Lorentz kraft

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 7. oktober 2022; checks kræver 7 redigeringer .

Lorentz -kraften er den kraft , hvormed det elektromagnetiske felt ifølge klassisk (ikke-kvante) elektrodynamik [1] virker på en punktladet partikel [2] [3] . Nogle gange kaldes Lorentz-kraften den kraft, der virker på en ladning, der kun bevæger sig med en hastighed fra siden af magnetfeltet , ofte den fulde kraft - fra siden af det elektromagnetiske felt generelt [4] , med andre ord fra siden af de elektriske og magnetiske felter. I det internationale system af enheder (SI) er det udtrykt som [5] [2] : $\mathbf{v}$ $q\$ $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$

${\vec {\mathbf {F} }}=q\left({\vec {\mathbf {E} }}+[{\vec {\mathbf {v} }},{\vec {\mathbf {B} }}]\højre).$

Den elektromagnetiske kraft, der virker på en ladning q , er en kombination af en kraft, der virker i retning af det elektriske felt , som er proportional med størrelsen af feltet og mængden af ladning, og en kraft, der virker vinkelret på magnetfeltet og hastighed , som er proportional med størrelsen af magnetfeltet, ladningen og hastigheden. Variationer på denne grundformel beskriver den magnetiske kraft på en strømførende leder (nogle gange kaldet Laplace-kraften), den elektromotoriske kraft i en ledningsløkke, der bevæger sig gennem et område med et magnetfelt ( Faradays induktionslov ) og kraften på bevæger ladede partikler. $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$ $\mathbf{v}$

Videnskabshistorikere antyder, at denne lov blev underforstået i en artikel af James Clerk Maxwell , udgivet i 1865 [6] . Hendrik Lorenz gav en fuldstændig afledning af denne formel i 1895 [7] , efter at have bestemt bidraget fra den elektriske kraft et par år efter Oliver Heaviside korrekt identificerede bidraget fra den magnetiske kraft [8] [9] .

For Lorentz-kraften såvel som for inertikræfterne gælder Newtons tredje lov ikke (dette er kun sandt, hvis magneten, der skaber feltet, ikke betragtes som en del af systemet). Kun ved at omformulere denne Newtons lov som loven om bevarelse af momentum i et lukket system af partikler og et elektromagnetisk felt, er det muligt at genoprette dens gyldighed for Lorentz-kræfterne [10] .

En fuldstændig afledning af et sådant udsagn kræver en definition af begrebet "feltmomentum", og måske den eneste måde at gøre dette på er Emma Noethers sætning (og det nært beslægtede begreb om energimomentum-tensoren) i klassisk (ikke-kvante). ) feltteori i den lagrangske formalisme. Den karakteristiske impuls af feltet/bølgen ("lystryk") er dog c gange mindre end dens karakteristiske energi, hvor c er lysets hastighed, og i mange reelle, tekniske anvendelser er en forsvindende lille størrelse. Hvad betyder gyldigheden af ZSI for kun ét ladet stof, og til gengæld, hvis stoffet kun består af 2 væsentlige punkter - gyldigheden af Newtons tredje lov (det svarer til ZSI for et lukket system, hvilket er en par materielle punkter/kroppe).

Lorentz-kraften som en definition af E og B

Mange lærebøger om elektromagnetisme bruger Lorentz-kraften som en definition af de elektriske og magnetiske felter E og B [11] [12] [13] . Især Lorentz-kraften forstås som følgende empiriske udsagn:

Den elektromagnetiske kraft F , der virker på testladningen på et givet tidspunkt og på et givet tidspunkt, er en bestemt funktion af dens ladning q og hastigheden v , som kan parametreres af nøjagtig to vektorer E og B i funktionel form :

\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )

Dette udtryk gælder også for tilfældet med en partikel, der bevæger sig med en hastighed tæt på lysets hastighed ( v = | v | ≈ c ). [14] Således er to vektorfelter E og B defineret i alt rum og tid, og de kaldes "elektrisk felt" og "magnetisk felt". Felter er defineret i hele rum og tid med hensyn til den kraft, der opleves af en testladning placeret i et elektromagnetisk felt.

Som en definition af E og B , er Lorentz-kraften kun en definition i princippet, fordi en reel partikel (i modsætning til et hypotetisk testlegeme med uendelig lille masse og ladning) vil skabe sine egne endelige felter E og B , hvilket ændrer den elektromagnetiske kraft det oplever. Derudover bevæger en ladning i et magnetfelt sig normalt langs en buet bane, det vil sige med acceleration - hvilket betyder, at den udsender stråling og mister kinetisk energi (se f.eks. artiklerne bremsstrahlung eller synkrotronstråling ). Disse effekter opstår på grund af både direkte påvirkning (den såkaldte strålingsreaktionskraft ) og indirekte (ved at påvirke bevægelsen af nærliggende ladninger og strømme).

Ligning

Ladet partikel

Kraft F , der virker på en partikel med elektrisk ladning q og øjeblikkelig hastighed v på grund af eksternt elektrisk felt E og magnetfelt B er givet ved (i SI-enheder ): [15]

${\vec {\mathbf {F} }}=q({\vec {\mathbf {E} }}+[{\vec {\mathbf {v} }},{\vec {\mathbf {B } }}])$

hvor x - tegnet angiver krydsproduktet (alle mængder med fed er vektorer). I kartesiske komponenter

F_{x}=q(E_{x}+v_{y}B_{z}-v_{z}B_{y}),

F_{y}=q(E_{y}+v_{z}B_{x}-v_{x}B_{z}),

F_{z}=q(E_{z}+v_{x}B_{y}-v_{y}B_{x}).

Generelt afhænger elektriske og magnetiske felter af koordinater og tid. Derfor kan Lorentz-kraften i eksplicit form skrives som

\mathbf {F} \left(\mathbf {r} ,\mathbf {\dot {r)) ,t,q\right)=q\left[\mathbf {E} (\mathbf {r} , t)+\mathbf {\dot {r)) \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)\right]

hvor r er positionsvektoren for den ladede partikel, t er tiden, og prikken angiver den tidsafledede.

En positivt ladet partikel vil accelerere i samme retning som feltet E , men dens bane vil krumme vinkelret på både den øjeblikkelige hastighedsvektor v og feltet B i overensstemmelse med gimlet-reglen (hvis højre hånds fingre strækkes ud, så at pege i retning af v , og derefter buet, så det peger i retning B , så ville den udstrakte tommelfinger pege i retning F ).

Udtrykket q E kaldes den elektriske kraft , og udtrykket q ( v × B ) kaldes den magnetiske kraft [16] . Ifølge nogle definitioner refererer udtrykket "Lorentz-kraft" specifikt til formlen for den magnetiske kraft [17], mens formlen med den samlede elektromagnetiske kraft (inklusive den elektriske kraft) får et andet navn. I det følgende vil udtrykket "Lorentz-kraft" referere til udtrykket for den samlede kraft.

Den magnetiske komponent af Lorentz-kraften manifesterer sig som en kraft, der virker på en strømførende leder placeret i et magnetfelt. I denne sammenhæng kaldes denne kraft også for Laplace-kraften.

Lorentz-kraften er den kraft, som et elektromagnetisk felt udøver på en ladet partikel, eller. med andre ord den hastighed, hvormed et lineært momentum overføres fra et elektromagnetisk felt til en partikel. Forbundet med det er effekt, som er den hastighed, hvormed energi overføres fra det elektromagnetiske felt til partiklen:

\mathbf {v} \cdot \mathbf {F} =q\,\mathbf {v} \cdot \mathbf {E}

Magnetfeltet virker ikke, fordi den magnetiske kraft altid er vinkelret på partiklens hastighed.

Kontinuerlig ladningsfordeling

For en kontinuerlig ladningsfordeling i bevægelse tager ligningen for Lorentz-kraften differentialformen

\mathrm {d} \mathbf {F} =\mathrm {d} q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\,\!

hvor er kraften, der virker på et lille volumen element med en ladning . Hvis begge dele af denne ligning divideres med volumen af dette lille fragment af ladningsfordelingen , får vi udtrykket $\mathrm {d} \mathbf {F}$ $\mathrm {d} q$ ${\mathrm {d}}V$

\mathbf {f} =\rho \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\,\!

hvor er krafttætheden (kraft pr. volumenhed) og er ladningstætheden (ladning pr. volumenenhed). Yderligere er strømtætheden svarende til ladningens bevægelse lig med ${\mathbf {f}}$ $\rho$

\mathbf {J} =\rho \mathbf {v} \,\!

således at den kontinuerlige analog af ligningen for Lorentz-kraften er udtrykket [18]

$\mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} \,\!$

Den fulde kraft kan nås ved at beregne volumenintegralet over ladningsfordelingen:

\mathbf {F} =\iiint \!(\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} )\,\mathrm {d} V\,\!

Eliminering og , ved hjælp af Maxwells ligninger ved hjælp af vektorregningssætninger , kan denne form af ligningen bruges til at udlede Maxwell-spændingstensoren og kombinere med Poynting-vektoren for at opnå energi-momentum- tensoren T af det elektromagnetiske felt, der anvendes generelt relativitet [18] . $\rho$ ${\mathbf {J}}$ ${\boldsymbol {\sigma ))$ $\mathbf {S}$

Med hensyn til og kan Lorentz-kraften (pr. volumenhed) skrives som [18] ${\boldsymbol {\sigma ))$ $\mathbf {S}$

\mathbf {f} =\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}-{\dfrac {1}{c^{2}}}{\dfrac {\partial \mathbf {S} }{\ delvis t}}\,\!

hvor er lysets hastighed, ∇ · angiver divergensen af tensorfeltet . Denne ligning relaterer ikke mængden af ladning og dens hastighed i elektriske og magnetiske felter, men energistrømmen ( energiflow pr. tidsenhed pr. afstandsenhed) i felterne med kraften, der virker på ladningsfordelingen. $c$

Effekttætheden forbundet med Lorentz-kraften i det materielle medium er lig med

\mathbf {J} \cdot \mathbf {E}

Hvis vi deler den samlede ladning og den samlede strøm i deres frie og bundne dele, viser det sig, at tætheden af Lorentz-kraften er lig med

\mathbf {f} =(\rho _{f}-\nabla \cdot \mathbf {P} )\mathbf {E} +(\mathbf {J} _{f}+\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t)))\times \mathbf {B}

hvor er den frie ladningstæthed; - polarisering ; er den nuværende tæthed af gratis afgifter; og er magnetiseringen. Således kan Lorentz-kraften forklare det drejningsmoment, der påføres en permanent magnet på grund af et eksternt magnetfelt. ${\displaystyle \rho _{f))$ ${\mathbf {P}}$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{f))$ $\mathbf {M}$

Ligning i CGS-enheder

Ovenstående formler bruger SI-enheder, som er de mest almindelige blandt eksperimentatorer, teknikere og ingeniører. I CGS-systemet, som er mere almindeligt blandt teoretiske fysikere, vil Lorentz-styrken tage formen

\mathbf {F} =q_{\mathrm {cgs} }\left(\mathbf {E} _{\mathrm {cgs} }+{\frac {\mathbf {v} }{c))\ gange \mathbf {B} _{\mathrm {cgs} }\right)

hvor c er lysets hastighed . Selvom denne ligning ser noget anderledes ud, er den fuldstændig ækvivalent, da de nye størrelser er relateret i to enhedssystemer af relationerne

q_{\mathrm {cgs} }={\frac {q_{\mathrm {SI} }}{\sqrt {4\pi \epsilon _{0)))),\quad \mathbf {E} _ {\mathrm {cgs} }={\sqrt {4\pi \epsilon _{0))}\,\mathbf {E} _{\mathrm {SI} },\quad \mathbf {B} _{\mathrm {cgs} }={\sqrt {4\pi /\mu _{0))}\,{\mathbf {B} _{\mathrm {SI} )),\quad c={\frac {1}{ \sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0))))

hvor ε 0 er permittiviteten af vakuumet, og μ 0 er den magnetiske permeabilitet af vakuumet . I praksis er suffikserne "cgs" og "SI" altid udeladt, og enhedssystemet bør fremgå klart af sammenhængen.

Særlige tilfælde

I et ensartet magnetfelt rettet vinkelret på hastighedsvektoren vil en ladet partikel under indflydelse af Lorentz-kraften bevæge sig ensartet langs en cirkel med konstant radius (også kaldet gyroradius). Lorentz-kraften i dette tilfælde er en centripetalkraft: $r$

GHS	SI
${mv^{2} \over r}={\|q\| \over c}vB\Rightarrow r={cm \over \|q\|}\cdot {v \over B}$	${\displaystyle {mv^{2} \over r}=\|q\|vB\Højrepil r={m \over \|q\|}\cdot {v \over B))$

Lorentz-kraftens arbejde vil være nul, da kraft- og hastighedsvektorerne altid er ortogonale. Ved en hastighed meget mindre end lysets hastighed afhænger den cirkulære frekvens ikke af : $v\$ $\omega\$ $v\$

GHS	SI
${\displaystyle \omega ={\|q\|B \over mc))$	$\omega ={\|q\|B \over m}$

Hvis en ladet partikel bevæger sig i et magnetfelt på en sådan måde, at hastighedsvektoren danner en vinkel med den magnetiske induktionsvektor , så er partiklens bane en helix med en radius og en skruestigning : $v\$ $\mathbf {B}$ $\alfa \$ $r\$ $h\$

GHS	SI
${\displaystyle r={mc \over \|q\|}\cdot {v\sin \alpha \over B))$ , $h={2\pi \over B}\cdot {mc \over \|q\|}\cdot v\cos \alpha$	${\displaystyle r={m \over \|q\|}\cdot {v\sin \alpha \over B))$ , $h={2\pi \over B}\cdot {m \over \|q\|}\cdot v\cos \alpha$

Historie

De første forsøg på at kvantificere den elektromagnetiske kraft blev gjort i midten af det 18. århundrede. Det blev antaget af Johann Tobias Mayer og andre i 1760 [19] at kraften ved de magnetiske poler, ligesom elektrisk ladede objekter, som etableret af Henry Cavendish i 1762 [20] , adlyder den omvendte kvadratlov . I begge tilfælde var det eksperimentelle bevis dog hverken fuldstændigt eller afgørende. Det var først i 1784, at Charles-Augustin de Coulomb , ved hjælp af en torsionsbalance , var i stand til definitivt eksperimentelt at vise, at dette var sandt. [21] Kort efter Hans Christian Ørsteds opdagelse i 1820 af , at en elektrisk strøm virker på en magnetisk nål, var André-Marie Ampère samme år i stand til eksperimentelt at opnå en formel for vinkelafhængigheden af kraften mellem to nuværende elementer. [22] [23] I alle disse beskrivelser er kraft altid blevet beskrevet i form af stoffets egenskaber og afstandene mellem to masser eller ladninger, snarere end i form af elektriske og magnetiske felter. [24]

Det moderne koncept for elektriske og magnetiske felter opstod først i Michael Faradays teorier , især vellykket var hans idé om kraftlinjer, som senere modtog en komplet matematisk beskrivelse af Lord Kelvin og James Clerk Maxwell . [25] Fra et moderne synspunkt kan man i Maxwells 1865-formulering af hans ligninger for det elektromagnetiske felt få en ligning for Lorentz-kraften i forhold til elektriske strømme [6] , selvom det på Maxwells tid ikke var indlysende, hvordan hans ligninger relateret til kræfter i forskydningsladede emner. J. J. Thomson var den første, der forsøgte at udlede fra Maxwells feltligninger de elektromagnetiske kræfter, der virker på et ladet objekt i bevægelse, hvad angår objektets egenskaber og ydre felter. Interesseret i ladede partiklers opførsel i katodestråler udgav Thomson et papir i 1881, hvori han definerede kraften, der virker på partikler på grund af et eksternt magnetfelt som [8]

\mathbf {F} ={\frac {q}{2}}\mathbf {v} \times \mathbf {B} .

Thomson udledte den korrekte grundform af formlen, men på grund af nogle fejl og en ufuldstændig beskrivelse af forspændingsstrømmen inkluderede han en forkert skaleringsfaktor på halvdelen før formlen. Oliver Heaviside opfandt moderne vektornotation og omskrev Maxwells feltligninger i deres termer; han korrigerede også (i 1885 og 1889) fejl i Thomsons udledning og nåede frem til den korrekte form for den magnetiske kraft, der virker på en ladet partikel i bevægelse. [8] [25] [26] Endelig, i 1895 [7] [27] kom Hendrik Lorentz med en moderne formel for den elektromagnetiske kraft, som omfattede bidrag fra både elektriske og magnetiske felter. Lorentz opgav oprindeligt Maxwells beskrivelse af æteren og ledning. I stedet påpegede Lorentz forskellene mellem stof og den lysende æter og nedskrev Maxwells ligninger i mikroskopisk skala. Ved at bruge en fast æterversion af Maxwell Heavisides ligninger og ved at anvende lagrangiansk mekanik (se nedenfor), nåede Lorentz frem til den korrekte og komplette form for loven for den elektromagnetiske kraft, der nu bærer hans navn. [25] [28]

Baner af partikler under påvirkning af Lorentz-kraften

I mange tilfælde af praktisk interesse kan bevægelsen i et magnetfelt af en elektrisk ladet partikel (for eksempel en elektron eller en ion i et plasma ) betragtes som en superposition af relativt hurtig cirkulær bevægelse omkring et punkt, der driver i en retning vinkelret på det elektriske og magnetiske felt. Driftshastigheder kan variere afhængigt af deres ladetilstand, masse eller temperatur, hvilket kan føre til elektriske strømme eller kemisk adskillelse.

Lorentz-styrkens betydning

Mens de moderne Maxwell-ligninger beskriver, hvordan elektrisk ladede partikler og strømme eller bevægelige ladede partikler inducerer elektriske og magnetiske felter, fuldender Lorentz-kraften dette billede ved at beskrive kraften, der virker på en bevægelig punktladning q i nærvær af elektromagnetiske felter. [15] [29] Selvom Lorentz-kraften beskriver virkningen af E og B på en punktladning, er sådanne elektromagnetiske kræfter ikke hele billedet. Ladede partikler kan være relateret til andre kræfter, især tyngdekraft og kernekræfter. Maxwells ligninger er således ikke adskilt fra andre fysiske love, men er relateret til dem gennem ladning og strømtætheder. En punktladnings reaktion på Lorentz' lov er ét aspekt; genereringen af E og B ved strømme og ladninger er en anden.

I virkelige materialer beskriver Lorentz-kraften ikke tilstrækkeligt den kollektive opførsel af ladede partikler, både i princippet og i form af beregninger. Ladede partikler i materialemediet reagerer ikke kun på felterne E og B, men skaber også selv disse felter. For at bestemme den tidsmæssige og rumlige reaktion af ladninger er det nødvendigt at løse komplekse transportligninger, for eksempel Boltzmann-ligningen, Fokker-Planck- ligningen eller Navier-Stokes-ligningerne . Se for eksempel Magnetohydrodynamik , fluiddynamik , elektrohydrodynamik , superledning , stjerneudvikling . Et helt fysisk apparat er blevet udviklet til at løse disse problemer. Se for eksempel Greens–Kubo formler og Greens funktion (mangelegemeteori).

Tving på en strømførende ledning

Når en ledning, der fører en elektrisk strøm, placeres i et magnetfelt, oplever hver af de bevægelige ladninger, der udgør strømmen, en Lorentz-kraft, og sammen kan de skabe en makroskopisk kraft på ledningen (nogle gange kaldet Laplace-kraften ). Ved at kombinere ovenstående Lorentz-lov med definitionen af elektrisk strøm, i tilfælde af en lige fast ledning, opnås følgende ligning: [30]

\mathbf {F} =I{\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {B}

hvor ℓ er en vektor, hvis størrelse er lig med længden af ledningen, og retningen er langs ledningen, kombineret med retningen af den almindelige strøm I.

Hvis tråden ikke er lige, men bøjet, beregnes kraften, der virker på den, ved at anvende denne formel på hvert uendeligt lille stykke tråd d ℓ og derefter tilføje alle disse kræfter ved integration . Formelt er den resulterende kraft, der virker på en fast stiv ledning, gennem hvilken en jævnstrøm I løber , lig med

\mathbf {F} =I\int \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {B}

Dette er fuld styrke. Derudover opstår der normalt moment og andre effekter, hvis ledningen ikke er helt stiv.

En anvendelse af dette er Ampères kraftlov , som beskriver, hvordan to strømførende ledninger tiltrækker eller frastøder hinanden, afhængigt af strømmens retning, da de hver især oplever en Lorentz-kraft fra magnetfeltet skabt af den anden strøm.

EMF

Den magnetiske kraft ( q v × B ) i udtrykket for Lorentz-kraften er ansvarlig for den motoriske elektromotoriske kraft (eller motiv-EMF ), et fænomen, der ligger til grund for driften af mange elektriske generatorer. Når en leder bevæger sig gennem et område med magnetfelt, udøver magnetfeltet modsatte kræfter på elektronerne og kernerne i ledningen, og dette skaber en EMF. Udtrykket "motor-EMK" anvendes på dette fænomen, da EMF skyldes ledningens bevægelse .

I andre elektriske generatorer bevæger magneterne sig, men det gør lederne ikke. I dette tilfælde skyldes EMF den elektriske kraft (q E ) i ligningen for Lorentz-kraften. Det pågældende elektriske felt skabes af et skiftende magnetfelt, hvilket resulterer i en induceret emk, som beskrevet af Maxwell-Faraday-ligningen . [31]

Begge disse EMF'er er, på trods af deres klart forskellige oprindelse, beskrevet af den samme ligning, nemlig EMF'en er ændringshastigheden af den magnetiske flux gennem ledningen. Dette er Faradays lov om elektromagnetisk induktion, se nedenfor. Einsteins specielle relativitetsteori var til dels motiveret af et ønske om bedre at forstå denne sammenhæng mellem de to effekter. [31] Faktisk er de elektriske og magnetiske felter forskellige facetter af et enkelt elektromagnetisk felt (forskellige elementer i en enkelt matrix af feltstyrketensoren Fij), og når de bevæger sig fra en inertiereferenceramme til en anden (dvs. operationen med at ændre basis til matricen Fij), kan en del af det elektromagnetiske vektorfelt E helt eller delvist erstattes af B eller omvendt . [32]

Lorentz kraft og Faradays lov om induktion

For en ledningsløkke i et magnetfelt siger Faradays induktionslov, at den inducerede elektromotoriske kraft (EMF) i ledningen er:

{\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}

hvor

\Phi _{B}=\iint _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)

- magnetisk flux gennem sløjfen, B - magnetisk felt, Σ ( t ) - overflade afgrænset af en lukket kontur ∂Σ ( t ), på tidspunktet t , d A - et uendeligt lille element af arealvektoren Σ ( t ) (værdien er arealet af uendeligt et lille område af overfladen, retningen af vektoren er ortogonal til dette område af overfladen).

Tegnet på EMF bestemmes af Lenz ' lov . Dette gælder ikke kun for en stationær ledning, men også for en bevægelig ledning.

Fra Faradays lov om elektromagnetisk induktion og Maxwells ligninger kan man få Lorentz-kraften. Det modsatte er også sandt: Lorentz-kraften og Maxwells ligninger kan bruges til at udlede Faradays lov .

Lad Σ ( t ) være en translationsledning med konstant hastighed v, og Σ ( t ) være den indre overflade af ledningen. EMF omkring en lukket bane ∂Σ ( t ) bestemmes af udtrykket [33]

{\mathcal {E}}=\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q

hvor

\mathbf {E} =\mathbf {F} /q

er det elektriske felt, og d ℓ er et infinitesimalt vektorelement af konturen ∂Σ ( t ).

Retningen d ℓ og d A er tvetydig. For at få det rigtige fortegn bruges højrehåndsreglen , som beskrevet i artiklen The Kelvin-Stokes Theorem.

Resultatet ovenfor kan sammenlignes med Faradays lov om elektromagnetisk induktion, der optræder i moderne Maxwells ligninger, her kaldet Maxwell-Faraday-ligningen :

\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))\ .

Maxwell-Faraday-ligningen kan skrives i integralform ved hjælp af Kelvin-Stokes-sætningen. [34]

Maxwell-Faraday-ligningen tager formen

\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\ t)=-\ \iint _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot {{\mathrm {d} \,\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t)} \over \mathrm { d}t}

og Faradays lov

\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q(\mathbf {r} ,\ t)=-{ \frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\iint _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} (\mathbf {r } ,\t).

Disse to udtryk er ækvivalente, hvis ledningen ikke bevæger sig. Ved at bruge Leibniz' integralregel og div B = 0, kan man få,

\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q(\mathbf {r} ,t)=-\iint _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot {\frac {\partial }{\partial t))\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)+\oint _{\partial \Sigma (t)}\!\!\!\!\mathbf {v} \times \mathbf {B} \,\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell ))

og ved at bruge Maxwell Faraday-ligningen,

\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q(\mathbf {r} ,\ t)=\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\ t)+\oint _{\partial \Sigma ( t)}\!\!\!\!\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t)\,\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}

da dette er sandt for enhver position af ledningen, altså

\mathbf {F} =q\,\mathbf {E} (\mathbf {r} ,\ t)+q\,\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} , \t).

Faradays induktionslov er gyldig uanset om trådsløjfen er stiv og stationær, eller den er i bevægelse eller i gang med deformation, og også uanset om magnetfeltet er konstant i tid eller under forandring. Men der er tidspunkter, hvor Faradays lov enten er utilstrækkelig eller svær at bruge, og Lorentz' lov skal anvendes.

Hvis magnetfeltet er uafhængig af tid, og den ledende sløjfe bevæger sig gennem feltet, kan den magnetiske flux ΦB, der kommer ind i sløjfen, ændre sig på flere måder. For eksempel, hvis magnetfeltet ændrer sig afhængigt af positionen, og løkken bevæger sig til en anden position med en anden værdi af B , vil - Φ B ændre sig. Alternativt, hvis sløjfen ændrer orientering i forhold til B , så vil differentialelementet B ⋅ d A ændre sig på grund af den forskellige vinkel mellem B og d A, og F B vil også ændre sig. Som et tredje eksempel, hvis en del af en elektriske kredsløb passerer gennem et homogent, et tidsuafhængigt magnetfelt, og den anden del af kredsløbet forbliver stationært, så kan den magnetiske flux, der forbinder hele det lukkede kredsløb, ændre sig på grund af den relative forskydning af positionen af kredsløbets bestanddele over tid (overflade ∂Σ ( t ), afhængig af tid) . I alle tre tilfælde forudsiger Faradays induktionslov fremkomsten af en emk genereret af en ændring i Φ B .

Det følger af Maxwell-Faraday-ligningen, at hvis magnetfeltet B ændres med tiden, så er det elektriske felt E ikke-konservativt og kan ikke udtrykkes som en skalarfeltgradient , da dets krølle ikke er nul. [35] [36]

Lorentz kraft i form af potentialer

Felterne E og B kan erstattes af vektormagnetisk potentiale A og det ( skalar ) elektrostatiske potentiale ϕ via

\mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))

\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}

hvor ∇ er gradienten, ∇⋅ er divergensen, ∇ × er krøllen .

Styrken vil blive skrevet som

\mathbf {F} =q\venstre[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {A} )\right].

Ved at bruge identiteten for det tredobbelte produkt kan dette udtryk omskrives som,

$\mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))+\nabla \left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} \right)-\left(\mathbf {v} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} \right],$

Her skal koordinaterne og hastighedskomponenterne behandles som uafhængige variable, så nabla-operatoren kun virker på og ikke på ; der er således ingen grund til at bruge Feynman-indeksnotationen i ovenstående ligning. Ved at bruge kædereglen er den samlede afledte af : $\mathbf {A}$ $\mathbf{v}$ $\mathbf {A}$

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t))={\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {A}

så ovenstående udtryk bliver

\mathbf {F} =q\left[-\nabla (\phi -\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} )-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{ \mathrm {d} t}}\right]

For v = ẋ kan ligningen omskrives i den bekvemme Euler-Lagrange form

$\mathbf {F} =q\left[-\nabla _{\mathbf {x} }(\phi -{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )+{\ frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\nabla _{\dot {\mathbf {x} }}(\phi -{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )\right]$

hvor notationen

$\nabla _{\mathbf {x} }={\hat {x}}{\dfrac {\partial }{\partial x}}+{\hat {y}}{\dfrac {\partial }{ \partial y))+{\hat {z)){\dfrac {\partial }{\partial z))$

$\nabla _{\dot {\mathbf {x} }}={\hat {x}}{\dfrac {\partial }{\partial {\dot {x}}}}+{\hat {y )){\dfrac {\partial }{\partial {\dot {y))))+{\hat {z)){\dfrac {\partial }{\partial {\dot {z))))$ .

Lorentz-kraften og analytisk mekanik

Lagrangian for en ladet partikel med masse m og ladning q i et elektromagnetisk felt beskriver partiklens dynamik i form af dens energi snarere end kraften, der virker på den. Det klassiske udtryk er givet som følger: [37]

L={\frac {m}{2}}\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}} +q\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot { r}} -q\phi

hvor A og ϕ er potentielle felter, som angivet ovenfor. Mængden kan betragtes som en potentiel funktion afhængig af hastigheden. [38] Ved at bruge Lagranges ligninger kan man igen få ligningen for Lorentz-kraften givet ovenfor. $V=q(\phi -\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r)) )$

Potentiel energi afhænger af partiklens hastighed, så kraften afhænger af hastigheden, og derfor er den ikke konservativ.

Relativistisk Lagrangian

L=-mc^{2}{\sqrt {1-\left({\frac {\dot {\mathbf {r}}}{c}}\right)^{2}}}+q\ mathbf {A} (\mathbf {r} )\cdot {\dot {\mathbf {r} }}-q\phi (\mathbf {r} )\,\!

Handlingen er den relativistiske vejlængde for partiklen i rum-tid , minus det potentielle energibidrag plus et yderligere bidrag, som kvantemekanisk er den ekstra fase, som en ladet partikel får, når den bevæger sig langs et vektorpotentiale.

Relativistisk form for Lorentz-styrken

Kovariant form af Lorentz-kraften.

Felttensor

Ved at bruge den metriske signatur (1, −1, −1, −1) , kan Lorentz-kraften for ladningen q skrives på [39] i kovariant form :

${\frac {\mathrm {d} p^{\alpha }}{\mathrm {d} \tau }}=qF^{\alpha \beta }U_{\beta }$

hvor p α er det firedimensionale momentum , defineret som

p^{\alpha }=\left(p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}\right)=\left(\gamma mc,p_{x},p_{ y},p_{z}\right)\,,

τ er den korrekte tid for partiklen, F αβ er den kontravariante tensor af det elektromagnetiske felt

F^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_ {z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}

og U er den kovariante 4-hastighed af partiklen, defineret som:

U_{\beta }=\left(U_{0},U_{1},U_{2},U_{3}\right)=\gamma \left(c,-v_{x},-v_ {y},-v_{z}\right)\,,

hvor er Lorentz-faktoren

\gamma (v)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{ \sqrt {1-{\frac {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}{c^{2}}}}}}

Felterne omdannes til et system, der bevæger sig i forhold til det stationære system med konstant hastighed ved hjælp af:

F'^{\mu \nu }={\Lambda ^{\mu}}_{\alpha }{\Lambda ^{\nu}}_{\beta }F^{\alpha \beta }\ ,,

hvor Λ μ α er Lorentz transformationstensoren .

Oversættelse til vektornotation

α = 1 komponent ( x -komponent) af kraften er

{\frac {\mathrm {d} p^{1}}{\mathrm {d} \tau }}=qU_{\beta }F^{1\beta }=q\left(U_{0} F^{10}+U_{1}F^{11}+U_{2}F^{12}+U_{3}F^{13}\højre).

Ved at erstatte komponenterne i den kovariante tensor af det elektromagnetiske felt F, får vi

{\frac {\mathrm {d} p^{1}}{\mathrm {d} \tau }}=q\left[U_{0}\left({\frac {E_{x}}{ c}}\right)+U_{2}(-B_{z})+U_{3}(B_{y})\right].

Brug af komponenterne i de kovariante fire-hastigheder

{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} p^{1}}{\mathrm {d} \tau }}&=q\gamma \left[c\left({\frac { E_{x}}{c}}\right)+(-v_{y})(-B_{z})+(-v_{z})(B_{y})\right]\\&=q\ gamma \left(E_{x}+v_{y}B_{z}-v_{z}B_{y}\right)\\&=q\gamma \left[E_{x}+\left(\mathbf { v} \times \mathbf {B} \right)_{x}\right]\,.\end{aligned}}

Beregningen for α = 2 , 3 (komponenter af kraften i y- og z-retningerne ) fører til lignende resultater, så man kombinerer de 3 ligninger til én:

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} \tau }}=q\gamma \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B}\right)\,,

og da forskellene i koordinattid dt og korrekt tid dτ er relateret af Lorentz-faktoren,

dt=\gamma (v)d\tau \,,

Endelig kan du skrive

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \ret)\,.

Dette er præcis Lorentz' lov, men p er et relativistisk udtryk,

\mathbf {p} =\gamma (v)m_{0}\mathbf {v} \,.

Lorentz kraft i rum-tid algebra (STA)

[ tjek oversættelse ! ] Elektriske og magnetiske felter afhænger af observatørens hastighed, så den relativistiske form for Lorentz lov kan bedst påvises ud fra et koordinat-uafhængigt udtryk for elektromagnetiske og magnetiske felter. , og en vilkårlig tidsretning, . Ved hjælp af rum-tids-algebraen (eller geometrisk rum-tid-algebra), ligesom Clifford-algebraen defineret i det pseudo-euklidiske rum [40] , skriver vi ${\mathcal {F}}$ $\gamma _{0}$

\mathbf {E} =({\mathcal {F}}\cdot \gamma _{0})\gamma _{0}

i\mathbf {B} =({\mathcal {F}}\wedge \gamma _{0})\gamma _{0}

${\mathcal {F}}$ er en rum-tid bivector (et orienteret fladt segment, analogt med en vektor, som er et orienteret linjestykke), der har seks frihedsgrader svarende til boosts (rotationer i rum-tid-planerne) og rotationer (rotationer i rummet) -rumfly). Punktproduktet med en vektor trækker en vektor (i rumlig algebra) fra translationsdelen, mens det ydre produkt skaber en trivektor (i rumlig algebra), der er dobbelt med vektoren, som er den sædvanlige magnetfeltvektor. Den relativistiske hastighed er givet ved (tidslignende) ændringer i tidskoordinatvektoren , hvor $\gamma _{0}$ $v={\dot {x}}$

v^{2}=1,

(som viser vores valg af metrisk), og hastigheden er

\mathbf {v} =cv\wedge \gamma _{0}/(v\cdot \gamma _{0}).

Korrekt (invariant er et utilstrækkeligt udtryk, fordi der ikke er defineret nogen transformation) form for Lorentz' lov

$F=q{\mathcal {F}}\cdot v$

Her er rækkefølgen vigtig, fordi mellem en bivector og en vektor er prikproduktet antisymmetrisk. Med denne opdeling af rum-tid kan man opnå hastigheden og felterne, som angivet ovenfor, hvilket giver det sædvanlige udtryk.

Lorentz-kraften i generel relativitetsteori

I den generelle relativitetsteori er bevægelsesligningen for en partikel med masse og ladning, der bevæger sig i rummet med en metrisk tensor og et elektromagnetisk felt , givet som $m$ $e$ $g_{{ab}}$ ${\displaystyle F_{ab))$

m{\frac {du_{c}}{ds}}-m{\frac {1}{2}}g_{ab,c}u^{a}u^{b}=eF_{cb} u^{b}\;,

hvor ( tages langs banen), , og . $u^{a}=dx^{a}/ds$ ${\displaystyle dx^{a))$ $g_{ab,c}=\partial g_{ab}/\partial x^{c}$ ${\displaystyle ds^{2}=g_{ab}dx^{a}dx^{b))$

Ligningen kan også skrives som

m{\frac {du_{c}}{ds}}-m\Gamma _{abc}u^{a}u^{b}=eF_{cb}u^{b}\;,

hvor er Christoffel -symbolerne (torsionsfri metrisk forbindelse i generel relativitet), eller som ${\displaystyle \Gamma _{abc))$

m{\frac {Du_{c}}{ds}}=eF_{cb}u^{b}\;,

hvor er den kovariante differential i generel relativitet (metrisk, torsionsfri). $D$

Ansøgninger

Lorentz-kraften er til stede i mange enheder, herunder:

Den vigtigste anvendelse af Lorentz-kraften (mere præcist dens specielle tilfælde - Ampère-kraften ) er elektriske maskiner (elektriske motorer og generatorer). Lorentz-kraften er meget brugt i elektroniske instrumenter til at virke på ladede partikler ( elektroner og nogle gange ioner ), såsom i tv- katodestrålerør , såvel som i massespektrometri og MHD-generatorer .
Lorentz-kraften bruges også i partikelacceleratorer : den sætter den bane, hvormed disse partikler bevæger sig.
Lorentz-styrken bruges i railgun .
Lorentz -hastighedsmåling er en berøringsfri måling af hastigheden af en ledende væske.
Cyklotroner og andre cirkulære bevægelsespartikelacceleratorer
Massespektrometre
Hastighedsfiltre
Magnetroner

Se også

Strålingsfriktion

Noter

↑ Afanasiev, G. N. Gamle og nye problemer i teorien om Aharonov-Bohm-effekten // Fysik af elementarpartikler og atomkernen. - 1990. - T. 21 . - S. 172-250 . Arkiveret fra originalen den 12. februar 2022.
↑ 1 2 Lorentz force / V. S. Bulygin // Great Russian Encyclopedia : [i 35 bind] / kap. udg. Yu. S. Osipov . - M . : Great Russian Encyclopedia, 2004-2017.
↑ M. A. Miller, E. V. Suvorov. Lorentz force // Physical Encyclopedia : [i 5 bind] / Kap. udg. A. M. Prokhorov . - M . : Soviet Encyclopedia (bd. 1-2); Great Russian Encyclopedia (bd. 3-5), 1988-1999. — ISBN 5-85270-034-7 .
↑ En sådan dobbelthed i brugen af udtrykket "Lorentz-kraft" skyldes naturligvis historiske årsager: faktum er, at kraften, der virker på en punktladning fra kun det elektriske felt, var kendt længe før Lorentz - Coulombs lov blev opdaget i 1785. Lorentz fik derimod en generel formel for virkningen af både elektriske og magnetiske felter, som adskiller sig fra den foregående blot i udtrykket for magnetfeltet. Derfor kaldes begge, ganske logisk, ved hans navn.
↑ H- feltet måles i ampere pr. meter (A/m) i SI-enheder og i oersted (Er) i CGS-enheder. Internationalt enhedssystem (SI) . NIST-reference om konstanter, enheder og usikkerhed . National Institute of Standards and Technology. Hentet 9. maj 2012. Arkiveret fra originalen 31. december 2016. (ubestemt)
↑ 1 2 Huray, Paul G. Maxwells ligninger . - Wiley-IEEE, 2010. - S. 22. - ISBN 978-0-470-54276-7 . Arkiveret 21. november 2021 på Wayback Machine
↑ 1 2 Per F. Dahl, Flash of the Cathode Rays: A History of JJ Thomson's Electron , CRC Press, 1997, s. ti.
↑ 1 2 3 Paul J. Nahin, Oliver Heaviside Arkiveret 3. april 2021 på Wayback Machine , JHU Press, 2002.
↑ Bolotovsky B.M. Oliver Heaviside . - Moskva: Nauka, 1985. - S. 43-44. — 260 s. Arkiveret 14. marts 2022 på Wayback Machine
↑ Matveev A. N. Mekanik og relativitetsteorien. - 3. udg. - M. Højere Skole 1976. - S. 132.
↑ Se for eksempel Jackson, s. 777-8.
↑ JA Wheeler. Tyngdekraften . - W.H. Freeman & Co, 1973. - ISBN 0-7167-0344-0 . . Disse forfattere bruger Lorentz-kraften i tensorform som definerer af den elektromagnetiske tensor F , igen felterne E og B.
↑ IS Bevilling. elektromagnetisme. - John Wiley & Sons, 1990. - S. 122. - ISBN 978-0-471-92712-9 .
↑ IS Bevilling. elektromagnetisme. - John Wiley & Sons, 1990. - S. 123. - ISBN 978-0-471-92712-9 .
↑ 1 2 Se Jackson, side 2. Bogen oplister de fire moderne Maxwells ligninger og siger derefter: "Også afgørende for overvejelse af ladede partikelbevægelser er Lorentz kraftligningen, F = q ( E + v × B ), som giver kraften, der virker på en punktladning q i nærvær af elektromagnetiske felter."
↑ Se Griffiths, side 204.
↑ Se for eksempel webstedet for Lorentz Institute Arkiveret 17. december 2021 på Wayback Machine eller Griffiths.
↑ 1 2 3 Griffiths, David J. Introduktion til elektrodynamik . — 3. - Upper Saddle River, New Jersey [ua] : Prentice Hall, 1999. - ISBN 978-0-13-805326-0 .
↑ Delon, Michel. Encyclopedia of Oplysningstiden . - Fitzroy Dearborn Publishers, 2001. - S. 538 . — ISBN 157958246X .
↑ Goodwin, Elliot H. The New Cambridge Modern History bind 8: The American and French Revolutions, 1763–93. - Cambridge University Press, 1965. - S. 130. - ISBN 9780521045469 .
↑ Meyer, Herbert W. A History of Electricity and Magnetism. - Burndy Library, 1972. - S. 30–31. — ISBN 0-262-13070-X .
↑ Verschuur, Gerrit L. Skjult tiltrækning: Magnetismens historie og mysterium. — Oxford University Press, 1993. — S. 78–79 . — ISBN 0-19-506488-7 .
↑ Darrigol Olivier. Elektrodynamik fra Ampere til Einstein. - Oxford University Press, 2000. - S. 9 , 25. - ISBN 0-19-850593-0 .
↑ Verschuur, Gerrit L. Skjult tiltrækning: Magnetismens historie og mysterium . - Oxford University Press, 1993. - ISBN 0-19-506488-7 .
↑ 1 2 3 Darrigol, 2000 , s. 126-131 , 139-144.
↑ Heaviside, Oliver (april 1889). "Om de elektromagnetiske virkninger på grund af elektrificeringens bevægelse gennem et dielektrikum" . Filosofisk tidsskrift . Arkiveret fra originalen 2021-02-21 . Hentet 2021-03-15 . Forældet parameter brugt |deadlink=( hjælp )
↑ Lorentz, Hendrik Antoon, Versuch einer Theorie der electrischen und optischen Erscheinungen in bewegten Körpern , 1895.
↑ Whittaker E.T. En historie om teorierne om æter og elektricitet: Fra Descartes tidsalder til slutningen af det nittende århundrede . - Longmans, Green og Co., 1910. - S. 420-423. — ISBN 1-143-01208-9 .
↑ Se Griffiths, side 326, som siger, at Maxwells ligninger "sammen med [Lorentz] kraftloven ... opsummerer hele det teoretiske indhold af klassisk elektrodynamik".
↑ Fysiske eksperimenter . www.physicsexperiment.co.uk . Hentet 14. august 2018. Arkiveret fra originalen 8. juli 2018.
↑ 1 2 Se Griffiths, side 301-3.
↑ Tai L. Chow. Elektromagnetisk teori . - Sudbury MA : Jones og Bartlett, 2006. - S. 395. - ISBN 0-7637-3827-1 . Arkiveret 3. april 2021 på Wayback Machine
↑ Landau, LD, Lifshitz, EM, & Pitaevskiĭ, LP Elektrodynamik af kontinuerlige medier; Bind 8 Kursus i teoretisk fysik . - Sekund. - Oxford : Butterworth-Heinemann, 1984. - P. §63 (§49 s. 205–207 i 1960-udgaven). - ISBN 0-7506-2634-8 .
↑ Roger F. Harrington. Introduktion til elektromagnetisk teknik . - Mineola, New York: Dover Publications, 2003. - S. 56. - ISBN 0-486-43241-6 . Arkiveret 3. april 2021 på Wayback Machine
↑ MNO Sadiku. Elementer af elektromagnetik . — Fjerde. — NY/Oxford: Oxford University Press, 2007. — S. 391. — ISBN 978-0-19-530048-2 . Arkiveret 3. april 2021 på Wayback Machine
↑ Landau, 1984 , s. §63.
↑ Classical Mechanics (2nd Edition), TWB Kibble, European Physics Series, McGraw Hill (UK), 1973, ISBN 0-07-084018-0 .
↑ Lanczos, Cornelius, 1893-1974. Mekanikkens variationsprincipper. — Fjerde. - New York, januar 1986. - ISBN 0-486-65067-7 .
↑ Jackson, JD Kapitel 11
↑ Hestenes. Rumtidsregning . Hentet 15. marts 2021. Arkiveret fra originalen 09. maj 2021. (ubestemt)

Litteratur

Feynman, Richard Phillips. The Feynman forelæsninger om fysik (3 bind) / Richard Phillips Feynman, Robert B. Leighton, Matthew L. Sands. - Pearson / Addison-Wesley, 2006. - ISBN 0-8053-9047-2 . : bind 2.
Griffiths, David J. Introduktion til elektrodynamik. - Prentice-Hall, 1999. - ISBN 0-13-805326-X .
Jackson, John David. Klassisk elektrodynamik . - Wiley, 1999. - ISBN 0-471-30932-X .
Serway, Raymond A. Fysik for videnskabsmænd og ingeniører, med moderne fysik / Raymond A. Serway, John W., Jr. Jewett. — Thomson Brooks/Cole, 2004. — ISBN 0-534-40846-X .
Srednicki, Mark A. Kvantefeltteori. - Cambridge University Press, 2007. - ISBN 978-0-521-86449-7 .