Et topled af et polyeder eller en toppunktsfigur er et polyeder med en mindre dimension, som opnås i et udsnit af det oprindelige polyeder af et plan, der afskærer det ene toppunkt. Især indeholder et vertex-link information om rækkefølgen af polyederflader omkring et toppunkt.
Hvis du tager noget toppunkt af polyhedronen, skal du markere et punkt et sted på hver af de tilstødende kanter, tegne segmenter på fladerne og forbinde de opnåede punkter, som et resultat får du en komplet cyklus (polygon) omkring toppunktet. Denne polygon er toppunktet.
Den formelle definition kan variere meget afhængigt af omstændighederne. For eksempel ændrede Coxeter (1948, 1954) sin definition for at passe til den aktuelle diskussion. De fleste af definitionerne af et link, der er angivet nedenfor, passer lige godt både for uendelige flisebelægninger i planet og for rumlige fliser af polyedre .
Hvis du skærer et toppunkt af et polyeder ved at skære hver af de kanter, der støder op til toppunktet, vil skærefladen være et led. Dette er måske den mest almindelige tilgang og den mest forståelige. Forskellige forfattere laver et snit forskellige steder. Wenninger [1] [2] skærer hver kant i enhedsafstand fra toppunktet, ligesom Coxeter (1948). For ensartede polyeder skærer Dorman Lukes konstruktion hver tilstødende kant i midten. Andre forfattere laver et snit gennem toppunktet på den anden side af hver kant [3] [4] .
Cromwell [5] laver et sfærisk snit centreret i toppunktet. Sektionsfladen eller linket er altså en sfærisk polygon på den kugle.
Mange kombinatoriske og beregningsmæssige tilgange (f.eks. Skilling [6] ) betragter et link som et ordnet (eller delvist ordnet) sæt af punkter af alle tilstødende (kantforbundne) toppunkter for et givet toppunkt.
I teorien om abstrakte polyedre består koblingen af et givet toppunkt V af alle elementer, der falder ind på toppunktet - toppunkter, kanter, flader og så videre.
Dette sæt af elementer er kendt som topstjernen .
Linket til et toppunkt af en n -polytop er en ( n − 1)-polytop. For eksempel er toppunktet for en 3-polytop en polygon , og linket for en 4-polytop er en 3-polytop.
Links er mest nyttige for ensartede polytoper , da alle hjørner deler det samme link.
For ikke-konvekse polyedre kan forbindelsen også være ikke-konveks. Ensartede polyedre kan for eksempel have ansigter i form af stjernepolygoner , links kan også være stjerneformede.
Forsiden af det dobbelte polyeder er dobbelt i forhold til koblingen af det tilsvarende toppunkt.
Hvis polyederet er regulært, kan det beskrives med Schläfli-symbolet , ansigts- og linksymbolerne kan uddrages fra denne notation.
I det generelle tilfælde har et regulært polyeder med Schläfli-symbolet { a , b , c ,..., y , z } flader (af den højeste dimension) { a , b , c ,..., y } og linket vil være { b , c ,..., y , z }.
Da den dobbelte polytop af en regulær polytop også er regulær og er repræsenteret ved omvendte indekser i Schläfli-symbolet, er det let at forstå, at den dobbelte figur til linket af en toppunkt er en celle i den dobbelte polytop. For almindelige polyedre er dette et særligt tilfælde af Dorman Lukes konstruktion .
Linket til toppen af de afkortede kubiske honningkager er en heterogen firkantet pyramide . Et oktaeder og fire afkortede terninger placeret nær hvert hjørne danner en rumlig mosaik .
| Topled : Uensartet firkantet pyramide | Schlegel diagram |
perspektiv |
| Dannet ud fra den firkantede base af oktaederet | (3.3.3.3) | |
| og fire ligebenede trekantede sider af en afkortet terning | (3.8.8) |
Et andet koncept forbundet med et link er et kantlink . Et kantled er en ( n − 2)-polytop, der repræsenterer arrangementet af n − 1-dimensionelle flader omkring en given kant (ved siden af den givne kant). Et kantled er et topled af et topled [7] . Kantlinks er nyttige til at udtrykke forbindelser mellem elementer af regulære og ensartede polyedere.
Regulære og ensartede polytoper som følge af refleksioner med et aktivt spejl har en enkelt type kantled, men generelt kan en ensartet polytop have lige så mange led, som spejle er aktive, når de bygges, da hvert aktivt spejl skaber en kant i grundområdet.
Almindelige polyedre (og honningkager) har et enkelt kantled, som også er regelmæssigt. For en regulær polytop { p , q , r , s ,..., z } vil kantlinket være { r , s ,..., z }.
I 4D-rum er et kantled af et polyeder eller 3D-bikage en polygon, der repræsenterer arrangementet af ansigter rundt om kanten. For eksempel er kantleddet af en regulær kubisk honeycomb {4,3,4} en firkant , mens for et regulært firedimensionelt polyeder { p , q , r } ville kantleddet være { r }.
Det er mindre indlysende, at den afkortede kubiske honeycomb t 0,1 {4,3,4} har en firkantet pyramide som sit linktop . Der er to typer kantlinks her . Den ene er kantens firkantede led i toppen af pyramiden, som svarer til de fire afkortede terninger rundt om kanten. Den anden side er trekanter i bunden af pyramiden. De repræsenterer arrangementet af to afkortede terninger og et oktaeder rundt om andre kanter.