Et ensartet stjernepolyeder er et selvskærende ensartet polyeder . Disse polyedre kaldes også ikke-konvekse polyedre , der understreger selvskæring. Hver polyhedron kan indeholde stjernepolygonflader eller stjernetopformer , men den kan indeholde begge dele.
Det komplette sæt af 57 ikke-prismatiske ensartede stjernepolyedre inkluderer 4 regulære, kaldet Kepler-Poinsot faste stoffer , 5 quasi-regulære og 48 semi-regulære.
Der er også to uendelige sæt af homogene stjerneprismer og antiprismer .
Ligesom (ikke-degenererede) stjernepolygoner (som har tæthed større end 1) svarer til cirkulære polygoner med overlappende dele, har stjernepolyedre, der ikke passerer gennem midten, tæthed større end 1 og svarer til sfæriske polyedre med overlappende dele. Der er 48 sådanne ikke-prismatiske ensartede stjernepolyedre. De resterende 9 ikke-prismatiske ensartede stjernepolyedre har flader, der går gennem midten, er semipolyedre og svarer ikke til sfæriske polyedre, da midten ikke entydigt kan projiceres på en kugle.
Ikke-konvekse former er konstrueret af Schwartz trekanter .
Alle trekanter anført nedenfor er grupperet efter deres symmetrigrupper og internt grupperet efter toppunktsarrangement.
Almindelige polyedre er mærket med deres Schläfli-symboler . Andre, uregelmæssige ensartede polyeder er mærket med deres toppunktskonfiguration eller deres ensartede polyederindeks (Uniform polyhedron index, U(1-80)).
Bemærk: For ikke-konvekse former gives en yderligere beskrivelse nedenfor For eksempel kan uensartet affasning (fjernelse af kanter) frembringe rektangler , hvor kanterne fjernes, snarere end firkanter .
Se prismatisk ensartet polyeder .
Der er én ikke-konveks slags, tetrahemihexahedron , som har tetraedrisk symmetri (med det grundlæggende område af Möbius-trekanten (3 3 2)).
Der er to Schwartz trekanter , hvorfra der dannes unikke ikke-konvekse homogene polyedre - en retvinklet trekant (3/2 3 2) og en generel trekant (3/2 3 3). Trekanten (3/2 3 3) genererer et oktahemioctahedron , som er vist nedenfor i afsnittet om oktaedrisk symmetri .
| Placering af knudepunkter ( Konvekst skrog ) |
Ikke-konvekse udsigter | |
|---|---|---|
Tetraeder |
||
Retificeret tetraeder Octahedron |
(4.3/2.4.3) 3/2 3 | 2 | |
afkortet tetraeder |
||
Affaset tetraeder ( Cuboctahedron ) |
||
Trunkeret tetraeder ( Truncated octahedron ) |
||
Snub tetraeder ( Icosahedron ) |
||
Der er 8 konvekse former og 10 ikke-konvekse former med oktaedrisk symmetri (med grundarealet Möbius-trekanten (4 3 2)).
Der er fire Schwartz trekanter , der danner ikke-konvekse former, to rektangulære, (3/2 4 2) og (4/3 3 2), og to generelle, (4/3 4 3) og (3/2 4) 4).
| Placering af knudepunkter ( Konvekst skrog ) |
Ikke-konvekse udsigter | ||
|---|---|---|---|
terning |
|||
Oktaeder |
|||
Cuboctahedron |
(6.4/3.6.4) 4/3 4 | 3 |
(6.3/2.6.3) 3/2 3 | 3 | |
afkortet terning |
4,8/3,4/3,8/5) 2 4/3 (3/2 4/2) | |
(8/3.3.8/3.4) 3 4 | 4/3 |
(4.3/2.4.4) 3/2 4 | 2 |
afkortet oktaeder |
|||
Rhombicuboctahedron |
(4.8.4/3.8) 2 4 (3/2 4/2) | |
(8.3/2.8.4) 3/2 4 | fire |
(8/3.8/3.3) 2 3 | 4/3 |
Inhomogen trunkeret Cuboctahedron |
(4.6.8/3) 2 3 4/3 | | ||
Inhomogen trunkeret Cuboctahedron |
(8/3.6.8) 3 4 4/3 | | ||
snub terning |
|||
Der er 8 konvekse former og 46 ikke-konvekse former med icosahedral symmetri (med det fundamentale domæne Möbius trekanten (5 3 2)). (eller 47 ikke-konvekse former, hvis Skilling-figuren er inkluderet). Nogle ikke-konvekse snub-arter har spejlspidssymmetri.
| Placering af knudepunkter ( Konvekst skrog ) |
Ikke-konvekse udsigter | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
icosahedron |
{5,5/2} |
{5/2.5} |
{3,5/2} | |||||
Inhomogen trunkeret icosahedron 2 5 |3 |
U37 2 5/2 | 5 |
U61 5/2 3 | 5/3 |
U67 5/3 3 | 2 |
U73 2 5/3 (3/2 5/4) | | ||||
Inhomogen trunkeret icosahedron 2 5 |3 |
U38 5/2 5 | 2 |
U44 5/3 5 | 3 |
U56 2 3 (5/4 5/2) | | |||||
Inhomogen trunkeret icosahedron 2 5 |3 |
U32 | 5/2 3 3 | |||||||
Icosidodecahedron 2 | 3 5 |
U49 3/2 3 | 5 |
U51 5/4 5 | 5 |
U54 2 | 3 5/2 |
U70 5/3 5/2 | 5/3 |
U71 3 3 | 5/3 |
U36 2 | 5 5/2 |
U62 5/3 5/2 | 3 |
U65 5/4 5 | 3 |
Afkortet dodekaeder 2 3 | 5 |
U42 |
U48 |
U63 | |||||
Inhomogent afkortet dodekaeder |
U72 | |||||||
Dodekaeder |
{5/2,3} |
U30 |
U41 |
U47 | ||||
Rhombicosidodecahedron |
U33 |
U39 |
U58 | |||||
Kantet Dodecahedron |
U55 | |||||||
Inhomogen Rhombicosidodecahedron |
U31 |
U43 |
U50 |
U66 | ||||
Inhomogent rhombicosidodecahedron |
U75 |
U64 |
Skillings krop (se nedenfor) | |||||
Inhomogen rombisk trunkeret icosidodecahedron |
U45 | |||||||
Inhomogen rombisk trunkeret icosidodecahedron |
U59 | |||||||
Inhomogen rombisk trunkeret icosidodecahedron |
U68 | |||||||
Inhomogen snub dodecahedron |
U40 |
U46 |
U57 |
U69 |
U60 |
U74 | ||
Et andet ikke-konveks polyeder er det store bi-snub birombododecahedron , også kendt som Skilling solid , som er vertex-homogen, men har delte kanter, der er fælles for flader, så fire flader har én fælles kant. Nogle gange er det rangeret blandt de ensartede polyedre, men ikke altid. Kroppen har I h symmetri .
Coxeter , ved hjælp af Wythoffs konstruktion, bestemte et antal degenererede stjerneformede polytoper, der har overlappende kanter eller toppunkter. Disse degenererede former omfatter: