Kompleks amplitude

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 21. september 2015; checks kræver 2 redigeringer .

Kompleks amplitude (phasor) er en kompleks værdi , hvis modul og argument er lig med henholdsvis amplituden og den indledende fase af det harmoniske signal .

Definition

Lad der være et harmonisk signal:

$a(t)=A\cos \venstre(\omega t+\phi \right)$

Det er algebraisk ubelejligt at udføre sådanne aritmetiske operationer på signaler skrevet i en sådan form, såsom at tilføje to signaler, trække et andet signal fra et signal. For at lette disse operationer er harmoniske signaler repræsenteret som et komplekst tal, hvis modul er lig med amplituden af signalet, og argumentet er fasen af signalet. I dette tilfælde er det oprindelige signal a(t) lig med den reelle del af det givne komplekse tal b(t):

$a(t) = \Re(b(t))$ ,

hvor $b(t) = A e^{i( \omega t + \phi )} = A e^{i\phi} e^{i \omega t} = \hat A e^{i \omega t}$

her er den komplekse amplitude af det harmoniske signal følgende udtryk:

${\hat A}=Ae^{{i\phi ))$

Fysisk betydning

Algebraisk form

Hvis vi betragter den komplekse amplitude som et komplekst tal i algebraisk form, så svarer den reelle del til amplituden af cosinus (i-fase) komponenten, og den imaginære del svarer til amplituden af sinus (kvadratur) komponenten af originalen signal. Så for signal (1) har vi: $a(t)=\Re ({\hat A})\cos(\omega t)-\Im ({\hat A})\sin(\omega t)$

hvor $\Re ({\hat A})=A\cos(\phi),\quad \Im ({\hat A})=A\sin(\phi)$

Trigonometrisk form

Hvis vi betragter den komplekse amplitude som et komplekst tal i trigonometrisk form, så svarer modulet til amplituden af det oprindelige harmoniske signal, og argumentet svarer til faseforskydningen af det oprindelige harmoniske signal i forhold til signalet . $\cos {(\omega t)}$

Operationer på kompleks amplitude

Lineære operationer kan anvendes på signaler i rummet med komplekse amplituder. Med andre ord, følgende operationer på komplekse amplituder:

multiplikation af den komplekse amplitude med en konstant
tilføjelse af komplekse amplituder (svarende til samme frekvens)
subtraktion af komplekse amplituder (svarende til samme frekvens)
integration af den komplekse amplitude over tid
differentiering af kompleks amplitude med hensyn til tid

føre til det samme resultat, som hvis de blev udført på de tilsvarende harmoniske signaler, og så tages den komplekse amplitude fra dem.

Begrænsninger

Selvom udtrykket for den komplekse amplitude ikke inkluderer frekvensen ω af det harmoniske signal, skal det huskes, at den komplekse amplitude beskriver et harmonisk signal med en specifik frekvens . Derfor, i rummet med komplekse amplituder, er operationer uacceptable, at:

tage komplekse amplituder som operander, der beskriver harmoniske signaler af forskellige frekvenser.
ændre frekvensen af et harmonisk signal eller generere nye frekvenser (alle ikke-lineære operationer, såsom multiplikation af to signaler).

Ansøgning

Kompleks amplitude er en komplet og meget bekvem måde at beskrive harmoniske signaler på, fordi:

Karakteriserer både amplitude og fase
Indeholder ikke tidsafhængighed
Tillader brug af vektordiagrammer til analyse af AC-kredsløb

Brugen af komplekse amplituder og impedanser gør det muligt at reducere problemet med passagen af et harmonisk signal gennem et lineært kredsløb (beskrevet af et system af differentialligninger ) til et enklere problem svarende til at analysere et kredsløb af DC - modstande ( beskrevet af en system af algebraiske ligninger ).