Poisson ligning

Poisson-ligningen er en elliptisk partiel differentialligning, der beskriver

elektrostatisk felt ,
stationært temperaturfelt,
trykfelt,
hastighedspotentiale felt i hydrodynamik.

Det er opkaldt efter den franske fysiker og matematiker Siméon Denis Poisson .

Denne ligning ser sådan ud:

\Delta \varphi =f,

hvor er Laplace-operatoren , eller Laplacian , og er en reel eller kompleks funktion på en manifold . $\Delta$ $f$

I et tredimensionelt kartesisk koordinatsystem har ligningen formen:

\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\varphi (x,y,z)=f(x,y,z).

I det kartesiske koordinatsystem skrives Laplace-operatoren på formen, og Poisson-ligningen har formen: $\nabla ^{2}$

{\nabla }^{2}\varphi =f.

Hvis den har en tendens til nul, bliver Poisson-ligningen til Laplace-ligningen (Laplace-ligningen er et specialtilfælde af Poisson-ligningen): $f$

\Delta\varphi=0.

Poissons ligning kan løses ved hjælp af den grønnes funktion ; se for eksempel artiklen screenede Poisson-ligning . Der er forskellige metoder til at opnå numeriske løsninger. Eksempelvis anvendes en iterativ algoritme - "afspændingsmetoden".

Elektrostatik

Poissons ligning er en af de vigtigste ligninger for elektrostatik . At finde det givne er et vigtigt praktisk problem, da dette er den sædvanlige måde at finde det elektrostatiske potentiale for en given ladningsfordeling . I SI- enheder : $\Phi (r)$ $f$

{\nabla }^{2}\phi =-{\rho \over \varepsilon _{0)),

hvor er det elektrostatiske potentiale (i volt ), er den volumetriske ladningstæthed (i coulombs pr. kubikmeter), og er vakuumpermittiviteten (i farad pr. meter). $\phi$ $\rho$ $\varepsilon _{0}$

Det er afledt af Gauss-loven ( og definitionen af det statiske potentiale ( ) [1] : $\mathrm {div} \,\mathbf {E} \equiv \nabla \cdot \mathbf {E} ={\rho \over \varepsilon _{0)))$ $\mathbf {E} =-\nabla \phi$

{\rho \over \varepsilon _{0}}=\nabla \cdot \mathbf {E} =\nabla \cdot (-\nabla \phi )=-\nabla \cdot \nabla \phi =-\ nabla ^{2}\phi .

I CGS enheder :

{\nabla }^{2}\phi =-{4\pi \rho }.

I et område af rummet, hvor der ikke er nogen uparret ladningstæthed:

\rho =0,

og ligningen for potentialet bliver Laplace-ligningen :

{\nabla }^{2}\phi =0.

Potentiale for en punktladning

Potentiale genereret af en punktladning

\Phi _{q}={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{q \over r}

- det vil sige Coulomb-potentialet - er faktisk (og strengt taget på ) den grønnes funktion $q=1$

\Phi _{1}(x,y,z)={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{1 \over r}

for Poisson-ligningen,

altså løsningen af ligningen

\Delta \Phi =-{1 \over \varepsilon _{0}}\delta (x)\delta (y)\delta (z)\ ,

hvor er notationen for Dirac delta-funktionen , og produktet af tre deltafunktioner er en tredimensionel deltafunktion, og $\delta(x)$ $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.$

I denne henseende er det klart, at løsningen af Poisson-ligningen med en vilkårlig højre side kan skrives som

\Phi (x,y,z)=\int \rho (\xi ,\eta ,\zeta )\Phi _{1}(x-\xi ,y-\eta ,z-\zeta )d\xi d \eta d\zeta=

=\int {1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{\rho (\xi ,\eta ,\zeta ) \over {\sqrt {(x-\xi )^{2}+(y- \eta )^{2}+(z-\zeta )^{2}}}}d\xi d\eta d\zeta .

Her mener vi det enkleste tilfælde "uden grænsebetingelser", når det antages, at løsningen i det uendelige skal vende mod nul. Betragtning af et mere generelt tilfælde af vilkårlige randbetingelser og i det hele taget en mere detaljeret fremstilling, se artiklen Grøns funktion .
Den fysiske betydning af den sidste formel er anvendelsen af superpositionsprincippet (hvilket er muligt, da Poisson-ligningen er lineær) og at finde potentialet som summen af potentialer af punktladninger . $\rho dV$

Gaussisk volumen ladningstæthedspotentiale

Hvis vi har en volumetrisk sfærisk symmetrisk tæthed af den Gaussiske ladningsfordeling : $\rho (r)$

\rho (r)={\frac {Q}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}^{3}}}\,e^{{-r^{2}/(2\ sigma ^{2})}},

hvor er den samlede ladning, så er løsningen af Poisson-ligningen: $Q$ $\Phi (r)$

{\nabla }^{2}\Phi =-{\rho \over \varepsilon _{0))

givet:

\Phi (r)={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{\frac {Q}{r}}\,{\mbox{erf}}\left({\frac {r }{{\sqrt {2}}\sigma }}\right),

hvor er fejlfunktionen . Denne løsning kan verificeres direkte ved beregning . Bemærk, at for mange større end , nærmer sig enhed, og potentialet nærmer sig potentialet for en punktladning , som man kunne forvente. $\mathrm {erf} (x)$ ${\nabla }^{2}\Phi$ $r$ $\sigma$ $\mathrm {erf} (x)$ $\Phi (r)$ ${1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{Q \over r}$

Se også

Diskret Poisson-ligning
Screenet Poisson-ligning

Noter

↑ A. M. Makarov, L. A. Luneva. Grundlæggende om elektromagnetisme : Bind 3 af forløbet i det åbne uddannelsessystem "Fysik på det tekniske universitet": [ arch. 30. juli 2020 ]. - MSTU im. N. E. Bauman, 2002.

Links

Poisson-ligning på EqWorld: The World of Mathematical Equations.
L.C. Evans, Partial Differential Equations , American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
AD Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

Matematisk fysik

Typer af ligninger

Grænsebetingelser

Matematisk fysiks ligninger

Diffusion og konvektion	Varme ligning Diffusionsligning Mason-Weaver ligning
Hydrodynamik	Overførselsligning Navier-Stokes ligninger Euler ligning Gromeka-lam ligning Vortex ligning Burgers ligning Lavt vand ligninger Korteweg-de Vries ligning
Elektromagnetisme	Maxwells ligninger Helmholtz ligning Landau-Lifshitz ligning Screenet Poisson-ligning
Kvantemekanik	Schrödinger ligning Heisenberg ligning Rarita-Schwinger ligning Hartrees ligning Dirac ligning Klein-Gordon ligning
Generelle modeller	Kontinuitetsligning bølgeligning Fokker-Planck ligning Poisson ligning

Løsningsmetoder

Metoder til løsning af differentialligninger

Gittermetoder

Finite element metoder	Finite element metode Galerkin metode Diskontinuerlig Galerkin-metode Flerskala Finite Element-metode Multigrid metode
Andre metoder	Endelig forskelsmetode Endeligt volumen metode Godunovs metode Grænseelementmetode

Ikke-grid metoder

Studie af ligninger

relaterede emner