Antisymmetrisk tensor
I matematik og teoretisk fysik siges en tensor at være antisymmetrisk i to indeks i og j , hvis den skifter fortegn, når disse indekser udveksles:
Hvis en tensor skifter fortegn, når et hvilket som helst par af indekser permuteres, så kaldes en sådan tensor en absolut antisymmetrisk tensor.
For enhver tensor U , med komponenter , kan man konstruere en symmetrisk og antisymmetrisk tensor i henhold til reglen:
(symmetrisk del),
(antisymmetrisk del),
![{\displaystyle U_{[ij]k\dots }=(1/2)(U_{ijk\dots }-U_{jik\dots })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25491364d297108fe4e838c2d99a1afd7eb5fcb9)
lignende for andre indekser.
Udtrykket "del" betyder det
![{\displaystyle U_{ijk\dots }=U_{(ij)k\dots }+U_{[ij]k\dots }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b9a1dc8146afb07f560638751c092801fb624e7)
Egenskaber
Sammentrækningen af tensoren A , som er antisymmetrisk i indeks i og j , med tensoren B , som er symmetrisk i indeks i og j , er lig med nul. Bevis:
![{\displaystyle A_{(ij)k\dots }B_{[ij]k\dots }=A_{(ji)k\dots }B_{[ji]k\dots }=-A_{(ij)k\dots }B_{[ij]k\dots }=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5057de916bc2d34165d5483d246152579a554a01)
En vigtig antisymmetrisk tensor i fysik er den elektromagnetiske felttensor F i elektromagnetisme .