Sturm-Liouville problem

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 1. april 2020; verifikation kræver 1 redigering .

Sturm-Liouville-problemet , opkaldt efter Jacques Charles Francois Sturm og Joseph Liouville , er at finde ikke-trivielle (dvs. forskellige fra det identiske nul) løsninger på intervallet af Sturm-Liouville-ligningen $(a,\;b)$

L[y]=\lambda \rho (x)y(x),

opfylder homogene grænse(grænse)betingelser

{\begin{array}{l}\alpha _{1}y'(a)+\beta _{1}y(a)=0,\qquad \alpha _{1}^{2}+\beta _ {1}^{2}\neq 0;\\\alpha _{2}y'(b)+\beta _{2}y(b)=0,\qquad \alpha _{2}^{2} +\beta _{2}^{2}\neq 0;\\\end{array}}

og værdier for den parameter , som sådanne løsninger findes for. $\lambda$

Operatoren her er en andenordens lineær differentialoperator, der virker på en funktion af formen $L[y]$ $y(x)$

L[y]\equiv {\frac {d}{dx}}\venstre[-p(x){\frac {dy}{dx}}\right]+q(x)y(x)

( Sturm-Liouville- operatør eller Schrödinger-operatør), er et rigtigt argument. $x$

Funktionerne antages at være kontinuerlige på , desuden er funktionerne positive på . $p(x),\;p'(x),\;q(x),\;\rho (x)$ $(a,\;b)$ $p(x),\;\rho (x)$ $(a,\;b)$

De ønskede ikke-trivielle løsninger kaldes egenfunktioner af dette problem, og de værdier , som en sådan løsning findes for, er dens egenværdier (hver egenværdi svarer til sin egen funktion). $\lambda$

Udtalelse af problemet

Ligningstype

Hvis funktionerne og er to gange kontinuerligt differentiable og positive på intervallet, og funktionen er kontinuert på , så Sturm–Liouville-ligningen for formen $\rho$ $s$ $[a,b]$ $q$ $[a,\;b]$

(p(x)y')'-q(x)y+\lambda \rho (x)y=0

ved at bruge Liouville-transformationen reduceres til formen [1] [2]

-y''+q_{1}(x)y=\lambda y.\qquad (1)

Derfor betragtes Sturm-Liouville-ligningen ofte i formen (1), funktionen kaldes potentialet [3] [4] . Sturm-Liouville-problemer med potentialer fra forskellige klasser af funktioner studeres: kontinuerlig , (som kan summeres) og andre. $q_{1}(x)$ $L$ $L_{2}$

Typer af grænsebetingelser

Dirichlet vilkår $y(a) = y(b) = 0.$
Neumann-forhold $y'(a) = y'(b) = 0$
Robin udtryk $y'(a) - hy(a) = 0, \quad y'(b) + H y(b) = 0.$
Blandede forhold: forhold af forskellige typer i forskellige ender af segmentet . $[a,\;b]$
Forfaldende randbetingelser af en generel form

\begin{array}{l} \alpha _1 y'(a) + \beta _1 y(a) = 0,\qquad \alpha^2_1+\beta^2_1 \ne 0; \\ \alpha _2 y'(b) + \beta _2 y(b) = 0,\qquad \alpha^2_2+\beta^2_2 \ne 0. \\ \end{array}

Periodiske forhold . $y(a) = y(b), \quad y'(a) = y'(b)$
Antiperiodiske forhold . $y(a) = -y(b), \quad y'(a) = -y'(b)$
Generelle randbetingelser

a_{i1}y(a)+a_{i2}y'(a)+a_{i3}y(b)+a_{i4}y'(b)=0,\quad i=1,\ ;2.

I sidstnævnte tilfælde pålægges koefficienterne sædvanligvis yderligere regelmæssighedsbetingelser . [3] [5] $a_{{ij}}$

For nemheds skyld oversættes et vilkårligt segment ofte til et segment eller ved hjælp af en ændring af variabel. $[a,\;b]$ $[0,\;l]$ $[0,\;\pi ]$

Sturm-Liouville operatør

L y = -\frac{1}{\rho(x)} \Bigl( \frac{d}{dx}\venstre[ p(x) \frac{d}{dx}y \right] - q(x ) og \Bigr)

er et specialtilfælde af en lineær differentialoperator [6]

p_{0}(x)y^{(n)}+p_{1}(x)y^{(n-1)}+\ldots +p_{n}(x)y.

Operatorens definitionsdomæne består af funktioner , der er to gange kontinuerligt differentierbare på intervallet og opfylder grænsebetingelserne for Sturm-Liouville-problemet. Sturm-Liouville-problemet kan således betragtes som et problem for operatørens egenværdier og egenfunktioner : . Hvis funktionerne og koefficienterne for grænsebetingelserne er reelle , så er operatøren selvadjoint i Hilbert-rummet . Derfor er dens egenværdier reelle, og egenfunktionerne er ortogonale med vægt . $L$ $[a,\;b]$ $y$ $L$ $L y = \lambda y$ $p,\ q,\ \rho$ $L$ $L_{2}([a,\;b],\;\rho (x)\,dx)$ $\rho(x)$

Løsning af problemet

Eksempel

Løsning af Sturm-Liouville-problemet med nul potentiale:

-y''=\lambda y,\qquad (2)

y(0)=y(l)=0

kan findes eksplicit [7] . Lad . Den generelle løsning af ligning (2) for hver fast har formen $\lambda = \rho^2$ $\lambda$

y(x)=A{\frac {\sin \rho x}{\rho }}+B\cos \rho x\qquad (3)

(især når (3) giver ). Fra følger . Ved at indsætte (3) i grænsebetingelsen får vi . Da vi leder efter ikke-trivielle løsninger, så kommer vi frem til en egenværdiligning $\rho=0$ $y(x) = Ax + B$ $y(0) = 0$ $B=0$ $y(l) = 0$ $A{\frac {\sin \rho l}{\rho }}=0$ $En \ne 0$

{\frac {\sin \rho l}{\rho }}=0.

Dens rødder er derfor de ønskede egenværdier af formen $\rho_n = \frac{\pi n}{l}$

\lambda _{n}=\left({\frac {\pi n}{l}}\right)^{2},\quad n=1,\;2,\;3,\;\ ldots

og deres tilsvarende egenfunktioner er

y_{n}(x)=\sin {\frac {\pi n}{l}}x,\quad n=1,\;2,\;3,\;\ldots

(op til en konstant faktor).

Generel sag

Generelt enhver løsning af Sturm-Liouville-ligningen

-y'' + q(x)y = \lambda y \qquad (4)

repræsenteres som en lineær kombination

y(x)=AS(x,\;\lambda )+BC(x,\;\lambda )\qquad (5)

dens løsninger og opfylder de oprindelige betingelser $S(x,\;\lambda )$ $C(x,\;\lambda )$

S(0,\;\lambda )=C'(0,\;\lambda )=0,\quad S'(0,\;\lambda )=C(0,\;\lambda )=1

Løsninger og danner et grundlæggende system af løsninger til ligning (4) og er hele funktioner af med hensyn til hver fast . (For , , ). Ved at indsætte (5) i randbetingelserne får vi, at egenværdierne falder sammen med den karakteristiske funktions nuller $S(x,\;\lambda )$ $C(x,\;\lambda )$ $\lambda$ $x$ $q(x) \ækvivalent 0$ $S(x,\;\lambda )=\sin \rho x$ $C(x,\;\lambda )=\cos \rho x$ $\rho = \sqrt \lambda$ $y(0) = y(\pi) = 0$

\Delta (\lambda )=S(\pi ,\;\lambda ),

analytisk i hele -planet. [fire] $\lambda$

I det generelle tilfælde kan egenværdier og egenfunktioner ikke findes eksplicit, men der er opnået asymptotiske formler for dem:

\sqrt \lambda_n = n + \frac{c}{n} + O\venstre(\frac{1}{n^2}\right), \quad c = \frac{1}{2\pi} \int_0 ^{\pi} q(\tau) \, d \tau,

y_{n}(x)=\sin nx+O\left({\frac {1}{n^{2))}\right),

(i tilfælde af kontinuerlig på potentialet ). [8] For store er egenværdierne og egenfunktionerne tæt på egenværdierne og egenfunktionerne af problemet fra eksemplet med nulpotentiale. $[0,\;\pi ]$ $q(x)$ $n$

Egenskaber for egenværdier og egenfunktioner

Der er et uendeligt tælleligt sæt af egenværdier: $\lambda _{1}<\lambda _{2}<\ldots <\lambda _{n}<\ldots$
Hver egenværdi svarer til en unik egenfunktion op til en konstant faktor . $\lambda_n$ $y_{n}$
Alle egenværdier er reelle .
I tilfælde af randbetingelser og når betingelsen er opfyldt, er alle egenværdier positive . $y(a)=y(b)=0$ $q(x)\geqslant 0$ $\lambda _{n}>0$
Egenfunktionerne danner et ortogonalt system med vægt : $y_{n}(x)$ $[a,\;b]$ $\rho (x)$ $\{y_{n}(x)\}$

\int \limits _{a}^{b}y_{n}(x)y_{m}(x)\rho (x)\,dx=0,\quad n\neq m.

Steklovs sætning gælder .

Numeriske metoder til løsning

skydemetode . For at løse Sturm-Liouville-problemet med Dirichlet-grænsebetingelser , kan vi tage Cauchy-problemet med startbetingelser for den indledende ligning og justere parameteren, indtil den rigtige grænsebetingelse er opfyldt. [9] $y(a) = y(b) = 0$ $u(a) = 0$ $u'(a) = 1$ $\lambda$
Endelig forskelsmetode [10] [11] . Der er konstrueret en tilnærmelse med finit-differens , som gør det muligt at erstatte Sturm-Liouville-problemet med problemet med at finde egenværdierne af matricen.
Augmented vektor metode. Forskellens egenfunktion suppleres af komponenten . I forhold til den forstærkede vektor opnås et ikke-lineært system , der kan løses ved Newtons metode . [12] ${\displaystyle y=\{y_{0},\;y_{1},\;\ldots ,\;y_{N}\))$ $y_{N + 1} = \lambda$
Galerkins metode . [13]
Variationsmetoder . [fjorten]

Anvendelse til løsning af partielle differentialligninger

Sturm-Liouville-problemer opstår, når man løser partielle differentialligninger ved hjælp af metoden til adskillelse af variabler .

Som et eksempel kan du overveje grænseværdiproblemet for en ligning af hyperbolsk type :

\rho (x)u_{tt}=(k(x)u_{x})_{x}-q(x)u,\quad 0<x<l,\;t>0,\qquad (6)

(h_1 u_x - hu)_{|x = 0} = 0, \quad (H_1 u_x + H u)_{|x = l} = 0, \qquad (7)

u_{|t = 0} = \Phi(x), \quad u_{t|t = 0} = \Psi(x). \qquad (8)

Her og er uafhængige variable , er en ukendt funktion, , , , , er kendte funktioner og er reelle tal . [15] Vi vil lede efter delløsninger af ligning (6), der ikke er identisk nul og opfylder grænsebetingelserne (7) i formen $x$ $t$ $u(x,\;t)$ $\rho$ $k$ $q$ $\Phi$ $\psi$ ${\displaystyle h,\ h_{1},\ H,\ H_{1))$

u(x,t)=Y(x)T(t).\qquad (9)

Substitution af formen (9) i ligning (6) giver

\frac{(k(x)Y'(x))' - q(x)Y(x)}{\rho(x) Y(x)} = \frac{T''(t)}{T( t)}.

Da og er uafhængige variable, er lighed kun mulig, hvis begge fraktioner er lig med en konstant. Lad os betegne denne konstant med . Vi får $x$ $t$ $-\lambda$

T''(t) + \lambda T(t) = 0, \qquad(10)

-(k(x)Y'(x))' + q(x) Y(x) = \lambda \rho(x) Y(x), \quad 0 < x < l. \qquad (11)

Substitution af formen (9) i grænsebetingelserne (7) giver

h_1 Y'(0) - h Y(0) = 0, \quad H_1 Y'(l) + HY(l) = 0. \qquad (12)

Ikke-trivielle løsninger (6) - (7) af formen (9) eksisterer kun for værdier , der er egenværdier af Sturm - Liouville-problemet (11) - (12) . Disse løsninger har formen , hvor er egenfunktionerne af problem (11)–(12) og er løsningerne af Eq . Løsningen af problem (6) - (8) er i form af en sum af bestemte løsninger ( Fourier-rækker i form af egenfunktioner af Sturm - Liouville-problemet ): $\lambda$ $\lambda_n$ $T_n(t) Y_n(x)$ $Y_n(x)$ $T_n(t)$ $\lambda = \lambda_n$ $Y_n(x)$

u(x, t) = \sum_{n = 1}^{\infty} T_n(t) Y_n(x).

Omvendte Sturm-Liouville problemer

De omvendte Sturm-Liouville-problemer består i at genoprette potentialet for Sturm-Liouville-operatøren og koefficienterne for grænsebetingelserne fra de spektrale karakteristika. [8] [3] [4] Omvendte Sturm-Liouville-problemer og deres generaliseringer har anvendelser inden for mekanik , fysik , elektronik , geofysik , meteorologi og andre områder inden for naturvidenskab og teknologi. Der er en vigtig metode til at integrere ikke-lineære evolutionsligninger (for eksempel KdV-ligningen ) forbundet med brugen af det inverse Sturm-Liouville-problem på ( )-aksen. $q(x)$ $-y'' + q(x)y$ $-\infty < x < \infty$

Som regel er ét spektrum (et sæt egenværdier) ikke nok til entydigt at gendanne en operator. Derfor bruges de følgende spektrale karakteristika normalt som de indledende data for det omvendte problem:

To spektre svarende til forskellige randbetingelser (Borgs problemstilling).
Spektraldata inklusive egenværdier og vægttal svarende til kvadrerede normer for $L_{2}$ egenfunktioner i .
Weyl- funktionen er en meromorf funktion svarende til forholdet mellem to karakteristiske funktioner af forskellige grænseværdiproblemer.

Hvert af datasættene 1-3 definerer entydigt potentialet . Derudover svarer specificering af Weyl-funktionen til at specificere to spektre eller spektrale data, så omvendte problemer på data 1-3 er ækvivalente. Der er konstruktive metoder til at løse inverse Sturm-Liouville-problemer baseret på reduktion af ikke-lineære inverse problemer til lineære ligninger i visse Banach-rum . [fire] $q(x)$

Se også

Noter

↑ Levitan, Sargsyan, 1988 , s. ti.
↑ Yurko, 2010 , s. 45.
↑ 1 2 3 Marchenko, 1977 .
↑ 1 2 3 4 Yurko, 2007 .
↑ Naimark, 1969 , s. 72.
↑ Naimark, 1969 .
↑ Yurko, 2010 , s. 25.
↑ 1 2 Levitan, Sargsyan, 1988 .
↑ Kalitkin, 1978 , s. 281.
↑ Kalitkin, 1978 , s. 284.
↑ Bakhvalov N. S., Zhidkov N. P., Kobelkov G. M. Numeriske metoder. - Binom, 2008. - ISBN 978-5-94774-815-4 .
↑ Kalitkin, 1978 , s. 286.
↑ Kalitkin, 1978 , s. 287.
↑ Gelfand I. M., Fomin S. V. Variationsregning. - 1961.
↑ Yurko, 2010 , s. tredive.

Litteratur

Levitan B. M. , Sargsyan I. S. Sturm-Liouville og Dirac-operatører. - M . : Videnskab. Ch. udg. Fysisk.-Matematik. lit., 1988. - 432 s. — ISBN 5-02-013751-0 .
Marchenko V. A. Sturm-Liouville operatører og deres applikationer. - Kiev: Naukova Dumka, 1977.
Akhtyamov A. M. , Sadovnichy V. A. , Sultanaev Ya. T. Inverse Sturm-Liouville-problemer med ikke-henfaldende randbetingelser. - M. : Publishing House of Moscow University, 2009. - 184 s. - ISBN 978-5-211-05557-5 .
Yurko VA Ligninger af matematisk fysik. - Saratov, 2010.
Yurko VA Introduktion til teorien om inverse spektrale problemer. - M. : Fizmatlit, 2007. - 384 s. — ISBN 978-5-9221-07 .
Naimark M. A. Lineære differentialoperatorer. - M . : Nauka, 1969.
Kalitkin N. N. Numeriske metoder. — M .: Nauka, 1978.

Matematisk fysik

Typer af ligninger

Grænsebetingelser

Matematisk fysiks ligninger

Diffusion og konvektion	Varme ligning Diffusionsligning Mason-Weaver ligning
Hydrodynamik	Overførselsligning Navier-Stokes ligninger Euler ligning Gromeka-lam ligning Vortex ligning Burgers ligning Lavt vand ligninger Korteweg-de Vries ligning
Elektromagnetisme	Maxwells ligninger Helmholtz ligning Landau-Lifshitz ligning Screenet Poisson-ligning
Kvantemekanik	Schrödinger ligning Heisenberg ligning Rarita-Schwinger ligning Hartrees ligning Dirac ligning Klein-Gordon ligning
Generelle modeller	Kontinuitetsligning bølgeligning Fokker-Planck ligning Poisson ligning

Løsningsmetoder

Metoder til løsning af differentialligninger

Gittermetoder

Finite element metoder	Finite element metode Galerkin metode Diskontinuerlig Galerkin-metode Flerskala Finite Element-metode Multigrid metode
Andre metoder	Endelig forskelsmetode Endeligt volumen metode Godunovs metode Grænseelementmetode

Ikke-grid metoder

Studie af ligninger

relaterede emner