Vortex ligning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 24. oktober 2021; checks kræver 2 redigeringer .

Hvirvelligningen (hvirveludviklingsligningen) er en partiel differentialligning, der beskriver udviklingen i rum og tid af en hvirvel af væske- eller gasstrømningshastigheden . Hastighedshvirvelen (hvirvel ) forstås som hastighedsrotoren . Hvirvelligningen bruges i hydrodynamik , geofysisk hydrodynamik , astrofysisk hydrodynamik og numerisk vejrudsigt . ${\omega \equiv \operatørnavn {rot} ~v}\equiv \nabla \times v$

Hvirvelligningen for en ideel væske

En væske (eller gas), hvor virkningerne forbundet med intern friktion ( viskositet ) og varmeoverførsel er ubetydelige , kaldes " ideal " . Dynamikken af en ideel væske adlyder Euler-ligningen [1] (1755). Hvis vi skriver denne ligning i fravær af eksterne kræfter i Gromeka-Lamb-formen

\ {\frac {\partial v}{\partial t}}-[v\times [\nabla \times v]]=-{\frac {\nabla p}{\rho }}-\nabla \ venstre({\frac {v^{2}}{2}}\højre),

(en)

hvor er hastighedsvektoren, er trykket, er tætheden, accepter inkompressibilitetsbetingelsen , og anvend operationen på begge sider af denne ligning , under hensyntagen til de kendte egenskaber for denne operator, så får vi vortexligningen for en ideel inkompressibel væske $\v$ $\p$ ${\displaystyle \ {\rho ))$ $\ \rho =\operatørnavn {const} ,(\nabla \cdot v)=0$ $\ \operatørnavn {rot}$

${\begin{aligned}{\frac {\partial \omega }{\partial t))+(v\cdot \nabla )\omega -(\omega \cdot \nabla )v=0\end{aligned }}.$ (2)

Integralformen af denne ligning svarer til Helmholtz-Kelvin-sætningen om bevarelse af hastighedscirkulation i en barotrop væske [2] [3] . Ligning (2) kaldes Helmholtz-ligningen .

Med irroterende væskebevægelse (også kaldet "potentiale") . Af ligning (2) følger det, at hvis bevægelsen i det indledende tidspunkt er irroterende, så vil den forblive det i fremtiden. $\ \omega =0$

Hvirvelligningen for en viskøs inkompressibel væske

Hvis vi i ligning (1) også tager hensyn til kraften af indre friktion ( viskositet ), så vil vi i stedet for ligning (2) have

${\begin{aligned}{\frac {\partial \omega }{\partial t))+(v\cdot \nabla )\omega -(\omega \cdot \nabla )v=\nu \Delta \ omega \end{aligned}},$ (3)

hvor er den kinematiske viskositet [4] . $\nu$

Hvirvelligningen for en baroklin inviscid væske

Betingelsen for fraværet af varmeoverførsel (det vil sige adiabaticitet ) af strømmen af en inkompressibel, inviscid væske er ækvivalent med betingelsen om entropi -konstans (det vil sige isentropi ) [1] . Hvis denne begrænsning opgives, vil ligning (2) blive erstattet af en mere generel

${\begin{aligned}{\frac {\partial \omega }{\partial t))+(v\cdot \nabla )\omega \ -(\omega \cdot \nabla )v+\omega (\nabla \cdot v)={\frac {1}{\rho ^{2))}\venstre[\nabla \rho \times \nabla p\right]\end{justeret)),$ (fire)

under hensyntagen til den barokliniske effekt . Den højre side af denne ligning er nul, hvis , det vil sige, hvis den isopycnale overflade er parallel med den isobariske. Ellers er vektorproduktet af tæthedsgradienten og trykgradienten ikke-nul, hvilket fører til en ændring i hvirvelstrøm på grund af virkningen af baroklinitet. Virkningen af baroklinitet på udviklingen af en hvirvel blev fastslået af Wilhelm Bjerknes [5] [6] . Denne ligning afslørede den vigtige rolle af barokliniske effekter i dannelsen og udviklingen af hvirvler i atmosfæren og havet. $\ \nabla \rho \sim \nabla p$

Friedmanns ligning

( Friedmann-ligningen findes også i kosmologien. Se Friedmann-ligningen ).

Generelt adlyder bevægelsen af en newtonsk væske Navier-Stokes-ligningerne . I modsætning til ovenstående form for Euler-ligningen for en inkompressibel væske, tager den hensyn til virkningerne af kompressibilitet og intern friktion. Ved at anvende differentialoperatoren på Navier-Stokes-ligningen får vi ligningen for A. A. Fridman [7] [8] . $\ \operatørnavn {rot}$

$\ \operatørnavn {helm} \omega ={\frac {1}{\rho ^{2))}\venstre[\nabla \rho \times \nabla p\right]+\venstre[\nabla \times \left({\frac {f}{\rho }}\right)\right],$ (5)

hvor er den Helmholtziske differentialoperator , er tætheden af den molekylære viskositetskraft. $\ \operatornavn {hjelm} \omega \equiv {\frac {\partial \omega }{\partial t))+(v\cdot \nabla )\omega -(\omega \cdot \nabla )v+\omega (\nabla \cdot v)$ $\f$

Den hydrodynamiske betydning af Helmholtzian er, at lighed betyder "frysning" af et vektorfelt til en væske i bevægelse, forstået på den måde, at hver vektorlinje i dette felt (det vil sige den linje, der tangerer, som på et hvilket som helst punkt har retningen af vektoren på dette tidspunkt) er bevaret , det vil sige, den består altid af de samme væskepartikler, og intensiteten af hvirvelrør (hvis vægge består af hvirvellinjer), det vil sige, at vektoren strømmer gennem alle sektioner af disse rør , ændres ikke med tiden [9] . $\ \operatørnavn {helm} \omega =0$ $\ \omega$ $\ \omega$ $\ \int \limits _{\sigma }(\omega \cdot d\sigma )$ $\ \omega$ $\\sigma$

Tyngdekraftens indflydelse ændrer ikke formen af ligningerne (2) - (5), fordi denne kraft er potentiel.

Friedmann-ligningen er den grundlæggende ligning for geofysisk hydrodynamik. Den er baseret på teorien om numerisk vejrudsigt .

Hvirvelligningen for en turbulent væske

Friedmanns ligning anvendes også på turbulente strømme. Men i dette tilfælde skal alle de mængder, der er inkluderet i det, forstås som gennemsnit (i betydningen O. Reynolds ). Man skal dog huske på, at en sådan generalisering ikke er præcis nok her. Pointen er, at når vi udledte ligning (5), tog vi ikke højde for (på grund af den relative lillehed) den turbulente momentumtæthedsvektor , hvor overlinjen er tegnet for gennemsnit, og bindestregen er afvigelsen fra gennemsnittet. Denne omstændighed manifesterede sig i, at Friedmann-ligningen viste sig at være ude af stand til at forklare fænomenet med indekscyklussen ( vascillation ), hvor der er en reversibel barotrop udveksling af energi og vinkelmomentum mellem ordnede og turbulente bevægelser. ${\displaystyle \ S={\overline {\rho ^{'}v^{'))))$

Lad os betegne med - "hastighedsvektor for turbulent overførsel". Naturligvis fører forsømmelsen af turbulent transport i problemerne med geofysisk og astrofysisk hydrodynamik til tabet af effekter, der manifesterer sig i langsomme, men udviklende processer. Ligningen for evolution af en hvirvel, fri for en sådan begrænsning, blev foreslået af A. M. Kriegel [10] [11] : $\ c=S/\rho$ $\ \left|c\right|\ll \left|v\right|$

$\ \operatørnavn {helm} \psi =\nabla \times \left[c\times \omega +c\left(\nabla \cdot c\right)+F\right]+{\frac {1}{ \rho ^{2}}}\venstre[\nabla \rho \times \left(\nabla p-\rho \nabla c^{2}\right)\right],$ (6)

hvor er " pseudovektoren af den totale hastighedshvirvel", er tætheden af den totale friktionskraft (molekylær og turbulent). Hvis virkningerne af baroklinitet og viskositet udelades fra denne ligning, så forbliver højre side generelt set forskellig fra nul. I dette tilfælde er det let at vise, at Helmholtz - Kelvins hastighedscirkulationsbevarelsesteoremet ikke holder , på trods af at strømmen er barotropisk . Denne konklusion er en konsekvens af ikke-potentialiteten af " densiteten af den turbulente Coriolis-kraft " . I ligning (6) er der dukket en yderligere mekanisme op, der påvirker udviklingen af hvirvelen, hvilket åbner vejen for at forstå arten af indekscyklussen . $\ \psi \equiv \nabla \times \left(v+c\right)$ $\ \rho F$ $\ 2\rho \left[c\times \omega \right]$

Litteratur

↑ 1 2 Landau L. D. , Lifshits E. M. Hydrodynamics (Theoretical Physics. Vol. VI).—M.: Nauka.—1988.—736 s.— ISBN 5-02-013850-9 .
↑ Helmholtz H. Uber integralle der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbewegungen entsprechen // Crelle J.—1858.— 55 .
↑ Thomson W. On hvirvelbevægelse // Trans. Roy. soc. Edinburgh.—1869. — 25. —Pt.1.—s.217—260.
↑ Batchelor J. Introduktion til væskedynamik. M.: Mir.-1973.-760 s.
↑ Bjerknes V. Om den cirkulære hvirvels dynamik: med anvendelser til atmosfæren og atmosfærisk hvirvel og bølgebevægelse // Geofysiske publikationer.—1921.— 2. —No 4.—88s.
↑ Bjerknes V. , Bjerknes J., Solberg H., Bergeron T. Physicalische hydrodynamik.-Berlin.-1933.
↑ Fridman A. A. Teorien om bevægelsen af en komprimerbar væske og dens anvendelse på atmosfærens bevægelse // Geofysisk samling . - 1927. - 5 . - S. 16-56 (Fridman A. A. Udvalgte værker. M .: Nauka. - 1966 —S.178-226).
↑ Fridman A. A. Erfaring med hydromekanik med komprimerbar væske Arkivkopi dateret 3. marts 2016 på Wayback Machine . L.-M.: ONTI.-1934.-370 s.
↑ Monin A.S. Theoretical foundations of geophysical hydrodynamics.- L .: Gidrometeoizdat.-1988.- P.17.
↑ Kriegel A. M. Om ikke-bevarelse af hastighedscirkulation i en turbulent roterende væske // Letters to the Journal of Technical Physics. —1981.
↑ Krigel AM Vortex evolution // Geofys. Astrofys. Fluid Dynamics.—1983. — 24. —s.213—223.

Matematisk fysik

Typer af ligninger

Grænsebetingelser

Matematisk fysiks ligninger

Diffusion og konvektion	Varme ligning Diffusionsligning Mason-Weaver ligning
Hydrodynamik	Overførselsligning Navier-Stokes ligninger Euler ligning Gromeka-lam ligning Vortex ligning Burgers ligning Lavt vand ligninger Korteweg-de Vries ligning
Elektromagnetisme	Maxwells ligninger Helmholtz ligning Landau-Lifshitz ligning Screenet Poisson-ligning
Kvantemekanik	Schrödinger ligning Heisenberg ligning Rarita-Schwinger ligning Hartrees ligning Dirac ligning Klein-Gordon ligning
Generelle modeller	Kontinuitetsligning bølgeligning Fokker-Planck ligning Poisson ligning

Løsningsmetoder

Metoder til løsning af differentialligninger

Gittermetoder

Finite element metoder	Finite element metode Galerkin metode Diskontinuerlig Galerkin-metode Flerskala Finite Element-metode Multigrid metode
Andre metoder	Endelig forskelsmetode Endeligt volumen metode Godunovs metode Grænseelementmetode

Ikke-grid metoder

Studie af ligninger

relaterede emner