4D polyeder

Et firedimensionelt polyeder  er et polyeder i firedimensionalt rum [1] [2] . Et polyeder er en forbundet lukket figur, der består af polyedriske elementer med en mindre dimension - hjørner , kanter , flader ( polygoner ) og celler ( tredimensionelle polyeder ). Hvert ansigt tilhører præcis to celler.

Den todimensionelle analog af firedimensionelle polyeder er polygonen , og den tredimensionelle analog er den tredimensionelle polyhedron .

Topologisk er 4D polyedre tæt beslægtet med ensartede honeycombs såsom kubiske honeycombs , der tessellaterer 3D-rum. På lignende måde er en tredimensionel terning relateret til uendelige todimensionelle firkantede honningkager . Konvekse 4D polyedre kan klippes og pakkes ud i 3D -rum.

Definition

Et firedimensionelt polyeder er en lukket firedimensionel figur . Den består af toppunkter (hjørnepunkter), kanter , flader og celler . En celle er en tredimensionel analog af et ansigt og er et tredimensionelt polyeder . Hver 2D-flade skal forbinde præcis to celler, ligesom kanterne på et 3D-polyeder forbinder præcis to flader. Ligesom andre polytoper kan elementerne i en 4-polytop ikke opdeles i to eller flere sæt, der også er 4-polytoper, dvs. den er ikke sammensat.

Den mest berømte firedimensionelle polyhedron er tesseracten (hyperkuben), en firedimensionel analog af terningen.

Visualisering

Firedimensionelle polyedre kan ikke repræsenteres i tredimensionelt rum på grund af den ekstra dimension. En række teknikker bruges til visualisering.

Ortografiske projektioner kan bruges til at vise forskellige symmetrier af et 4D-polyeder. Projektioner kan repræsenteres som todimensionelle grafer, eller de kan repræsenteres som tredimensionelle faste stoffer som projektive skaller .

Ligesom 3D-former kan projiceres på et fladt ark, kan 4D-former projiceres ind i 3D-rum eller endda på et plan. En almindelig type projektion er Schlegel-diagrammet , som bruger en stereografisk projektion af punkter på overfladen af ​​en 3-sfære i tredimensionelt rum, forbundet i tredimensionelt rum af lige kanter, flader og celler.

Ligesom skæring af et polyeder afslører en skåret overflade, afslører skæring af et 4D polyeder en "hyperflade" i 3D-rum. Sekvensen af ​​sådanne skiver kan bruges til at forstå hele figuren. Den ekstra dimension kan sidestilles med den tid, det tager at animere disse sektioner.

Udviklingen af ​​et firedimensionelt polyeder består af polyederceller [ forbundet med flader og placeret i tredimensionelt rum, ligesom de polygonale flader af en udvikling af et tredimensionelt polyeder er forbundet med kanter og alle er placeret i samme fly.

Topologiske karakteristika

Topologien af ​​et givet 4D-polyeder bestemmes af dets Betti-tal og torsionskoefficienter [3] .

Værdien af ​​Euler-karakteristikken , der bruges til at karakterisere polyedre, generaliserer ikke korrekt til højere dimensioner og er nul for alle firedimensionelle polyedre, uanset den underliggende topologi. Denne inkonsistens i Euler-karakteristikken for pålideligt at skelne mellem forskellige topologier i høje dimensioner fører til fremkomsten af ​​mere raffinerede Betti-tal [3] .

På samme måde er begrebet orienterbarhed af et polyeder utilstrækkeligt til at karakterisere vridningen af ​​overfladerne af toroidale polyedre, hvilket fører til brugen af ​​torsionskoefficienter [3] .

Klassifikation

Kriterier

Firedimensionelle polyedre kan klassificeres efter egenskaber som " konveksitet " og " symmetri " [3] .

• En 4-polytop er konveks , hvis dens grænser (inklusive celler, (3-dimensionelle) flader og kanter) ikke skærer sig selv (i princippet kan en polytops flader passere inde i skallen) og segmenterne, der forbinder to punkter på 4-polytop er indeholdt helt inde i den. Ellers betragtes polyederet som ikke- konveks . Selvskærende firedimensionelle polyedre er også kendt som stjernepolyedre , analogt med de stjernelignende former af ikke-konvekse Kepler-Poinsot polyedre .
• En firedimensionel polytop er regulær , hvis den er transitiv i forhold til dens flag . Det betyder, at alle dets celler er kongruente regulære polyedre , og også alle dets toppunkter er kongruente med en anden slags regulære polyedre.
• En konveks firedimensionel polytop er semi-regulær , hvis den har en symmetrigruppe, således at alle hjørner er ækvivalente ( vertex-transitive ), og cellerne er regulære polyedre . Celler kan være af to eller flere typer, forudsat at de har samme ansigtstype. Der er kun 3 sådanne figurer fundet af Thorold Gosset i 1900: en fuldt afkortet fem-celle [en] , en fuldt afkortet seks-hundrede-celle og en snub-nosed 24-celle .
• Et firedimensionelt polyeder er homogent , hvis det har en symmetrigruppe, således at alle hjørner er ækvivalente, og cellerne er ensartede polyedre . Overfladerne (2-dimensionelle) af en ensartet 4-polytop skal være regulære polygoner .
• En firedimensionel polytop er en isotop [4] , hvis den er vertex-transitiv og har kanter af samme længde. Det vil sige, at ikke-ensartede celler er tilladt, såsom Johnsons konvekse polyedre .
• En regulær firedimensionel polytop, som også er konveks , siges at være en regulær konveks firedimensionel polytop .
• Et firedimensionelt polyeder er prismatisk , hvis det er et direkte produkt af to eller flere lavere-dimensionelle polyeder. Et prismatisk firedimensionelt polyeder er homogent, hvis dets faktorer i det direkte produkt er homogene. Hyperkuben er prismatisk (produktet af to kvadrater eller en terning og et linjestykke ), men behandles separat, fordi den har en højere symmetri end de symmetrier, der er nedarvet fra faktorerne.
• Mosaik eller honeycomb i tredimensionelt rum  er en nedbrydning af tredimensionelt euklidisk rum til et gentagende gitter af polyedriske celler. Sådanne fliser eller tesseller er uendelige og ikke begrænset af et "4D" volumen, så de er eksempler på uendelige 4D polyedre. En ensartet flisebelægning af tredimensionelt rum  er en flisebelægning, hvor hjørnerne er kongruente og forbundet med en krystallografisk gruppe , og cellerne er ensartede polyedre .

Klasser

Følgende liste over forskellige kategorier af firedimensionelle polyedre er klassificeret i henhold til kriterierne skitseret ovenfor:

Homogent firedimensionelt polyeder (vertex-transitive).

• Konveks ensartet 4-polyeder (64 plus to uendelige familier)
  • De 47 ikke-prismatiske konvekse ensartede 4-polytoper inkluderer:
    • 6 regulære firedimensionelle polyedre .
  • Prismatisk ensartet polyedre :
    • {} × {p, q} : 18 polyedriske prismer (inklusive kubiske hyperprismer, regulære hyperkuber );
    • Prismer bygget på antiprismer (uendelig familie);
    • {p} × {q} : Duoprismer (uendelig familie).
• Ikke-konvekse homogene firedimensionelle polyedre (10 + ukendt):
  • 10 (almindelige) Schläfli-Hess polytoper ;
  • 57 hyperprismer bygget på ikke- konvekse ensartede polyedre ;
  • Ukendt antal ikke-konvekse homogene firedimensionelle polyedre - Norman Johnson og andre medforfattere fandt 1849 polyedre (konvekse og stjerneformede); de er alle bygget på toppunktsfigurer ved hjælp af Stella4D- programmet [5] .

Andre konvekse 4D polyedre:

• Polyhedral pyramide ;
• Polyhedral prisme .

Uendelige homogene 4-dimensionelle polyedre i euklidisk 3-dimensionelle rum (homogene tesselleringer af konvekse homogene celler):

• 28 konvekse ensartede honeycombs (ensartede konvekse fliser), herunder:
  • 1 almindelig flisebelægning, kubisk honeycomb : {4,3,4}.

Uendelige homogene firedimensionelle polyedre af hyperbolsk tredimensionelt rum (homogene tesselleringer af konvekse homogene celler):

• 76 Wythoff konvekse ensartede honningkager i hyperbolsk rum herunder:
  • 4 regelmæssige fliser af et kompakt hyperbolsk 3D-rum : {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}.

Dobbelt homogene firedimensionelle polyedre ( celletransitiv ):

• 41 unikke dobbelte homogene firedimensionelle polyedre;
• 17 unikke dobbelte homogene polyedriske prismer;
• en uendelig familie af dobbelte konvekse homogene duoprismer (med uregelmæssige tetraedriske celler);
• 27 unikke dobbelte homogene celler, herunder:
  • Rhombic dodecahedral honeycomb ;
  • Isoedriske tetraedriske honeycombs .

Andet:

• Weir-Phelan strukturen periodiske rumfyldende honningkager med uregelmæssige celler.

Abstrakte regulære firedimensionelle polyedre :

• Elleve celler ;
• Syvoghalvtreds celler .

Disse kategorier omfatter kun firedimensionelle polyedre med en høj grad af symmetri. Mange andre firedimensionelle polyedre kan eksistere, men de er ikke blevet undersøgt så intensivt som dem, der er anført ovenfor.

Se også

• Almindelig firedimensionel polyeder
• 3-sfæren er en anden meget omtalt figur placeret i firedimensionelt rum. Men det er ikke et firedimensionelt polyeder, da det ikke er begrænset til polyederceller.
• En duocylinder er en figur i firedimensionelt rum forbundet med duoprismer , selvom det heller ikke er et polyeder.

Noter

1. ↑ Vialar, 2009 , s. 674.
2. ↑ Capecchi, Buscema, D'Amore, 2010 , s. 598.
3. ↑ 1 2 3 4 Richeson, D.; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topoplogy , Princeton, 2008.
4. ↑ På engelsk bruges ordet scaliform , dannet af to ord - skala (et polysemantisk ord, her - størrelse, skala) og ensartet (homogen). Navn foreslået af Jonathan Bowers
5. ↑ Uniform Polychora , Norman W. Johnson (Wheaton College), 1845 tilfælde i 2005

Litteratur

• T. Vialar. Kompleks og kaotisk ikke-lineær dynamik: Fremskridt inden for økonomi og finans. - Springer, 2009. - S. 674. - ISBN 978-3-540-85977-2 .
• V. Capecchi, P. Capecchi, M. Buscema, B. D'Amore. Anvendelser af matematik i modeller, kunstige neurale netværk og kunst. - Springer, 2010. - S. 598. - ISBN 978-90-481-8580-1 . - doi : 10.1007/978-90-481-8581-8 .
• HSM Coxeter :
  • HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins, JCP Miller: Uniform Polyhedra , Philosophical Transactions of the Royal Society of London, London, 1954
  • HSM Coxeter . Almindelige polytoper . - 3. (1947, 63, 73). - New York: Dover Publications Inc., 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .
• HSM Coxeter . Kalejdoskoper: Udvalgte skrifter af HSM Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. - Wiley-Interscience Publication, 1995. - ISBN 978-0-471-01003-6 .
  • (Paper 22) HSM Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
  • (Paper 23) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • (Paper 24) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• JH Conway , MJT Guy. Proceedings of the Colloquium on Convexity i København. - 1965. - S. 38-39.
• Norman Johnson . Teorien om ensartede polytoper og honningkager. - Ph.D. Afhandling. - University of Toronto, 1966.
• Firedimensionelle arkimediske polytoper (tysk), Marco Möller, 2004 Ph.d.-afhandling [1]

Links

• Weisstein, Eric W. Polychoron  (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
• Weisstein, Eric W. Polyhedral formel  (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
• Weisstein, Eric W. Regular polychoron Euler-karakteristika  (engelsk) hos Wolfram MathWorld . * George
• Firedimensionelle figurside
• George Olshevsky Polychoron om ordliste for hyperrum
• Uniform Polychora , Jonathan Bowers
• Uniform polychoron Viewer — Java3D Applet med kilder
• Dr. R. Klitzing, polychora