Schlegel diagram

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 3. september 2021; checks kræver 2 redigeringer .

Et Schlegel-diagram er en projektion af en polytop fra til gennem et punkt bag en af dens flader . Den resulterende figur er kombinatorisk ækvivalent med den originale polytop. Diagrammet er opkaldt efter Viktor Schlegel , der foreslog denne metode i 1886 for at studere polytopers kombinatoriske og topologiske egenskaber. I dimension 3 og 4 er Schlegel-diagrammer henholdsvis projektionen af et (3-dimensionelt) polyeder i en plan figur og projektionen af et 4-dimensionelt polyeder i et tredimensionelt rum . Som sådan bruges Schlegel-diagrammer ofte til at visualisere 4D-polyedre. ${\displaystyle R^{d))$ $R^{d-1}$ $R^{d-1}$

Konstruktion

Den mest elementære beskrivelse af Schlegel-diagrammet for et polyeder er givet af Duncan Sommerville [1] :

En meget nyttig metode til at repræsentere et konveks polyeder er den plane projektion. Hvis denne projektion er fra et ydre punkt, da hver stråle krydser polyederet to gange, vil det blive repræsenteret af et polygonalt område opdelt to gange i polygoner. Der er altid et passende valg af projektionscenter, således at projektionen af en af fladerne indeholder projektionerne af alle de andre flader. Dette kaldes Schlegel-diagrammet for polyederet. Schlegel-diagrammet repræsenterer fuldt ud polyhedronets morfologi. Nogle gange er det praktisk at projicere et polyeder fra et toppunkt. Toppunktet projiceres til det uendelige og vises ikke på diagrammet, kanterne, der går til det, er repræsenteret af stråler, der går til det uendelige.

Sommerville overvejede også tilfældet med et simpleks i firedimensionelt rum [2] : "Schlegel-diagrammet af et simpleks i S 4 er et tetraeder opdelt i fire tetraedre." Mere generelt har en polytop i n-dimensionelt rum et Schlegel-diagram konstrueret ved hjælp af en perspektivisk projektion gennem et punkt uden for polytopen, over midten af ansigtet. Alle spidser og kanter af polytopen projiceres ind på dette ansigts hyperplan . Hvis polytopen er konveks, er der et punkt nær en flade, hvor denne flade bliver ydre, og alle andre flader er inde i den, mens kanterne ikke vil skære hinanden.

Eksempler

Dodekaeder	120 celler
12 femkantede ansigter på et fly	120 dodekaeder (celler) i 3-dimensionelt rum

Forskellige typer visualisering af icosahedron

perspektiv	Scan	projektion
petri	Schlegel	Vertex figur

Se også

Udfoldning er en anden tilgang til gengivelse gennem lavere-dimensionelle polyedre, hvor ansigterne trækkes fra hinanden og foldes ud , indtil alle ansigterne er i det samme hyperplan. En sådan repræsentation bevarer geometriske dimensioner og form, men det er sværere at overveje topologiske sammenhænge.

Noter

↑ Sommervill, 1929 , s. 100.
↑ Sommervill, 1929 , s. 101.

Litteratur