Galilæiske transformationer

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 24. oktober 2021; checks kræver 6 redigeringer .

Galileiske transformationer - i klassisk mekanik ( Newtonsk mekanik ) og ikke-relativistisk kvantemekanik : transformationer af koordinater og hastighed under overgangen fra en inerti referenceramme (ISR) til en anden [1] . Udtrykket blev foreslået af Philipp Frank i 1909 [2] . Galileos transformationer er baseret på Galileos relativitetsprincip , som indebærer den samme tid i alle referencesystemer ("absolut tid" [3] ).

Galileiske transformationer er et begrænsende (specielt) tilfælde af Lorentz-transformationer for hastigheder, der er små sammenlignet med lysets hastighed i vakuum og i et begrænset rumfang. For hastigheder op til rækkefølgen af planeternes hastigheder i solsystemet (og endnu højere), er Galileos transformationer omtrent korrekte med meget høj nøjagtighed.

Kravet (postulatet) til relativitetsprincippet kan sammen med Galileos transformationer, som virker ret intuitivt indlysende, i høj grad betragtes som bestemmende for den newtonske mekaniks struktur. Sammen med sådanne yderligere ideer som rummets symmetri og princippet om superposition i en eller anden form (som angiver ækvivalensen af interaktionen mellem mange legemer i et kort tidsinterval af sammensætningen af imaginære successive parvise interaktioner af disse legemer), Galileos transformationer kan være et praktisk nok grundlag for formuleringen af newtonsk mekanik (konklusionen dens grundlæggende love).

Type af transformationer for kollineære akser [4]

Hvis IFR S' bevæger sig i forhold til IFR S med en konstant hastighed langs aksen , og oprindelsen falder sammen på det indledende tidspunkt i begge systemer, så har Galileo-transformationerne formen: $u\$ $x\$

x=x'+ut,\

{y}=y',\

{z}=z',\

t=t'\

eller ved hjælp af vektornotation,

{\vec {r}}={\vec {r}}'+{\vec {u}}t,\

t=t'\

(den sidste formel forbliver sand for enhver retning af koordinatakserne).

Som du kan se, er dette blot formler for skiftet af oprindelsen, som er lineært afhængig af tid (hvilket antages at være ens for alle referencesystemer).

Fra disse transformationer følger forholdet mellem punktets hastigheder og dets accelerationer i begge referencerammer:

{\vec {v}}={\vec {v'}}+{\vec {u}},

{\vec {a}}={\vec {a'}}

Galileiske transformationer er det begrænsende (særlige) tilfælde af Lorentz-transformationer for lave hastigheder (meget mindre end lysets hastighed). $du vil c$

Galileos gruppe

Den galilæiske gruppe er et sæt transformationer af klassen af inertielle referencerammer til sig selv, kombineret med tidsmæssige oversættelser. [5] De vigtigste transformationer af den galilæiske gruppe er også grupper:

Tidsoversættelser svarende til en ændring i oprindelsen af tidsreferencen: $P_{0}:t\rightarrow t'=t+\tau ,\mathbf {x} \rightarrow \mathbf {x'} =\mathbf {x}$
Oversættelser af rum svarende til en ændring i oprindelsen af koordinater: $P_{3}:t\rightarrow t'=t,\mathbf {x} \rightarrow \mathbf {x'} =\mathbf {x} +\mathbf {a}$
Galileiske transformationer , der forbinder referencesystemer, der bevæger sig med relativ hastighed : $\mathbf{v}$ ${\displaystyle K:t\rightarrow t'=t,x_{k}\rightarrow x_{k}'=-v_{k}t+x_{k))$
Rotation af kartesiske akser : . De danner en speciel ortogonal gruppe af tredimensionelt rum . ${\displaystyle R:t\rightarrow t'=t,x_{k}\rightarrow x_{k}'=R_{kl}x_{l))$ $SO(3)$

her - tid, - koordinater i det euklidiske rum , - relativ hastighed af referencerammer, - ortogonal matrix . $t$ $\mathbf {x}$ $R^{3}$ $\mathbf{v}$ $R$

Galileiske gruppegeneratorer

Lad os betegne som generatorerne af gruppen af rotationer, - generatorerne af rum-tid-translationer, - generatorerne af Galileo-transformationerne, symbolet - kommutatoren af Lie-algebraen . Generatorerne i den galilæiske gruppe er forbundet med følgende kommuteringsrelationer: [6] ${\displaystyle l_{k))$ $P_{\mu },\mu =0.1,2,3$ $K_{i},i=1,2,3$ $[...,...]$

{\displaystyle [l_{k},l_{m}]=\varepsilon _{kmn}l_{n))

{\displaystyle [l_{k},P_{m}]=\varepsilon _{kmn}P_{n))

{\displaystyle [l_{k},K_{m}]=\varepsilon _{kmn}K_{n))

[l_{k},P_{0}]=[P_{\mu },P_{\nu }]=[K_{m},K_{n}]=[P_{m},K_{n }]=0

{\displaystyle [P_{0},K_{m}]=P_{m))

her: , - strukturelle konstanter for algebraen - matricer. $k,m,n=1,2,3;\mu ,\nu =0,1,2,3$ $\varepsilon _{kmn}$ $\sigma$

Formel for hastighedskonvertering

Det er nok at differentiere i formlen for Galileos transformationer givet ovenfor, og straks vil hastighedstransformationsformlen givet i samme afsnit ved siden af blive opnået. ${\vec {r))$

Lad os give en mere elementær, men også mere generel konklusion - i tilfælde af en vilkårlig bevægelse af referencepunktet for et system i forhold til et andet (i fravær af rotation). For sådan et mere generelt tilfælde kan du f.eks. få hastighedskonverteringsformlen sådan her.

Overvej transformationen af et vilkårligt skift af oprindelsen til vektoren , ${\vec r}_{o}$

hvor radius-vektoren for noget legeme A i referencerammen K vil blive betegnet som , og i referencerammen K' - som , ${\vec {r))$ ${\vec {r'}}$

hvilket antyder, som altid i klassisk mekanik, at tiden i begge referencerammer er den samme, og alle radiusvektorer afhænger af denne tid: . $t$ ${\vec r}_{o}={\vec r}_{o}(t),{\vec r}={\vec r}(t),{\vec {r'))={\vec {r'}}(t)$

Så til enhver tid

{\vec r}={\vec r}_{o}+{\vec {r'))

og i særdeleshed overvejer

\Delta {\vec r}={\vec r}(t+\Delta t)-{\vec r}(t),~\Delta {\vec r}_{o}={\vec r}_{o }(t+\Delta t)-{\vec r}_{o}(t),~\Delta {\vec {r'}}={\vec {r'}}(t+\Delta t)-{\ vec{r'}}(t)

vi har:

{\begin{matrix}{\vec r}(t)={\vec r}_{o}(t)+{\vec {r'}}(t)\\{\vec r}(t+\Delta t)={\vec r}_{o}(t+\Delta t)+{\vec {r'}}(t+\Delta t)\end{matrix}}({\Bigg \}}}\quad \ Højrepil \quad \Delta {\vec r}=\Delta {\vec r}_{o}+\Delta {\vec {r'))\quad \Rightarrow \quad {\frac {\Delta {\vec r} }{\Delta t))={\frac {\Delta {\vec r}_{o)){\Delta t))+{\frac {\Delta {\vec {r'))}{\Delta t }}

$\Rightarrow \quad \langle {\vec {V}}\rangle =\langle {\vec {V}}_{o}\rangle +\langle {\vec {V'}}\rangle$

hvor:

\langle {\vec {V}}\rangle

er den gennemsnitlige hastighed af kroppen A i forhold til systemet K ;

\langle {\vec {V))'\rangle

- den gennemsnitlige hastighed af kroppen A i forhold til systemet K' ;

\langle {\vec {V}}_{o}\rangle

er gennemsnitshastigheden af systemet K' i forhold til systemet K .

Hvis så gennemsnitshastighederne falder sammen med det øjeblikkelige : $\Delta t\højrepil 0$

{\vec {V}}\;=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}\;{\Bigg (}\langle {\vec {V}}_{o}\rangle +\langle { \vec {V'}}\rangle {\Bigg )}={\vec {V}}_{o}+{\vec {V'}}

eller kortere

{\vec V}\;={\vec V}_{o}+{\vec {V'}}

- for både gennemsnitlige og øjeblikkelige hastigheder (hastighedstillægsformel).

Således er hastigheden af et legeme i forhold til et fast koordinatsystem lig med vektorsummen af hastigheden af et legeme i forhold til et bevægeligt koordinatsystem og hastigheden af referencesystemet i forhold til et fast referencesystem.

(Tilsvarende kan man få en formel for transformation af accelerationer, når man bevæger sig fra et koordinatsystem til et andet, hvilket er korrekt, forudsat at systemernes bevægelse i forhold til hinanden er ensartet accelereret og translationel:) . ${\vec a}={\vec {a'}}+{\vec {a_{o}}}$

Galileiske transformationer i ikke-relativistisk kvantemekanik

Schrödinger-ligningen i ikke-relativistisk kvantemekanik er invariant under galileiske transformationer. En række vigtige konsekvenser følger af denne kendsgerning: eksistensen af en række kvantemekaniske operatører forbundet med galilæiske transformationer ( Schrödinger-gruppen ), umuligheden af at beskrive tilstande med et massespektrum eller ustabile elementarpartikler i ikke -relativistisk kvantemekanik (Bargmanns teorem ), eksistensen af kvantemekaniske invarianter genereret af galileiske transformationer [7] .

Noter

↑ Da de er rent kinematiske, er Galileos transformationer også anvendelige til ikke-inertielle referencerammer - men kun under betingelse af deres ensartede retlineære translationelle bevægelse i forhold til hinanden - hvilket begrænser deres betydning i sådanne tilfælde. Sammen med inertiale referencerammers privilegerede rolle fører dette faktum til, at Galileos transformationer i langt de fleste tilfælde diskuteres netop i forbindelse med sidstnævnte.
↑ Frank P./Sitz. Ber. Akad. Wiss. Wien.—1909.—Ila, Bd 118.—S. 373 (især s. 382).
↑ Fra den absolutte tid måtte fysikken generelt set opgives i begyndelsen af det 20. århundrede - for at bevare relativitetsprincippet i dets stærke formulering, hvilket indebærer kravet om, at alle fysikkens fundamentale ligninger skal skrives identisk i evt. (inertial; og senere blev relativitetsprincippet udvidet til ikke-inertialt) referencesystem.
↑ Af fundamental interesse set fra et fysiksynspunkt er det kun tilfældet, når koordinatakserne (hvis koordinatrepræsentationen overhovedet bruges; denne problemstilling kan anses for irrelevant for den symbolske vektorform for skrivning) af inertialsystemerne, mellem hvilke transformation udføres er rettet på samme måde. I princippet kan de rettes på forskellige måder, men transformationer af denne art er kun af teknisk interesse ud fra et fysisk synspunkt, da de er reduceret til sammensætningen af en transformation med codirectional akser, betragtet i denne artikel, og en fast (tidsuafhængig) rotation af koordinatakserne , der repræsenterer et rent geometrisk problem, desuden i princippet simpelt. Rotationen af akserne, som afhænger af tid, ville betyde rotationen af koordinatsystemerne i forhold til hinanden, og mindst en af dem kunne da ikke være inerti.
↑ Lyakhovsky V.D. , Bolokhov, A.A. Symmetrigrupper og elementarpartikler. - L., Leningrad State University , 1983. - s. elleve
↑ Lyakhovsky V.D. , Bolokhov, A.A. Symmetrigrupper og elementarpartikler. - L., Leningrad State University , 1983. - s. atten
↑ Kaempfer, 1967 , s. 390.

Litteratur

Kaempfer F. Grundlæggende om kvantemekanik. — M .: Mir, 1967. — 391 s.

Se også

Galileo Galilei
Biografi og videnskabelige resultater	Galilean Process • Galilean Clock Escapement • Galilean Satellites • Galilean Transformations • Undersøgelse af faldende legemer • Termoskop • Celatone • Galilean Paradox
Sager	Assayer • Dialog om de to hovedsystemer i verden • Sidereus Nuncius • Samtaler og matematiske beviser for to nye videnskaber
En familie	Vincenzo Galilei (far) • Michelangelo Galilei (bror) • Vincenzo Gamba (søn) • Maria Celesta (datter) • Marina Gamba (sambo)