladede partikler. For hurtige ("relativistiske") partikler (se nedenfor), bør man tage (forsømmer spindet) handlingen

{\displaystyle S_{\mathrm {int} ))

S_{s}=-\int mc^{2}\,d\tau =-\int mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))}\ ,dt,

hvor er massen (hvilemassen) af partiklen, er lysets hastighed, er den korrekte tidsforskel (for flere partikler skal man tage summen af flere led af denne type). $m$ $c$ $d\tau$

Hvis partiklernes bevægelse er langsom sammenlignet med lysets hastighed, og den newtonske tilnærmelse er tilstrækkelig, kan vi tage den tilsvarende omtrentlige handling, som er sædvanlig for klassisk mekanik:

S_{s}=\int {\frac {mv^{2}}{2}}\,dt.

Den nemmeste måde at få Maxwells ligninger på er i formularen

\partial _{i}F^{{ik}}=\alpha j^{k},

at variere ovenstående handling på og bruge definitionen af . $A_{i}$ $F_{{ij}}=\partial _{i}A_{j}-\partial _{j}A_{i}$

Ved at variere med , får vi bevægelsesligningerne, som ser enklest ud i firedimensionel form: $x^i$

dp^{i}/d\tau =m\,du^{i}/d\tau =qF_{j}^{i}u^{j},

hvor højre side falder sammen med den sædvanlige Lorentz-kraft , som også kan skrives (og om ønsket opnås eksplicit) i en tredimensionel form; det vil sige i tredimensionel form vil bevægelsesligningen være:

{\frac {d\mathbf {p} }{dt))=q\mathbf {E} +q\ \mathbf {v} \times \mathbf {B} .

Relativistisk handling

Virkningen for det elektromagnetiske felt (både dets betegnelse for det frie felt og udtrykket, der beskriver vekselvirkningen med strømme) er Lorentz-invariant helt fra begyndelsen (mere præcist er det en 4 -skalar ). Det samme kan siges om handlingen for alle grundlæggende felter kendt i moderne teorier (for at tale lidt mere præcist, i almindeligt accepterede teorier, der har bestået eksperimentel verifikation).

Imidlertid har den klassiske (Newtonske) mekaniks handling, uanset i hvilken form den er skrevet, Hamiltonian eller Lagrangian, ikke egenskaben Lorentz-invarians. Historisk set blev det på et bestemt tidspunkt (på grænsen til det 19. og 20. århundrede) nødvendigt at bringe mekanikken i overensstemmelse med relativitetsprincippet og derfor gøre den Lorentz-kovariant. Den enkleste måde at gøre dette på er at skrive for en partikel ("materialepunkt") en sådan handling, der ville være Lorentz-invariant, og derefter ved hjælp af den sædvanlige variationsprocedure få en bevægelsesligning fra den, som allerede vil være Lorentz- kovariant (ca. for langsomme bevægelser skal en sådan mekanik falde sammen med den newtonske, da den er blevet godt testet for lave hastigheder).

Den enkleste handling for en fri partikel, der kan foreslås, baseret på Minkowskis geometri, er en størrelse, der op til en konstant faktor falder sammen med længden af verdenslinien for en given partikel (og dimensionelle overvejelser vil bestemme koefficienten ):

S=-\int mc^{2}\,d\tau =-\int mc\,ds=-mc^{2}\int u^{i}u_{i}\,d\tau = -mc^{2}\int {\sqrt {1-v^{2}/c^{2))}\,dt,

hvor er massen (hvilemasse), er den korrekte tid målt langs partiklens verdenslinje, er elementet i intervallet langs den, er 4-hastigheden, er den tredimensionelle hastighed, er tiden (“koordinat tid", tidspunktet for laboratoriets referenceramme). $m$ $\tau$ $ds$ $u^{i}$ $v$ $t$

Udvider vi os i små rækkefølger (i tilfælde af, hvor den er lille nok, meget mindre end enhed), opnår vi let den ikke-relativistiske handling af klassisk mekanik: ${\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$ $v^{2}/c^{2}$

S=-mc^{2}\int {\sqrt {1-v^{2}/c^{2))}\,dt\approx \int \left(-mc^{2}+{ \frac {mv^{2}}{2}}\right)\,dt=\mathrm {const} \cdot (t_{2}-t_{1})+\int {\frac {mv^{2} }{2}}\,dt=\mathrm {const} \cdot (t_{2}-t_{1})+S_{\mathrm {newtonsk} },

hvor det første led kan kasseres, da det ikke giver noget bidrag til bevægelsesligningerne (med undtagelse af bidraget til ligningerne for gravitationsfeltet, hvor dets indflydelse ikke forsvinder selv i denne tilnærmelse; her er vi taler om bevægelsesligningerne for selve partiklen, som handlingen er skrevet til, og tyngdekraften i Einsteinsk forstand ikke tages i betragtning). Hvis du ønsker det, kan du også beholde vilkårene for de næste ordrer i udvidelsen , som giver relativistiske korrektioner for tilfælde af lave hastigheder (i stedet for at bruge den nøjagtige relativistiske handling og de nøjagtige bevægelsesligninger, hvis dette på en eller anden måde er passende) . $v^{2}/c^{2}$

Handling i gravitationsteorien

For den Newtonske gravitationsteori kunne handlingen skrives som hvor er "stoffets handling", som man siger i teorier om tyngdekraften - det vil sige alt undtagen tyngdekraften, og - en tredimensionel gradient af gravitationspotentialet (som betyder den uendelige udbredelseshastighed af gravitationsinteraktionen). Denne værdi er tydeligvis ikke Lorentz-invariant , derfor kan den, ligesom al klassisk mekanik, udvides - tilnærmelsesvis - til tilfældet med langsom (sammenlignet med lysets hastighed) bevægelse og ikke særlig stærke gravitationsfelter (hvis kun fordi stærke felter, generelt tale, vil accelerere kroppene til høje hastigheder). Der er mange teorier, der på en eller anden måde har ændret denne handling for at gøre den Lorentz invariant (se Alternative teorier om tyngdekraften ), men de fleste af dem er nu kun af historisk betydning, eller omvendt, har endnu ikke bevist deres fordele til det videnskabelige samfund. Også nogle lovende teorier til beskrivelse af tyngdekraften (selv om de også er ret langt fra det endelige udsagn), såsom for eksempel strengteori og dens generaliseringer, er også ret komplekse og dækker ikke kun tyngdekraften, og fortjener derfor særskilt overvejelse. $S={1 \over 16\pi G}\int (\nabla \varphi )^{2}\,dxdydzdt+S_{m},$ $S_{m}$ $\nabla \varphi$

Derfor begrænser vi os her til at give en handling svarende til den vigtigste (ikke-kvante) tyngdekraftsteori i moderne fysik - den generelle relativitetsteori . Dette er Einstein-Hilbert-handlingen :

S={1 \over 16\pi G}\int R{\sqrt {-g}}\,d^{4}x+S_{m},

hvor er Newtons gravitationskonstant , er den skalære krumning (Ricci scalar) af rum-tid, er bestemmende for matricen af metriske tensorkomponenter , og er virkningen for ikke-gravitationsfelter (massive partikler, elektromagnetisk felt, og så videre) . $G$ ${\displaystyle R=R_{\mu }^{\mu ))$ $g=|g_{\mu \nu }|$ $S_{m}$

Ved at variere denne handling langs rum-tid-metrikken (som spiller rollen som gravitationspotentialet, det vil sige feltvariabler i denne teori), opnås Einstein-ligningerne (nogle gange også kaldet Einstein-Hilbert-ligningerne) i form: $g_{ij}$

R_{{\mu \nu }}-{R \over 2}g_{{\mu \nu }}={8\pi G \over c^{4}}T_{{\mu \nu }}

(sådan fik Gilbert dem for første gang i 1915 , Einstein gik den anden vej).

Udtrykket af ligningen, der beskriver kilden til gravitationsfeltet (højre side) opnås i dette tilfælde, fordi metrikken , langs hvilken variationen udføres, også er inkluderet i mindst gennem faktoren , som er inkluderet i udtrykket for elementet af det (fire-dimensionelle) volumen (her er tætheden af Lagrange-funktionen for "stoffet" - det vil sige alle ikke-gravitationsfelter, og - deres energi-momentum-tensor ). $g_{\mu \nu }$ $S_{m}=\int {\mathcal {L}}{\sqrt {-g}}\,d^{4}x$ ${\sqrt {-g))$ ${\mathcal L}$ $T_{\mu \nu }$

Handlingen for den almene relativitets gravitationsfelt kan også omskrives i en anden form, svarende til denne, bortset fra grænsebetingelserne (og hvis grænsebetingelserne er sat til nul af en eller anden grund, så i en fuldstændig ækvivalent form), og indeholdende under integralet, i stedet for krumningstensoren, konstruktionen fra , som kan tolkes som kvadratet af feltstyrkens gravitationsfelt - altså i en form svarende til, hvordan handlingen normalt skrives for simplere - skalar og vektor - felter, for eksempel elektromagnetiske. $\Gamma _{{\mu \nu }}^{\lambda }$

Ved at supplere handlingen skrevet ovenfor med udtrykket , får vi Einstein-ligningerne med -termen: $\int \Lambda {\sqrt {-g}}\,d^{4}x$ $\lambda$

R_{\mu \nu }-{R \over 2}g_{\mu \nu}+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{ \mu \nu }.

En fuldstændig tilfredsstillende kvanteteori om tyngdekraft eksisterer så vidt vides ikke i øjeblikket ( 2009 ). Men mange af de teorier, der mere eller mindre kan hævde denne rolle, giver den normalt effektive Einstein-Hilbert-handling i lavenergigrænsen.

Handling og kvantemekanik

Action for fermioniske felter

For fermioniske (især for spinor ) felter kan man ikke kun skrive en handling, men også opnå formelt klassiske ligninger for disse felter ved at variere en sådan handling. Men i modsætning til bosonfelter observeres fermionfelter i deres klassiske form værre, da Pauli-princippet forbyder mere end én fermion i at være i samme tilstand, hvilket er tilladt for bosoner og tillader dem at være i samme kvantetilstand i stort antal , der skal observeres som et almindeligt klassisk felt, såsom et elektromagnetisk felt. Men samtidig er der en sætning, der siger (i det mindste inden for rammerne af perturbationsteoriens anvendelighed), at resultatet af den anden kvantisering for sådanne fermionfelter falder sammen med fortolkningen af sådanne "klassiske" felter som bølgefunktioner af fermioner i betydningen den første kvantisering .

Således, for eksempel, er Dirac-ligningen opnået ved hjælp af princippet om stationær virkning fra en eller anden form for at skrive handlingen for en partikel med spin 1/2 direkte relateret til kvantebeskrivelsen af en sådan fermion (for eksempel en elektron) .

Dirac-ligningen har en egenskab, der giver en vis vanskelighed ved at opnå den fra en handling med en kvadratisk lagrangianer (og enhver anden, hvis du bruger de sædvanlige regler for variation og betragter spinorkomponenterne som almindelige tal). Denne egenskab er den første orden af afledte i Dirac-ligningen.

Nogle gange kommer man ud af situationen ved blot at indføre kunstige formelle modifikationer af restriktionerne for variationsreglerne eller afledte operatørers handlinger.

En mere systematisk, tilsyneladende, tilgang er, at de fermioniske felter (spinorer og deres komponenter) anses for at være græsmannske, det vil sige antipendlingstal, som ændrer vilkårs fortegn med afledte af første og anden orden i forhold til de sædvanlige, på grund af hvilke vilkårene i anden orden bliver ødelagt, når de varierer, mens de første forbliver.

Feynman-stiintegral

Feynman-sti-integralet er anvendeligt til kvantebeskrivelsen af både punktpartikler i almindeligt rum og felter (som distribuerede systemer) i konfigurationsrum (og denne anvendelighed i begge tilfælde er i princippet ikke overraskende, eftersom den formelle forskel mellem en punktpartikel og en multidimensionelt, endda uendeligt-dimensionelt, dynamisk system - kun i dimensionen af konfigurationsrummet, som generelt er velforstået allerede inden for rammerne af klassisk mekanik).

Hvis handlingen (i det væsentlige falder sammen med den sædvanlige klassiske handling, i det mindste for systemer, hvis beskrivelse ikke er så eksotisk, at den gør en sådan brug af ordet vanskelig) er kendt, det vil sige, kan den skrives til den sædvanlige klassiske bane i " ordinært" eller konfigurationsrum ( måske tid eller bare en variabel, når parametrisk angivet i firedimensionel notation), så kan kvantebølgefunktionen af et sådant system med en punktkilde ved et rum-tidspunkt [3] skrives som en funktionel integral $S[x]$ $x(\tau)$ $\tau$ $x_{1}$

\Psi (x_{2},\;x_{1})=\int Dxe^{iS[x]/\hbar },

hvor er banen starter ved og slutter ved , integralet betyder summeringen over alle tænkelige sådanne baner, for hver af hvilke handlingen har sin egen betydning. Desuden er der i det relativistiske tilfælde blandt banerne baner med sektioner af omvendt bevægelse i tid, som kan tolkes som baner af en virtuel antipartikel i fremadgående tid, og vendepunkter - som en virtuel fødsel og udslettelse af partikel-antipartikel-par. . $x$ $x_{1}$ $x_{2}$ $S[x]$

I kvantefeltteori anvendes integration både over partikelbaner i det almindelige rum (mere præcist i rum-tid), som normalt kaldes i dette tilfælde primær kvantisering , og over baner i feltvariables rum, som kaldes sekundær kvantisering . Begge metoder giver så vidt vides tilsvarende resultater inden for rammerne af perturbationsteori.

Feynman-sti-integralet er en af de mest populære metoder til kvantisering (konstruktion af en kvanteteori) blandt moderne teoretiske fysikere. Samtidig er dette en af de mest direkte måder at sammenligne et kvantebillede med et klassisk, hvilket er en af dets alvorlige psykologiske fordele, da hver bane i det i princippet opfattes som klassisk, og handlingen er beregnet nøjagtigt efter den klassiske opskrift, hvilket i en række tilfælde og aspekter gør, at teori er mærkbart mere synlig og letforståelig end andre tilgange. Blandt andet er denne egenskab praktisk til at passere til grænsen til klassikerne (se nedenfor), og overgangen til den baseret på stiintegralet er i denne forstand en af de mest standardmåder i moderne fysik. Det samme gælder den tilstrækkelige bekvemmelighed ved at opnå den semiklassiske tilnærmelse på denne måde (se også nedenfor).

I en række tilfælde (meget begrænset - når handlingen er kvadratisk i koordinater eller feltvariable og deres afledte, og integralet er reduceret til en multidimensional Gaussian med en passage til grænsen til det uendelig-dimensionelle tilfælde), er Feynman-stiintegralet kan beregnes eksplicit og nøjagtigt. Dens beregning praktiseres ved numeriske metoder. I mange tilfælde er dette integral nyttigt i forskellige transformationer og andre teoretiske beregninger.

Det er let at fastslå ækvivalensen af vejintegrationstilgangen til Schrödinger-ligningen , i det mindste i den trivielle topologiske situation.

For frie (ikke-interagerende) felter på et tomt fladt rum gør sti-integration det ofte muligt eksplicit at opnå en propagator , som viser sig at være den samme som udbredelsen opnået fra differentialligningen for det tilsvarende felt (f.eks. bølgeligningen for et masseløst skalarfelt). Det viser sig, at for interagerende felter er sti-integralet måske den mest naturlige (og populære blandt moderne teoretikere) måde at retfærdiggøre teknikken til Feynman-diagrammer på . Faktum er, at sti-integralet for et system af interagerende partikler (felter) let opdeles i dele, hvor der ikke er nogen vekselvirkning (og resultatet, som vi sagde lidt højere, er kendt for dette tilfælde - dette er en propagator svarende til adfærden af et frit felt, som kan være ganske let kan beregnes på enhver måde), suppleret med en punktinteraktion, som allerede reduceres til den sædvanlige finit-dimensionelle integration - i overensstemmelse med Feynmans regler .

Stiintegral kvantisering er dog ikke begrænset til perturbationsteori (Feynman-diagrammer). Denne metode finder også mere ikke-trivielle anvendelser, både i teoretisk fysik og i nogle områder af ren matematik. [4] [5] [6]

Action og den ultimative overgang til klassikerne

I kvantemekanikken kaldes det forhold, at et kvantemekanisk systems adfærd tenderer mod klassisk fysik i grænsen af store handlinger (store kvantetal ) korrespondanceprincippet . Dette princip blev indført af Niels Bohr i 1923 .

Kvantemekanikkens regler anvendes med stor succes til at beskrive mikroskopiske objekter såsom atomer og elementarpartikler . På den anden side viser eksperimenter , at en række makroskopiske systemer ( fjeder , kondensator osv.) kan beskrives ret præcist i overensstemmelse med klassiske teorier ved hjælp af klassisk mekanik og klassisk elektrodynamik (selvom der er makroskopiske systemer, der udviser kvanteadfærd, som f.eks. superfluid flydende helium eller superledere ). Det er dog ganske rimeligt at tro, at fysikkens ultimative love bør være uafhængige af størrelsen af de fysiske objekter, der beskrives. Dette er præmissen for Bohrs korrespondanceprincip, som siger, at klassisk fysik bør opstå som en tilnærmelse til kvantefysikken, efterhånden som systemer bliver store .

De forhold, hvorunder kvantemekanik og klassisk mekanik falder sammen, kaldes den klassiske grænse . Bohr foreslog et groft kriterium for den klassiske grænse: overgangen sker, når kvantetallene, der beskriver systemet, er store , hvilket betyder, at systemet enten er exciteret til store kvantetal, eller at systemet er beskrevet af et stort sæt kvantetal, eller begge dele. . En mere moderne formulering siger, at den klassiske tilnærmelse er gyldig for store værdier af handlingen . Med hensyn til "skole"-fysik betyder det, at ulighederne skal overholdes: $S\gg\hbar$

P\ gange l\gg \hbar

E\ gange t\gg\hbar

(produktet af processens karakteristiske momentum og dens karakteristiske størrelse og produktet af processens karakteristiske energi og dens karakteristiske tid er meget større ) $\hbar$

Korrespondanceprincippet er et af de værktøjer, som fysikere har til rådighed for at vælge en kvanteteori, der svarer til virkeligheden . Kvantemekanikkens principper er ret brede - for eksempel siger de, at et fysisk systems tilstande optager Hilberts rum , men siger ikke hvilken. Korrespondanceprincippet begrænser valget til de rum, der gengiver klassisk mekanik i den klassiske grænse.

Diracs formulering

Diracs formulering, også kaldet "Diracs korrespondanceprincip" : "Kortsvaret mellem kvanteteorier og klassiske teorier består ikke så meget i den begrænsende overensstemmelse ved , men i det faktum, at de matematiske operationer af de to teorier adlyder de samme love i mange tilfælde." [7] [8] $\hbar \to 0$

Stiintegraler

I formuleringen af kvantemekanikken i form af stiintegraler giver stier, der giver værdien af handlingen , som adskiller sig markant fra den stationære værdi (bestemt ud fra princippet om mindste handling ), et lille bidrag til den endelige overgangsamplitude (uendelig lille ) kl ). I den semiklassiske tilnærmelse bestemmes overgangsamplituden således kun af partiklernes klassiske baner (i det enkleste tilfælde af bevægelse i rummet er en sådan bane unik), bestemt ud fra princippet om mindste handling , og Schrödinger-ligningen går ind i Hamilton-Jacobi-ligningen . $S_{\mathrm {min} }\to \infty$ $S_{\mathrm {min} }\to \infty$

Se også

Noter

↑ Beretning ved det tyske fysiske selskabs møde den 23. marts 1906 Verh. d. Deutsch. Phys., f. 4, s. 136. - oversættelse fra tysk - se “Relativitetsprincippet. Samling af værker om den særlige relativitetsteori”. - M.: Atomizdat , 1973. - S. 163.
↑ W. Pauli. § 31. Invariant handlingsprincip i elektrodynamik // Relativitetsteori / Red. V. L. Ginzburg og V. P. Frolov .. - 3., rettet .. - M . : Nauka, 1991. - S. 125-127. — 328 s. - ISBN 5-02-014346-4 .
↑ I det væsentlige taler vi i denne formulering om en propagator ( Greens funktioner ).
↑ Witten E. Kvantefeltteori og Jones-polynomiet. - fællesskab. Matematik. Phys., 1989. - Vol. 121 , nr. 3 . - S. 351-399 . - doi : 10.1007/BF01217730 .
↑ Alvarez-Gaume L. Supersymmetri og Atiyah-Singer-indekssætningen. - fællesskab. Matematik. Phys., 1983. - V. 90 , no. 2 . - S. 161-173 . - doi : 10.1007/BF01205500 .
↑ Kontsevich, M. Deformationskvantisering af Poisson-manifolder . — Bogstaver i matematik. Phys., 2003. - V. 66 , no. 3 . - S. 157-216 . - doi : 10.1023/B:MATH.0000027508.00421.bf .
↑ Dirac P. A. M. Samling af videnskabelige artikler. - M. : Fizmatlit, 2003. - T. II Kvanteteori (videnskabelige artikler 1924-1947). - S. 67.
↑ Dirac P. A. M. Til skabelsen af kvantefeltteori. Hovedartikler 1925-1958. - M. : Nauka, 1990. - S. 34. - 368 s.

Handling (fysisk mængde)

Terminologi

Generel oversigt

Historie

Handling i klassisk mekanik

Handling for distribuerede systemer

Handling i klassisk feltteori

Skalært felt

Elektromagnetisk felt

Relativistisk handling

Handling i gravitationsteorien

Handling og kvantemekanik

Action for fermioniske felter

Feynman-stiintegral

Action og den ultimative overgang til klassikerne

Se også

Links

Noter