Diagonal matrix

Diagonal matrix er en kvadratisk matrix , hvor alle elementer, stående uden for hoveddiagonalen , er lig med nul:

D={\begin{bmatrix}d_{11}&0&\cdots &0\\0&d_{22}&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &d_{nn }\end{bmatrix}}

En diagonal matrix med indgange på hoveddiagonalen er betegnet med . $D$ $(d_{{1}},d_{{2}},\dots,d_{{n}})$ ${\displaystyle \mathrm {diag} \,\{d_{1},d_{2},\dots ,d_{n}\))$

Den er både øvre trekantet og nedre trekantet . Den diagonale matrix er symmetrisk: . Rangeringen af en diagonal matrix er lig med antallet af ikke-nul elementer placeret på hoveddiagonalen. $D^{\intercal }=D$

Diagonale matricer kan tilføjes og ganges med led:

$\mathrm {diag} \,\{a_{1},a_{2},\dots,a_{n}\}+\mathrm {diag} \,\{b_{1},b_{2} ,\dots ,b_{n}\}=\mathrm {diag} \,\{a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\dots ,a_{n}+b_{ n}\}$ ,

$\mathrm {diag} \,\{a_{1},a_{2},\dots,a_{n}\}\mathrm {diag} \,\{b_{1},b_{2}, \dots ,b_{n}\}=\mathrm {diag} \,\{a_{1}b_{1},a_{2}b_{2},\dots ,a_{n}b_{n}\}$ .

Determinanten af en diagonal matrix er lig med produktet af de diagonale elementer: . ${\mathrm {det}}\,D=d_{{11}}d_{{22}}\dots d_{{nn}}$

Det algebraiske komplement af det off-diagonale element i en diagonal matrix er nul, dvs.

D_{ij}={\begin{cases}0,&i\neq j\\\prod \limits _{i=1}^{n-1}d_{ii},&i=j\end{cases }}

Den inverse matrix for en diagonal matrix er:

D^{-1}={\begin{bmatrix}d_{11}^{-1}&0&\cdots &0\\0&d_{22}^{-1}&\cdots &0\\\cdots &\ cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &d_{nn}^{-1}\end{bmatrix}}=\mathrm {diag} \,\{d_{11}^{-1},d_{22 }^{-1},\dots ,d_{nn}^{-1}\}

Diagonal er nulmatrix , identitetsmatrix , skalarmatrix (alle elementer i hoveddiagonalen er ens).

I nogle tilfælde kan en off-diagonal matrix reduceres til en diagonal form ved at ændre basis ; en tilstrækkelig betingelse er forskellen mellem alle egenværdier af matricen (i det generelle tilfælde kan matrixen kun reduceres til Jordan-formen ).

Vektorer og matricer

Vektorer

Basale koncepter	Vektor i geometri Basis Ortogonalt grundlag Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Lineær afhængighed Søjleplads
Slags vektorer	Enhedsvektor Aksial vektor isotrop vektor Normal Kolinearitet Nul vektor Radius vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalært produkt vektor produkt blandet produkt Pseudoskalært produkt Dobbelt kryds produkt
Rumtyper	vektor rum affint rum Euklidisk rum Pseudo-euklidisk rum Normeret rum Minkowski plads

matricer

Basale koncepter	Matrix multiplikation Transponeret matrix Hermitisk konjugeret matrix Symmetrisk matrix omvendt matrix Egenværdi Karakteristisk polynomium af en matrix
Særlige matricer	Identitetsmatrix Nul matrix Diagonal matrix lambda matrix
Matrix nedbrydninger	LU nedbrydning Kolesky nedbrydning QR-nedbrydning LUP nedbrydning singular værdi nedbrydning Spektral nedbrydning af en matrix

Andet