Grøns funktion

Den grønne funktion er en funktion, der bruges til at løse lineære ikke-homogene differentialligninger med randbetingelser (ikke-homogent grænseværdiproblem ). Opkaldt efter den engelske matematiker George Green , som først udviklede teorien i 1830'erne.

Greens funktioner er nyttige i elektrostatik - til at løse Poissons ligning ; i teorien om kondenseret stof giver de mulighed for at løse diffusionsligningen (og varmeligningen, der falder sammen med den); i kvantemekanik er den grønnes funktion af Hamiltonian en af nøglefunktionerne og er relateret til tætheden af tilstande. Den grønnes funktioner, der bruges i disse områder, er meget ens, da diffusionsligningerne og Schrödinger-ligningen ligner hinanden i en eller anden forstand. Alle områder af matematisk og teoretisk fysik , hvor Greens funktioner er ekstremt nyttige, er måske endda svære at opregne. De hjælper med at finde stationære og ikke-stationære løsninger, herunder under forskellige randforhold.

I partikelfysik og statistisk fysik bruges Greens funktioner som propagatorer i Feynman-diagrammer (og udtrykket "Greens funktion" anvendes ofte generelt på korrelationsfunktionen i kvantefeltteori ). Den grønne funktion er meget brugt i anvendelser af spredningsteori til faststoffysik ( røntgendiffraktion , beregninger af de elektroniske spektre af metalliske materialer).

Definition og brug

Den grønnes funktion af en lineær differentialoperator, der virker på generaliserede funktioner på en delmængde af det euklidiske rum i et punkt, er enhver løsning af ligningen $G(x,s)$ $L=L(x)$ $\mathbb {R} ^{n}$ $s$

L~G(x,s)=\delta(xs)

hvor er Dirac delta-funktionen . Denne egenskab af den grønne funktion kan bruges til at løse en differentialligning af formen $\\delta$

L~u(x)=f(x)

Den grønne funktion er en omvendt operator til , så den betegnes ofte symbolsk som . $L$ $L^{{-1}}$

Hvis kernen af operatoren er ikke-triviel, så er den grønnes funktion ikke unik. Men i praksis gør brugen af symmetriprincippet, randbetingelser eller andre yderligere forhold det muligt at bestemme en specifik Greens funktion. Generelt set er den grønne funktion ikke en almindelig, men en generaliseret funktion , det vil sige, den kan falde uden for klassen af almindelige funktioner, for eksempel have træk i form af en deltafunktion eller dens afledte. $L$

Greenens funktion er også et nyttigt værktøj til at løse bølgeligningen, diffusionsligningen og kvantemekaniske ligninger, hvor Greenens funktion af Hamilton-operatoren spiller en afgørende rolle og er relateret til tætheden af tilstande . I fysik er den grønnes funktion normalt defineret med det modsatte fortegn:

L~G(x,s)=-\delta (xs)

som ikke ændrer dens egenskaber væsentligt.

Hvis operatoren er translationelt invariant , dvs. hvis den har konstante koefficienter i forhold til , så kan den grønnes funktion vælges som en foldningsoperator $L$ $x$

G(x,s)=G(xs)

I dette tilfælde falder det sammen med impulsovergangsfunktionen fra teorien om lineære stationære systemer .

Bemærk

Nogle gange, når en inhomogen ligning indeholder en konstant koefficient på højre side, det vil sige, at den har formen $Lf=\kappa h$ $g(x,s)$

Lf_{1}(x)=\kappa \,\delta (xs)

I dette tilfælde skrives løsningen af den oprindelige inhomogene ligning med en vilkårlig funktion på højre side som $Lf=\kappa h$ $h$

f(x)=\int {\kappa \,h(s)\,g(x,s)\,ds}

↑ Det er klart, at forskellen i definitionen af den grønne funktion beskrevet i dette afsnit fra den, der er givet i artiklen ovenfor, ikke vedrører sagens essens, men kun den foretrukne notationsform

Greens funktion af Sturm-Liouville-operatoren (endimensionelt tilfælde)

Udtalelse af problemet

Lad være Sturm - Liouville - operatoren, en lineær differentialoperator af formen: $L$

L={d \over dx}\venstre[p(x){d \over dx}\right]-q(x)

og lad være grænsebetingelsesoperatoren: $D$

Du={\begin{pmatrix}\alpha _{1}u^{\prime }(0)+\beta _{1}u(0)\\\alpha _{2}u^{\prime }(l)+\beta _{2}u(l).\end{pmatrix}}

Greens sætning

Lade være en kontinuerlig funktion på intervallet . Lad os også antage, at opgaven $f(x)$ $[0,\;l]$

{\begin{matrix}Lu=f,\\Du=0\end{matrix}}

er regulær, det vil sige, at der kun er en triviel løsning på det homogene problem.

Så er der en unik løsning, der tilfredsstiller systemet $u(x)$

{\begin{matrix}Lu=f,\\Du=0,\end{matrix}}

som er givet af udtrykket

u(x)=\int \limits _{0}^{l}f(s)g(x,\;s)\,ds

hvor er den grønnes funktion, der opfylder følgende krav (de er også egenskaber ved den grønnes funktion): $g(x,\;s)$

$g(x,\;s)$ løbende i og . $x$ $s$
For ,. _ $x\neq s$ $Lg(x,\;s)=0$
For ,. _ $s\neq 0,\;l$ $Dg(x,\;s)=0$
Afledt spring :. $g^{\prime }(s_{{+0)),\;s)-g^{\prime }(s_{{-0)),\;s)=1/p(s)$
Symmetrisk: . $g(x,\;s)=g(s,\;x)$

Find den grønne funktion

Som en serie gennem operatoregenfunktioner

Hvis mængden af egenvektorer ( egenfunktioner ) af en differentialoperator $\Psi _{n}$ $L\$

(det vil sige et sæt af sådanne funktioner , at der for hver er et tal , der ) $\Psi _{n}(x)$ $\lambda _{n}\neq 0$ ${\displaystyle L\Psi _{n}=\lambda _{n}\Psi _{n))$

er færdig, så kan man konstruere Greenens funktion ved hjælp af egenvektorerne og egenværdierne . $\Psi _{n}$ $\lambda_n$

Fuldstændigheden af funktionssystemet betyder opfyldelsen af relationen $\Psi _{n}(x)$

\delta (xx^{\prime })=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}(x){\overline {\Psi}}_{n}(x ^{\prime })

Det kan man vise

{\displaystyle G(x,\;x^{\prime })=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Psi _{n}(x){\overline {\Psi } }_{n}(x^{\prime })}{\lambda _{n))))

Faktisk, hvis vi handler på denne sum som en operator, opnår vi en deltafunktion (på grund af fuldstændighedsrelationen). $L$

(Overlinien, , betegner kompleks konjugation ; hvis det er reelle funktioner , kan den udelades). ${\overline {\Psi ))$ $\Psi _{n}$

For parabolske ligninger

Varmeligningen , Schrödinger-ligningen og diffusionsligningerne kan repræsenteres som en partiel differentialligning :

$H\psi (x,\beta )=-{\frac {\partial \psi (x,\beta )}{\partial \beta ))$

(en)

hvor er den hermitiske operator , er de rumlige koordinater $H$ $x={\mathcal {f}}x_{{1}},x_{{2}},...,x_{{n}}{\mathcal {g}}$

for varmeligningen $\Delta T={\frac {c}{k}}{\frac {\partial T}{\partial t}}$

$T$ - temperatur ,. $\beta ={\frac {k}{c}}t$

for Schrödinger-ligningen $H\psi =-{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}$

$\psi$ er bølgefunktionen ,. _ $\beta ={\frac {\hbar i}{2m}}t$

for diffusionsligningen $\nabla ^{{2}}\psi ={\frac {1}{\lambda }}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}$

$\psi$ er koncentrationen af stoffet ,. $\beta =\lambda t$

Operatorens egenfunktioner danner et komplet ortonormalt system og opfylder ligningen $\varphi _{{m}}$ $H$

H\varphi _{{m}}=\lambda _{{m}}\varphi _{{m}}

Lad os antage, at løsningen af ligning (1) kan repræsenteres som:

$\psi (x,\beta )=\sum _{{m=0}}^{{\infty }}A_{{m}}(\beta )\varphi _{{m}}(x)$

(2)

Ved at indsætte den foreslåede løsningsform i ligning (1) får vi:

H\psi =\sum _{{m=0}}^{{\infty }}A_{{m}}(\beta )H\varphi _{{m}}(x)=-\sum _{{ m=0}}^{{\infty }}\varphi _{{m}}(x){\frac {\partial }{\partial \beta }}A_{{m}}(\beta)

På denne måde:

\sum _{{m=0}}^{{\infty }}[\lambda _{{m}}A_{{m}}(\beta )+{\frac {\partial }{\partial \beta } }A_{{m}}(\beta )]\varphi _{{m}}(x)=0

Denne ligning skal holde for alle m. Vi får ligningen:

-\lambda _{{m}}A_{{m}}(\beta )={\frac {\partial A_{{m}}(\beta )}{\partial \beta }}

hvor

A_{{m}}(\beta )=A_{{m}}(0)e^{{-\lambda _{{m}}\beta }}

Derfor kan løsningen af den oprindelige ligning (1) repræsenteres som:

\psi (x,\beta )=\sum _{{m=0}}^{{\infty }}A_{{m}}(0)e^{{-\lambda _{{m}}\beta }}\varphi _{{m}}(x)

I betragtning af serie (2) ensartet konvergent, kan vi konstatere, at:

A_{{m}}(\beta )=\int \varphi _{{m}}^{{*}}(x)\psi (x,\beta )d\tau

hvor er volumenelementet. $d\tau =dx_{{1}}dx_{{2}}...dx_{{n}}$

Fra denne formel følger:

A_{{m}}(0)=\int \varphi _{{m}}^{{*}}(x)\psi (x,0)d\tau

Så hvis den oprindelige tilstand er givet, så

\psi (x,\beta )=\sum _{{m=0}}^({\infty }}\int \psi (x',0)\varphi _{{m}}^{{*}} (x')\varphi _{{m}}(x)e^{{-\lambda _{{m}}\beta }}d\tau '

Denne ligning kan skrives i en mere bekvem form:

\psi (x,\beta )=\int \langle x|G(\beta )|x'\rangle \psi (x',0)d\tau '

hvor:

\langle x|G(\beta )|x'\rangle =\sum _{{m=0}}^({\infty }}\varphi _{{m}}^{{*}}(x') \varphi _{{m}}(x)e^{{-\lambda _{{m}}\beta }}

Dette udtryk kaldes den grønnes funktion for ligning (1).

Greens funktion for Laplacian

Greenens funktion for Laplacianen kan udledes af Greens sætning .

For at opnå Greens sætning, lad os starte med Gauss lov :

\int \limits _{V}\nabla \cdot {\hat A}\ dV=\int \limits _{S}{\hat A}\cdot d{\hat \sigma }

Vi accepterer og erstatter Gauss' lov. Lad os beregne og anvende kædereglen for operatøren : $A=\varphi \nabla \psi -\psi \nabla \varphi$ $\nabla \cdot {\hat A}$ $\nabla$

\nabla \cdot {\hat A}=\nabla \cdot (\varphi \nabla \psi -\psi \nabla \varphi )=

=(\nabla \varphi )\cdot (\nabla \psi )+\varphi \nabla ^{2}\psi -(\nabla \varphi )\cdot (\nabla \psi )-\psi \nabla ^{2} \varphi =\varphi \nabla ^{2}\psi -\psi \nabla ^{2}\varphi

Ved at indsætte resultatet i Gauss' sætning får vi Green's sætning:

\int \limits _{V}(\varphi \nabla ^{2}\psi -\psi \nabla ^{2}\varphi )\ dV=\int \limits _{S}(\varphi \nabla \psi - \psi \nabla \varphi )\cdot d{\hat \sigma }

Forudsat at vores lineære differentialoperator er Laplacian , , og at vi har den grønne funktion for det . Definitionen af den grønnes funktion i dette tilfælde kan skrives som: $L$ $\nabla ^{2}$ $G$

LG(x,\;x^{\prime })=\nabla ^{2}G(x,\;x^{\prime })=\delta (xx^{\prime })

Vi indsætter Greens sætning. Så får vi: $\psi=G$

\int \limits _{V}(\varphi (x^{\prime })\delta (xx^{\prime })-G(x,\;x^{\prime })\nabla ^{2}\ varphi (x^{\prime }))\ d^{3}x^{\prime }=

=\int \limits _{S}(\varphi (x^{\prime })\nabla ^{\prime }G(x,\;x^{\prime })-G(x,\;x^{ \prime })\nabla ^{\prime }\varphi (x^{\prime }))\cdot d{\hat \sigma }^{\prime }

Ved hjælp af udtrykket kan vi løse Laplace-ligningen ( ) og Poisson-ligningen ( ) med Neumann- eller Dirichlet-grænsebetingelser. Med andre ord kan vi finde en løsning overalt inden for et givet domæne, hvis (1) en værdi er givet ved grænsen af dette domæne ( Dirichlet grænsebetingelser ), eller (2) den normale afledede er givet ved grænsen af dette domæne ( Neumann grænsebetingelser). $\nabla ^{2}\varphi (x)=0$ $\nabla ^{2}\varphi (x)=-4\pi \rho (x)$ $\varphi(x)$ $\varphi(x)$ $\varphi(x)$

Lad os være interesserede i løsningen inden for domænet. I dette tilfælde forenkles integralet til på grund af deltafunktionens hovedegenskab , og vi har: $\varphi(x)$ $\int \limits _{V}\varphi (x^{\prime })\delta (xx^{\prime })\ d^{3}x^{\prime }$ $\varphi(x)$

\varphi (x)=\int \limits _{V}G(x,\;x^{\prime })\rho (x^{\prime })\ d^{3}x^{\prime }+ \int \limits _{S}(\varphi (x^{\prime })\nabla ^{\prime }G(x,\;x^{\prime })-G(x,\;x^{\ prime })\nabla ^{\prime }\varphi (x^{\prime }))\cdot d{\hat \sigma }^{\prime }

Denne formel udtrykker den velkendte egenskab ved harmoniske funktioner , som består i, at hvis værdien af den normale afledte ved grænsen af regionen er kendt, så er alle værdier af funktionen i ethvert indre punkt i denne region også kendt.

I elektrostatik forstås det som det elektrostatiske potentiale , som den elektriske ladningstæthed , og den normale afledte som den normale komponent af det elektriske felt. $\varphi(x)$ $\rho (x)$ $\nabla \varphi (x^{\prime })\cdot d{\hat \sigma }^{\prime }$

Ved løsning af Dirichlet- grænseværdiproblemet vælges den grønnes funktion i formen . Denne funktion forsvinder, når eller er ved grænsefladen; og omvendt, når man løser Neumann-grænseværdiproblemet, bør man vælge den grønnes funktion, så dens normalafledte forsvinder på overfladen. Der er således kun et af de to udtryk tilbage i integralet over overfladen. $G(x,\;x^{\primtal })$ $x$ $x^\prime$

I mangel af grænsebetingelser har den grønnes funktion for Laplacian formen:

G({\hat x},\;{\hat x}^{\prime })={\frac {1}{\left|{\hat x}-{\hat x}^{\prime }\right |}}

I betragtning af at grænsefladen er uendelig stor og erstatter den grønne funktion i dette udtryk, vil vi nå frem til et lignende udtryk for det elektriske potentiale i form af den elektriske ladningstæthed .

\varphi (x)=\int \limits _{V}{\frac {\rho (x^{\prime })}{\left|{\hat x}-{\hat x}^{\prime }\ højre|}}\ d^{3}x^{\prime }

Eksempel

(Dette eksempel tjener som en illustration til afsnittet Greens funktion af Sturm-Liouville-operatoren (endimensionelt tilfælde) , og de overvejelser, der er beskrevet her, illustrerer sætningens punkter fra det tilsvarende afsnit, hvis referencer er til stede i teksten nedenfor).

Fået en opgave

{\begin{matrix}Lu\end{matrix}}=u^{{\prime \prime }}+u=f(x)

;

u(0)=0,\quad u\left({\frac {\pi }{2}}\right)=0

Find den grønne funktion.

Første trin: Den Grønnes funktion i dette tilfælde skal per definition være en løsning på ligningen $g(x,s)$

$g^{{\prime \prime }}+g=\delta (xs)$

(3)

hvor to streger angiver den anden afledede med hensyn til . $x$

For , hvor -funktionen er lig med nul, reduceres denne ligning til en homogen (punkt 2 i den nævnte sætning): $x\neq s$ $\delta$

g^{{\prime \prime }}+g=0

det vil sige, for alle punkter undtagen , vil den grønne funktion være løsningen af en sådan homogen ligning. $s$

Den generelle løsning af en sådan ligning

g=A\cos x+B\sin x

hvor og er konstanter (afhænger ikke af ). $EN$ $B$ $x$

Den skal altså have præcis denne form overalt, bortset fra punktet , desuden til venstre og højre for den kan (og vil) koefficienterne og have forskellige værdier. $g(x,s)$ $s$ $EN$ $B$

Vi pålægger Grønnes funktion grænsebetingelser, der falder sammen med den oprindelige opgaves grænsebetingelser (punkt 3 i sætningen nævnt i den indledende bemærkning). Greenens funktion med randbetingelser pålagt på denne måde er praktisk, fordi løsningerne konstrueret ved at summere eller integrere sådanne Greens funktioner automatisk vil opfylde disse randbetingelser.

Fra venstre grænsebetingelse: - pålagt den grønnes funktion, ser vi, at for den generelle løsning skal koefficienten være nul, dvs. $u(0)=0$ $x<s$ $EN$ $x<s$

g(x,\;s)=B\cdot \sin x

På samme måde, fra den højre randbetingelse: - får vi koefficienten lig med nul , dvs. $u\left({\frac {\pi }{2}}\right)=0$ $B$ $x>s$

g(x,\;s)=A\cdot \cos x

Som et resultat, under hensyntagen til, at koefficienterne og generelt kan afhænge af , kan vi skrive: $EN$ $B$ $s$

g(x,\;s)=\venstre\{{\begin{matrix}B(s)\sin x,\;\;x<s\\A(s)\cos x,\;\;s< x\end{matrix}}\right.

Andet trin:

Vi skal definere og . $A(s)$ $B(s)$

Ved at integrere to gange venstre og højre side af ligning (3) med deltafunktionen på højre side, ser vi, at Greenens funktion skal være kontinuert (punkt 1 i den nævnte sætning), og dermed betingelsen for at matche løsningen og : $x<s$ $x>s$

B(s)\sin s=A(s)\cos s

Efter at have integreret venstre og højre del af den samme ligning fra til opnår vi betingelsen for springet af den første afledede (punkt 4 i sætningen), og bruger den, får vi: $x=s-\varepsilon$ $x=s+\varepsilon$

$g'(s_{{+0}},s)-g'(s_{{-0}},s)=-A(s)\cdot \sin sB(s)\cdot \cos s=1$ .

Ved at bruge Cramers regel, eller blot gætte løsningen til systemet af disse to ligninger, får vi det

$A(s)=-\sin s;\quad B(s)=-\cos s$ .

Disse udtryk opfylder betingelsen for punkt 5 i sætningen.

Så den grønnes funktion af problemet:

g(x,\;s)=\venstre\{{\begin{matrix}-1\cdot \cos s\cdot \sin x,\;\;x<s\\-1\cdot \sin s\cdot \cos x,\;\;s<x\end{matrix}}\right.

som kan skrives som

g(x,\;s)={\frac 12}\venstre(\sin \venstre|xs\højre|-\sin(x+s)\højre).

Tabel med Greens funktioner

Denne tabel viser Greens funktioner for almindeligt forekommende differentialoperatorer, hvor , , er Heaviside-funktionen , er Bessel-funktionen , er den modificerede Bessel-funktion af den første type og er den modificerede Bessel-funktion af den anden type . [2] Hvor tid ( t ) vises i den første kolonne, og årsagssammenhængen Greens funktioner vises . ${\displaystyle \textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2))))$ ${\displaystyle \textstyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2))))$ $\textstyle \Theta (t)$ $\textstyle J_{\nu}(z)$ $\textstyle I_{\nu}(z)$ $\textstyle K_{\nu}(z)$ $G^{A}$

Differentialoperatør L	Greens funktion G	Eksempel på applikation
${\displaystyle \partial _{t}^{n+1))$	${\frac {t^{n}}{n!}}\Theta (t)$
$\partial _{t}+\gamma$	${\displaystyle \Theta (t)\mathrm {e} ^{-\gamma t))$
$\left(\partial _{t}+\gamma \right)^{2}$	${\displaystyle \Theta (t)t\mathrm {e} ^{-\gamma t))$
${\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}+\omega _{0}^{2))$	$\Theta (t)\mathrm {e} ^{-\gamma t}~{\frac {\sin(\omega t)}{\omega }}$ , ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2))))$	Harmonisk oscillator
$\Delta _{\text{2D}}=\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}$	${\frac {1}{2\pi }}\ln \rho$ , ${\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2))))$	Poisson ligning
$\Delta _{\text{3D}}=\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}+\partial _{z}^{2}$	${\frac {-1}{4\pi r))$ , ${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2))))$	Poisson ligning
$\Delta _{\text{3D}}+k^{2}$	${\frac {-\mathrm {e} ^{-ikr}}{4\pi r}}=i{\sqrt {\frac {k}{32\pi r}}}$ $H_{1/2}^{(2)}(kr)$ $=i{\frac {k}{4\pi }}\,$	stationær 3D Schrödinger-ligning for en fri partikel
${\displaystyle \Delta -k^{2))$ i rummet med dimensioner $n$	$-(2\pi )^{-n/2}\left({\frac {k}{r}}\right)^{n/2-1}K_{n/2-1}(kr )$	Potentiel Yukawa , propagator
${\displaystyle \partial _{t}^{2}-c^{2}\partial _{x}^{2))$	${\frac {1}{2c}}\Theta (t-\|x/c\|)$	1D bølgeligning
$\partial _{t}^{2}-c^{2}\Delta _{\text{2D))$	${\frac {1}{2\pi c{\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2))))}\Theta (t-\rho /c)$	2D- bølgeligning
$\square ={\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\Delta _{\text{3D}}$	${\frac {\delta (t-{\frac {r}{c)))}{4\pi r))$	3D -bølgeligning
${\displaystyle \partial _{t}-k\partial _{x}^{2))$	$\Theta (t)\left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)^{1/2}\mathrm {e} ^{-x^{2}/4kt}$	1D diffusionsligning
$\partial _{t}-k\Delta _{\text{2D))$	$\Theta (t)\left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)\mathrm {e} ^{-\rho ^{2}/4kt}$	2D diffusionsligning
$\partial _{t}-k\Delta _{\text{3D))$	$\Theta (t)\left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)^{3/2}\mathrm {e} ^{-r^{2}/4kt}$	3D diffusionsligning
${\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\partial _{x}^{2}+\mu ^{2}$	${\frac {1}{2}}\left[\left(1-\sin {\mu ct}\right)(\delta (ct-x)+\delta (ct+x))+\ mu \Theta (ct-\|x\|)J_{0}\left(\mu u\right)\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2 }}}$	1D Klein-Gordon ligning
${\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\Delta _{\text{2D}}+\mu ^{2}$	${\frac {1}{4\pi }}\left[(1+\cos {(\mu ct)}){\frac {\delta (ct-\rho )}{\rho }}+ \mu ^{2}\Theta (ct-\rho )\operatørnavn {sinc} {(\mu u)}\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}-\ rho ^{2}}}$	2D Klein-Gordon ligning
$\square +\mu ^{2}$	${\frac {1}{4\pi }}\left[{\frac {\delta \left(t-{\frac {r}{c}}\right)}{r}}+\mu c\Theta (ct-r){\frac {J_{1}\left(\mu u\right)}{u}}\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{ 2}-r^{2}}}$	3D Klein-Gordon ligning
${\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\partial _{x}^{2))$	${\frac {1}{2}}e^{-\gamma t}\venstre[\delta (ct-x)+\delta (ct+x)+\Theta (ct-\|x\|)\ venstre({\frac {\gamma }{c}}I_{0}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)+{\frac {\gamma t}{u}}I_{ 1}\venstre({\frac {\gamma u}{c}}\right)\right)\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2 }}}$	telegrafligning
$\partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\Delta _{\text{2D))$	${\frac {e^{-\gamma t}}{4\pi }}\venstre[(1+e^{-\gamma t}+3\gamma t){\frac {\delta (ct -\rho )}{\rho }}+\Theta (ct-\rho )\left({\frac {\gamma \sinh \left({\frac {\gamma u}{c}}\right)}{ cu))+{\frac {3\gamma t\cosh \left({\frac {\gamma u}{c))\right)}{u^{2))}-{\frac {3ct\sinh \ venstre({\frac {\gamma u}{c}}\right)}{u^{3}}}\right)\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2 }-\rho ^{2}}}$	2D relativistisk varmeligning
$\partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\Delta _{\text{3D))$	${\frac {e^{-\gamma t}}{20\pi }}\left[\left(8-3e^{-\gamma t}+2\gamma t+4\gamma ^{2 }t^{2}\right){\frac {\delta (ct-r)}{r^{2))}+{\frac {\gamma ^{2)){c))\Theta (ct- r)\left({\frac {1}{cu}}I_{1}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)+{\frac {4t}{u^{2} }}I_{2}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)\right)\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}- r^{2}}}$	3D relativistisk varmeligning

Andre eksempler

Lad et sæt være givet og operatøren lig med . Så er Heaviside -funktionen den grønnes funktion for kl . $\mathbb {R}$ $\L$ $\d/dx$ $\ H(x-x_{0})$ $\L$ $\x_0$
Lad manifolden blive givet af den første fjerdedel af flyet og vær Laplace-operatøren. Vi antager også, at ved , er Dirichlet-grænsebetingelserne pålagt, og ved , pålægges Neumann-grænsebetingelserne. Så tager den grønne funktion formen ${(x,\;y):\;x,\;y\geqslant 0}$ $\L$ $\x=0$ $\y=0$

G(x,\;y,\;x_{0},\;y_{0})={\frac {1}{2\pi }}\venstre[\ln {\sqrt {(x-x_{0 })^{2}+(y-y_{0})^{2}}}-\ln {\sqrt {(x+x_{0})^{2}+(y-y_{0})^ {2}}}\right]+

+{\frac {1}{2\pi }}\left[\ln {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y+y_{0})^{2}}}- \ln {\sqrt {(x+x_{0})^{2}+(y+y_{0})^{2))}\right].

Se også

Noter

↑ Li Tsung-dao Matematiske metoder i fysik. - M.: Mir, 1965. - s. 200
↑ Nogle eksempler er hentet fra Schulz, Hermann: Physik mit Bleistift. Frankfurt am Main: Deutsch, 2001. ISBN 3-8171-1661-6 (tysk)

Litteratur

Eyges, Leonard, The Classical Electromagnetic Field , Dover Publications, New York, 1972. ISBN 0-486-63947-9 . (Kapitel 5 indeholder en meget klar redegørelse for brugen af Greens funktioner til løsning af grænseværdiproblemer i elektrostatik.)
AD Polyanin og VF Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2. udgave) , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
AD Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

Matematisk fysik

Typer af ligninger

Grænsebetingelser

Matematisk fysiks ligninger

Diffusion og konvektion	Varme ligning Diffusionsligning Mason-Weaver ligning
Hydrodynamik	Overførselsligning Navier-Stokes ligninger Euler ligning Gromeka-lam ligning Vortex ligning Burgers ligning Lavt vand ligninger Korteweg-de Vries ligning
Elektromagnetisme	Maxwells ligninger Helmholtz ligning Landau-Lifshitz ligning Screenet Poisson-ligning
Kvantemekanik	Schrödinger ligning Heisenberg ligning Rarita-Schwinger ligning Hartrees ligning Dirac ligning Klein-Gordon ligning
Generelle modeller	Kontinuitetsligning bølgeligning Fokker-Planck ligning Poisson ligning

Løsningsmetoder

Metoder til løsning af differentialligninger

Gittermetoder

Finite element metoder	Finite element metode Galerkin metode Diskontinuerlig Galerkin-metode Flerskala Finite Element-metode Multigrid metode
Andre metoder	Endelig forskelsmetode Endeligt volumen metode Godunovs metode Grænseelementmetode

Ikke-grid metoder

Studie af ligninger

relaterede emner